TS 8 Interrogation 14A : Correction 4 mai 2018 Exercice 1 :
Soitf la fonction d´efinie sur [0; 2] parf(x) =12x.
1. Montrer quef est une fonction de densit´e de probabilit´e
2. X est la variable al´eatoire continue sur [0; 4] dont la loi a pour densit´e de probabilit´e la fonctionf. Donner les formules pour calculer :
a. P(1< X 62) b. P(X <1)
3. CalculerE(X) Solution:
1. Pour x>0, 12x>0, Z 2
0
1 2xdx=
1 4x2
2
0
= 1−0 = 1.
Doncf est une fonction de densit´e sr [0; 4].
2. a. P(1< X 62) = Z 2
1
1 2xdx=
1 4x2
2
1
= 1−1
4 = 0,75 b. P(X <1) =
Z 1
0
1
2xdx= 0,25 3. E(X) =
Z 2
0
1 2x2dx=
1 6x3
2
0
= 4 3.
Exercice 2 :
La variable al´eatoireX suit la loi uniforme sur l’intervalle [5; 10].
1. D´efinir la fonctionf de densit´e de probabilit´e de la loiX.
2. D´eterminer la probabilit´e de chacun des ´ev´enements suivants :
a. B={X >8} b. C={6< X <9}
3. D´eterminerE(X).
Solution:
1. f(x) =15.
2. a. P(B) =10−8 5 =25 b. P(C) = 9−6
5 = 35 3. E(X) = 7,5
Exercice 3 :
SoitX une variable al´eatoire qui suit une loi g´eom´etrique de param`etre 0,15.
1. Quelle est sa densit´e ?
Solution: Sa densit´e est la fonctionf d´efinie parf(x) =
(0six <0 0,15e−0,15xsinon
2. D´eterminerP(X >2)
Solution: P(X >2) = 1−P(X <2) = 1−1 + e−0,15×2= e−0,3 3. D´eterminerP(X>1)(X >3)
Solution: P(X>1)(X >3) =P(X >2) = e−0,3
T 8 Interrogation Page 2 de 2 4. Que vautE(X) ?
Solution: E(X) = 1 0,15= 20
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