D´eterminerapour quef soit une densit´e de probabilit´e

TS 8 Interrogation 13A : Correction 10 mai 2016 Exercice 1 :

On d´efinit surRla fonctionf parf(x) =axsur [0; 2] et nulle ailleurs, aveca∈R. 1. D´eterminerapour quef soit une densit´e de probabilit´e.

Solution:

Pour tout r´eela,f est continue par morceaux sur R. Z 2

0

f(x)dx=ha 2x²i²

0

= 2a.

Pour que f soit une densit´e, il faut que 2a= 1 donca=¹₂.

La fonction f(x) = ¹₂xest postive sur [0; 2] et nulle ailleurs. Donc f est bien une densit´e.

2. SoitX la variable al´eatoire `a valeurs dans[0; 2] de densit´ef, d´eterminer

a. P(X >1) b. E(X)

Solution:

a. P(X >1) =R2

1 f(x)dx=1 4x²²

1= 1−¹₄ =³₄ b. E(X) =R2

0 xf(x)dx=₁

6x³²

0=²₃. Exercice 2 :

SoitX une variable al´eatoire qui suit une loi uniforme sur [1; 3]

1. Quelle est sa densit´e ?

Solution: Sa densit´e est la fonctionf d´efinie par :f(x) =





 1

2, si x∈[1; 3]

0 sinon

.

2. D´eterminerP(X >2)

Solution: P(X >2) = 3−2 3−1 =¹₂. 3. Que vautE(X) ?

Solution: E(X) = ³⁺¹₂ = 2.

Exercice 3 :

SoitX une variable al´eatoire qui suit une loi g´eom´etrique de param`etre 0,15.

1. Quelle est sa densit´e ?

Solution: Sa densit´e est la fonctionf d´efinie parf(x) =

(0six <0 0,15e^−0,15xsinon

2. D´eterminerP(X >2)

Solution: P(X >2) = 1−P(X <2) = 1−1 + e^−0,15×2= e^−0,3 3. D´eterminerP_(X>1)(X >3)

Solution: P_(X>1)(X >3) =P(X >2) = e^−0,3

4. Que vautE(X) ?

Solution: E(X) = 1 0,15 =20

3

Exercice 4 :

La loi exponentielle v´erifie la propri´et´e ditedur´ee de vie sans vieillissement.

1. Expliquer (math´ematiquement) cette propri´et´e.

Solution: Pour tous r´eelstet hpositifs.PX>t(X > t+h) =P(X > h).

2. D´emontrer celle-ci.

Solution: Voir le cours.