Th´eorie des ensembles TD 6 M2 LMFI - automne 2018
Paradoxe de Banach-Tarski et un peu de th´ eorie descriptive des ensembles
Exercice 1. Puzzle ´equivalence
Deux sous-ensembles A et B de R3 sont dits puzzle-´equivalents s’il existe deux partitions (A1, ..., An) et (B1, ..., Bn) de A etB respectivement et des isom´etries de R3 ϕ1, ..., ϕn telles que pour tout i∈ {1, ..., n}, on aitϕi(Ai) =Bi. On noteA∼P E B siAetB sont puzzle-´equivalents.
(1) Montrer que la relation.P E est une relation de pr´eordre (r´eflexive et transitive). Est-elle totale ? (2) Montrer que siA.P EB et B.P EAalorsA∼P E B.
(3) En d´eduire que∼P E est une relation d’´equivalence.
Le but des trois exercices qui suivent est de montrer le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme(Banach-Tarski, 1924). SoientB1etB2deux boules unit´e ferm´ees disjointes dansR3. AlorsB1∼P E
B1tB2.
Exercice 2. Sous-groupe libre deSO(3)
Nous allons maintenant ´etablir l’existence d’un sous-groupe libre `a 2 g´en´erateurs dans SO(3). Voici les deux
´
el´ements deSO(3) dont on va montrer qu’ils engendrent un sous-groupe libre :
T =
1
3 −2
√2
3 0
2√ 2 3
1
3 0
0 0 1
etU =
1 0 0
0 13 −2
√2 3
0 2
√2 3
1 3
.
On se donne un mot r´eduit ωenT±1 et U±1, on cherche `a montrer que ω6= idR3.
(1) Expliquer pourquoi on peut se ramener au cas o`uω finit parT. On suppose d´esormais que c’est le cas.
(2) Montrer que sikest la longueur deω, alors il existea, b, c∈Ztels qu’on aω
1 0 0
=31k
a b√ 2 c
.
(3) Montrer qu’en outre, b n’est pas divisible par 3. On pourra faire une preuve par r´ecurrence sur k et
´
ecrire, dans le cas o`uk>2,ω sous la formeabv, o`ua, b∈ {T, T−1, U, U−1} et distinguer les quatre cas selon queaetb sont de la formeT±1 ouU±1.
(4) Conclure.
Exercice 3. Paradoxe de Hausdorff
On se propose de d´emontrer le r´esultat interm´ediaire suivant.
Th´eor`eme (Hausdorff, 1914). Il existe une partie d´enombrable D de la sph`ere unit´e S2 et une partition S2\D =AtB telle queA ∼P E B ∼P E S2\D. De plus, on peut impl´ementer cette puzzle-´equivalence avec uniquement des isom´etries fixant le centre de la sph`ere unit´e.
On noteF2=ha, bile groupe libre `a 2 g´en´erateurs.
(1) Montrer que si on note, pourl∈ {a, a−1, b, b−1},Cl={x∈F2:xcommence parl}, alors F2=Ca−1ta−1Ca,
F2=Cb−1tb−1Cb,
F2=Ca−1tCatCb−1tCbt {e}.
(2) On se donne une copie de F2 dans SO(3) fournie par l’exercise pr´ec´edent. Montrer qu’il existe un sous-ensembleD ⊆S2 d´enombrable F2-invariant tel que l’action deF2 surS2\D soitlibre (pour tout γ∈F2\ {e}, toutx∈S2,γ·x6=x).
(3) En consid´erant une partieX deS2\Dqui intersecte chaque F2-orbite en exactement un point, trouver A,B disjoints inclus dans S2\D tels queA∼P EB∼P E S2\D. On pourra utiliser la question 1.
(4) Conclure.
Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques
Th´eorie des ensembles TD 6 M2 LMFI - automne 2018 Exercice 4. Paradoxe de Banach-Tarski
On se propose de d´emontrer le paradoxe de Banach-Tarski `a partir du paradoxe de Hausdorff, que l’on a d´emontr´e pr´ec´edemment. On noteA.P E B s’il existe une partieC⊆B telle queA∼P E B.
(1) Montrer que si D est un sous-ensemble d´enombrable de la sph`ere, alors on peut trouver une rotation R telle que les ensembles (Ri(D))i∈N soient tous disjoints (on pourra fixer un axe de rotation A ne contenant aucun ´el´ement deD puis montrer que l’ensemble des angles de rotationθ ∈[0,2π[ tels que la rotationRA,θ ne satisfait pas la propri´et´e voulue est d´enombrable).
(2) Montrer que siRet D sont comme dans la question pr´ec´edente, alors
+∞
G
i=0
Ri(D)∼P E +∞
G
i=1
Ri(D).
En d´eduire queS2\D∼P ES2.
(3) Montrer qu’il existe une partitionS2=AtB telle queA∼P EB ∼P E S2.
(4) En d´eduire qu’il existe une partition de la boule unit´e ferm´ee priv´ee de son centre B2\ {0} =AtB avecA∼P EB∼P E B2\ {0}
(5) En utilisant un argument similaire `a la question 3, montrer que six∈S2, alorsB2\ {x} ∼P EB2. (6) Conclure qu’il existe une partitionB2=AtB telle queB2∼P E A∼P EB. En d´eduire le paradoxe de
Banach-Tarski tel qu’´enonc´e ci-dessus.
(7) Montrer que toute r´eunion finie de boules unit´e ferm´ees est puzzle-´equivalente `a la boule unit´e ferm´ee.
(8) D´emontrer le th´eor`eme suivant de Banach et Tarski, moins connu mais plus fort que l’´enonc´e pr´ec´edent.
Th´eor`eme(Banach-Tarski, 1924). SoientE1etE2deux parties born´ees deR3et d’int´erieur non vide, alorsE1∼P E E2.
Exercice 5. Argument diagonal de Cantor et un peu de th´eorie descriptive des ensembles SiB ⊆X×Y, pour x∈X on noteBx:={y∈Y : (x, y)∈B}lasection verticaledeB au dessus dex.
(1) Soit X un ensemble, soitA⊆X×X, on d´efinit l’antidiagonaledeAcomme ´etant l’ensemble B:={x∈X : (x, x)6∈A}.
Montrer que pour toutx∈X,Ax6=B.
(2) En d´eduire que P(ω) n’est pas d´enombrable. On pourra supposer que c’est le cas et construire un ensembleA⊆ω×ω dont les sections verticales sont les parties deω.
(3) On va maintenant appliquer cette construction en th´eorie descriptive des ensembles. On consid`ere l’es- pace de Cantor, qui est l’espace topologiqueX := 2ω muni de la topologie produit, en consid´erant que 2 = {0,1} est un espace discret. On va montrer qu’il y a une hi´erarchie stricte index´ee par ω1 des bor´eliens de 2ω. On d´efinit par r´ecurrence transfinie sur 16ξ < ω1 les ensembles suivants :
— Σ01(X) ={O⊆X :O est ouvert},
— Π0ξ(X) ={B⊆X :X\B∈Σ0ξ(X)},
— Σ0ξ(X) est l’ensemble des r´eunions d´enombrables d’´el´ements deS
η<ξΠ0η(X).
(a) Montrer que pour tout 16ξ < η < ω1,Σ0ξ(X)⊆Σ0η(X). Pourξ= 1, on pourra munir 2ω d’une distancedcompatible avec sa topologie, par exemple d(x, y) = P
n2−nδ(xn, yn) o`uδ(a, b) = 0 si a=b etδ(a, b) = 1 sia6=b.
(b) On note B(X) l’ensemble des bor´eliens deX. Montrer queB(X) =S
16ξ<ω1Σ0ξ(X).
(c) En d´eduire que|B(X)|= 2ℵ0.
(d) Montrer qu’il existeO∈Σ01(X×X) tel que pour toutU ∈Σ01(X), il existex∈X tel queU =Ox. (e) Montrer que pour tout 16ξ < ω1, il existeO∈Σ0ξ(X×X) tel que pour toutU ∈Σ0ξ(X), il existe
x∈X tel queU =Ox.
(f) En d´eduire que pour tout 16ξ < ω1,Σ0ξ(X)6=Σ0ξ+1(X).
(g) Montrer qu’il n’existe pas U ∈ B(X ×X) tel que pour tout U ∈ B(X), il existe x ∈ X tel que U=Ox.
Universit´e Paris Diderot 2 UFR de math´ematiques
