Montrer quef est bornée sur An et que ∀ε >0, il existe n ∈Ntel que R X\An|f|&lt

L3 EURIA - Intégration

Contrôle continu N2 - 15/11/2016

I. Soit f : (E,A) → (R⁺,B(R⁺)) une fonction mesurable et µ une mesure sur A telle que µ(E)>0.

a. Montrer qu'il existe un ensemble A ∈ A tel que µ(A)6= 0 et f soit bornée sur A. On pourra considérer les ensembles (A_n)_n∈N dénis par A_n ={f ≤n}.

b. Montrer que siµ({f >0})6= 0alors il existeA∈ Atel queµ(A)6= 0 etf est minorée sur A par une constante strictement positive.

II. Soit (X,T, µ) un espace mesuré et f: X → R une fonction inté- grable par rapport àµ.

a. Pour tout n ∈Non pose A_n={2⁻ⁿ ≤ |f| ≤2ⁿ}.

Montrer quef est bornée sur A_n et que ∀ε >0, il existe n ∈Ntel que R

X\An|f|< ε.

b. En déduire que ∀ε >0,∃δ >0, ∀A∈ T, µ(A)< δ =⇒

Z

A

f dµ

< ε.

1