Supposons quef est une bijection

COMPL ´EMENTS: ENSEMBLES ET APPLICATIONS

Quelques r´esultats pour compl´eter notre bref survol de la th´eorie des ensembles et des applications....

Proposition 1. SoientX etY des ensembles, et soit f :X →Y une application.

Alors:

f est une bijection⇐⇒f est inversible.

Proof. ⇒: Supposons quef est une bijection. Soit R={ x, f(x)

|x∈X} ⊂X×Y

la relation correspondante. Observer que pour touty∈Y, il y a un uniquex∈X tel que (x, y)∈R, puisquef est une bijection.

Consid´erer la relation

R⁰={(y, x)|(x, y)∈R} ⊂Y ×X.

Observer que

(y, x)∈R⁰⇐⇒(x, y)∈R.

Par cons´equent,R⁰correspond `a une application deY versX, car pour touty∈Y, il y a un uniquex∈X tel que (y, x)∈R⁰.

Soitg:Y →X l’application correspondante `aR⁰. Alors il est imm´ediat que g◦f(x) =g f(x)

=x=Id_X(x), ∀x∈X et que

f◦g(y) =f g(y)

=y=IdY(y), ∀y∈Y, ce qui veut dire que

g◦f =IdX et f◦g=IdY, i.e.,f est inversible, avec inverseg.

⇐: Supposons quef est inversible, et soit g :Y →X un inverse `a f. Alors f est une surjection, puisque pour touty∈Y,

y=Id_Y(y) =f◦g(y) =f g(y)

∈Im(f).

Par ailleurs,f est une injection, car sif(x) =f(x⁰), alors x=Id_X(x) =g◦f(x) =g f(x)

=g f(x⁰)

=g◦f(x⁰) =Id_X(x⁰) =x⁰.

Par cons´equent, f est une bijection.

Lemma 2. Soientf :X →Y,g:Y →Z eth:Z →W des applications. Alors h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

Proof. Pour toutx∈X,

h◦(g◦f)(x) =h

g f(x)

= (h◦g)◦f(x).

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Proposition 3. Si f :X →Y est inversible, alors son inverse est unique, i.e., si g ethsont des inverses de f, alors g=h.

Proof. Soientg, h:Y →X des inverses def. Alors

g=g◦IdY =g◦(f◦h) = (g◦f)◦h=IdX◦h=h.