Partiel de th´ eorie des ensembles

Th´eorie des ensembles Partiel M2 LMFI - automne 2019

Partiel de th´ eorie des ensembles

Dur´ee : 2h. Tous documents interdits.

Dans tout l’´enonc´e, sauf mention explicite du contraire, on se place dans ZFC.

Exercice 1. Retour sur les ensembles bien ordonn´es.

On rappelle qu’un plongement entre ensembles (strictement) ordonn´es (X, <X) et (Y, <Y) est une application f :X →Y telle que pour tousx, x⁰ ∈X, on a x <_X x⁰ ssi f(x)<_Y f(x⁰). Montrer que si (X, <_X) et (Y, <_Y) sont deux ensembles bien ordonn´es, alors l’un des deux se plonge dans l’autre, et que si chacun se plonge dans l’autre, alors ils sont isomorphes.

Exercice 2. Une restriction sur 2^ℵ0. Montrer queℵ_ω 6= 2^ℵ0.

Exercice 3. Une application du lemme de Fodor.

SoitF = (F_i)i∈Iune famille d’ensembles finis index´ee par un ensembleI de cardinalℵ₁. On va montrer qu’il existeJ ⊆I de cardinalℵ₁ et un ensemble finiF tels que pour tousi, j∈J distincts,F_i∩F_j =F.

1. Montrer que l’on peut supposer que I =ω₁ et que chaqueF_i est un sous-ensemble deω₁. 2. Montrer qu’il existe un ensemble stationnaire S et un ordinalγ < ω₁ tel que pour toutα∈S,

sup(α∩F_α) =γ.

3. Montrer que l’on peut trouver S⁰ ⊆S de cardinal ℵ₁ et un ensemble fini F tels que pour tout α∈S⁰,Fα∩α=F.

4. Construire par r´ecurrence transfinie une famille strictement croissante (α_λ)λ∈ω1 d’ordinaux telle pour toutλ∈ω₁,α_λ ∈S⁰ et de plus,α_λ >sup(S

λ⁰<λF_αλ0).

5. Montrer queJ ={α_λ :λ∈ω₁}est l’ensemble d’indices voulu.

Exercice 4. D´erivation de Cantor-Bendixson.

Soit (X, <) un ensemble totalement ordonn´e. Un ´el´ement de x ∈X est dit isol´esi il v´erifie les deux conditions suivantes :

— soitx est le minimum de X, soit l’ensemble {y∈X:y < x} a un maximum ;

— soitx est le maximum de X, soit l’ensemble{y ∈X:y > x} a un minimum.

Etant donn´´ e un ensemble totalement ordonn´e (X, <), sa d´eriv´ee de Cantor-Bendixson est l’en- semble totalement ordonn´e X⁰ muni de l’ordre induit par<, o`u

X⁰ ={x∈X:xn’est pas isol´e}.

On d´efinit alors par r´ecurrence transfinie sur α ordinal laα-i`eme d´eriv´ee de Cantor-Bendixson deX par :

— X⁽⁰⁾=X

— X^(α+1) = (X^(α))⁰

— siβ limite, X^(β) =T

α<βX^(α)

1. Expliciter la construction par r´ecurrence transfinie en utilisant le th´eor`eme du cours (on pr´ecisera la relation fonctionnelle H et on v´erifiera les hypoth`eses du th´eor`eme).

2. Montrer que siX est un ordinal, alorsX⁰ est l’ensemble des ordinaux limites deX.

On appelle rang de Cantor-Bendixson d’un ensemble totalement ordonn´e (X, <) le plus petit ordinalα tel queX^(α) =X^(α+1) et on le note rg_CB(X).

3. Montrer que le rang de Cantor-Bendixson est bien d´efini.

Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques

Th´eorie des ensembles Partiel M2 LMFI - automne 2019 4. Montrer que siα est un ordinal, alors α^(rgCB(α))=∅.

5. Montrer que pour tout ordinal α, rg_CB(α)6α.

6. Quel est le rang de Cantor-Bendixson de ω+ 1 ? De ω×ω+ 1 ? 7. Trouver un ordinal de rang de Cantor-Bendixson ω.

On s’int´eresse d´esormais `a d´eterminer le rang de Cantor-Bendixson deω1. 8. Montrer que siX ⊆ω1 est un club, alorsX⁰ est ´egalement un club.

9. Montrer que pour toutα < ω1,ω₁^(α) est un club. Quel est son type d’ordre, i.e. l’ordinal auquel il est isomorphe ?

10. En d´eduire que rg_CB(ω₁) =ω₁.

11. Montrer qu’en fait, pour tout cardinalκ r´egulier, rg_CB(κ) =κ.

Universit´e Paris Diderot 2 UFR de math´ematiques