1.9 Th´ eorie de Galois : quelques exemples

Universit´ e P. et M. Curie (Paris VI), Michel Waldschmidt Deuxi` eme semestre 2006/2007 date de mise ` a jour: 15/02/2007

Master de sciences et technologies 1`ere ann´ee - Mention :Math´ematiques et applications Sp´ecialit´e :Math´ematiques Fondamentales MO11 :Th´eorie des nombres (12 ECTS)

Premi` ere partie: Th´ eorie des Corps Fascicule 3 : Chapitre 1 (fin), section 1.9 (9 pages)

¹

1.9 Th´ eorie de Galois : quelques exemples

1.9.1 Constructions ` a la r` egle et au compas

Les trois questions classiques pos´ ees par les g´ eom` etres grecs sur les constructions ` a la r` egle et au compas sont les suivantes : peut-on construire, en utilisant uniquement ces deux instruments,

• (Duplication du cube) un cube ayant un volume double d’un cube donn´ e ?

• (Trisection d’un angle) un angle ´ egal au tiers d’un angle donn´ e ?

• (Quadrature du cercle) un carr´ e ayant une aire ´ egale ` a celle d’un disque donn´ e ?

Ces questions reviennent ` a construire respectivement la racine cubique d’un nombre donn´ e, le cosinus du tiers d’un angle dont le cosinus est donn´ e, le nombre π.

En termes alg´ ebriques on consid` ere le plan cart´ esien R

²

avec l’unit´ e de longueur donn´ ee par la distance entre (0, 0) et (0, 1) et ` a partir de ces deux points on it` ere les constructions suivantes, dont la r´ eunion produit l’ensemble des points constructibles :

– On peut construire la droite qui passe par deux points donn´ es.

– On peut construire un cercle de rayon donn´ e et de centre pr´ ealablement construit.

– ` A chaque ´ etape on peut ajouter ` a l’ensemble d´ ej` a construit l’intersection de deux droites, de deux cercles, d’une droite et d’un cercle, chacune de ces lignes ayant ´ et´ e pr´ ec´ edemment construites.

Un nombre r´ eel est dit constructible si le point (x, 0) est constructible ` a la r` egle et au compas

`

a partir de (0, 0) et (0, 1).

Des constructions g´ eom´ etriques classiques montrent que les nombres constructibles forment un sous-corps de R et que si x est constructible, alors √

x l’est aussi. Les images suivantes sont extraites de [1] § 13.3.

1Ce texte est t´el´echargeable `a partir de la pagehttp ://www.math.jussieu.fr/∼miw/enseignement.html

L’´ enonc´ e suivant est facile ` a d´ emontrer (voir par exemple [1] § 13.3).

Proposition 1.34. Soit x un nombre r´ eel. Les assertions suivantes sont ´ equivalentes : – x est constructible.

– x est alg´ ebrique sur Q et son corps de d´ ecomposition sur Q a pour degr´ e une puissance de 2.

– x appartient ` a un corps de nombres galoisien sur Q de degr´ e une puissance de 2.

Comme √

³

2 est de degr´ e 3 sur Q, on en d´ eduit l’impossibilit´ e de la duplication du cube.

Il existe des angles dont on peut construire le tiers ` a la r` egle et au compas (par exemple π), mais il en existe aussi pour lesquels une telle construction est impossible. Un exemple est π/3. On a cos(π/3) = −1/2 et la formule

cos θ = 4 cos

³

(θ/3) − 3 cos(θ/3)

montre que le nombre β = 2 cos(π/9) = 1, 87938 . . . est racine du polynˆ ome X

³

− 3X + 1. Ce polynˆ ome est irr´ eductible sur Q. Donc β est de degr´ e 3 sur Q, par cons´ equent il n’est pas construc- tible.

Pour la quadrature du cercle, l’impossibilit´ e vient de la transcendance du nombre π que nous

ne d´ emontrons pas ici (une d´ emonstration est donn´ ee dans l’Annexe A du livre de Lang Alg` ebre

[4]).

Un nombre complexe est dit exprimable par radicaux s’il existe un corps de nombres K le contenant, une tour de corps

Q = K

0

⊂ K

1

⊂ · · · ⊂ K

_s−1

⊂ K

s

= K,

et, pour 1 ≤ i ≤ s, un entier n

i

≥ 1 et un ´ el´ ement α

i

∈ K

i

tels que K

i

= K

_i−1

(α

i

) avec α

ⁿ_iⁱ

∈ K

_i−1

. On pose a

i

= α

ⁿ_iⁱ

et on ´ ecrit α

i

=

ⁿⁱ

√

a

_i

(avec un l´ eger abus de notation : il y a plusieurs racines n

i

-i` emes de α

i

, mais le corps engendr´ e ne d´ epend pas de ce choix lorsque les racines n

i

-i` emes appartiennent au corps de base, ce qui est une hypoth` ese licite ici) et donc K

i

= K

_i−1

(

ⁿⁱ

√

a

_i

).

Soit K un corps de caract´ eristique nulle. On d´ efinit le groupe de Galois d’un polynˆ ome s´ eparable f ∈ K[X] comme le groupe de Galois d’un corps de d´ ecomposition de f sur K.

Un polynˆ ome est r´ esoluble par radicaux si toutes ses racines sont exprimables par radicaux.

D’autre part un groupe fini G est r´ esoluble s’il existe une suite de sous-groupes {1} = G

0

⊂ G

1

⊂ · · · ⊂ G

s−1

⊂ G

s

dans laquelle chaque G

i

est un sous-groupe normal de G

i+1

avec un quotient G

i+1

/G

i

cyclique (0 ≤ i ≤ s − 1).

Le th´ eor` eme de Galois 1.33 permet de d´ emontrer l’´ enonc´ e suivant (voir par exemple [1] § 14.7 Th. 39).

Th´ eor` eme 1.35. Un polynˆ ome f est r´ esoluble par radicaux si et seulement si son groupe de Galois est r´ esoluble.

Soit n un entier ≥ 5. Il est connu que le groupe S

n

n’est pas r´ esoluble et qu’il existe des corps de nombres galoisiens sur Q de groupe de Galois S

n

. Un tel corps est le corps de d´ ecomposition d’un polynˆ ome qui n’est donc pas r´ esoluble par radicaux.

Par exemple le polynˆ ome X

⁵

− 6X + 3 a pour groupe de Galois sur Q le groupe sym´ etrique S

5

d’ordre 5! = 120, il n’est donc pas r´ esoluble par radicaux.

L’outil essentiel pour la d´ emonstration du th´ eor` eme 1.35 est un th´ eor` eme dˆ u ` a Kummer dont nous donnons seulement l’´ enonc´ e :

Th´ eor` eme 1.36. Soient L/K une extension et n un entier positif qui n’est pas divisible par la caract´ eristique de K. On suppose que K contient les racines n-i` emes de l’unit´ e. Alors l’extension est cyclique si et seulement s’il existe α ∈ L tel que L = K(α) et α

ⁿ

∈ K.

1.9.2 Corps cyclotomiques

Soit n un entier positif. Le corps cyclotomique E

n

d’indice n est le corps de d´ ecomposition sur Q du polynˆ ome X

ⁿ

− 1. C’est aussi le corps de rupture du polynˆ ome cyclotomique Φ

n

sur Q.

Notons ζ

n

une racine primitive n-i` eme de l’unit´ e, de sorte que E

n

= Q(ζ

n

).

Nous avons vu (Proposition 1.28) que E

n

est une extension galoisienne de Q de groupe de Galois (Z/nZ)

^×

.

Supposons n premier et notons n = p, E

_p

= E, ζ

_p

= ζ. Le groupe des ´ el´ ements inversibles du corps F

_p

= Z/pZ est cyclique, donc l’extension E/Q est cyclique de groupe de Galois G ' (Z/pZ)

^×

d’ordre p − 1. Si k est un entier premier ` a p, notons σ

_k

l’automorphisme de E d´ etermin´ e par σ

_k

(ζ) = ζ

^k

.

Lemme 1.37. L’ordre de σ

k

dans G est ´ egal ` a l’ordre de la classe de k modulo p.

D´ emonstration. Pour h ≥ 1 on a ζ

^h

= 1 si et seulement si p divise h. Donc pour n ≥ 1 on a ζ

ⁿ

= ζ si et seulement si n ≡ 1 (mod p). D’autre part σ

_k^m

(ζ) = ζ

^km

. Donc l’ordre de σ

k

dans G est le plus petit entier m tel que k

^m

≡ 1 (mod p), c’est l’ordre de la classe de k dans (Z/pZ)

^×

.

Une base sur Q de E est {1, ζ, ζ

²

, . . . , ζ

^p−2

} puisque ζ est de degr´ e p − 1 sur Q, racine du polynˆ ome

Φ

p

(X ) = X

^p−1

+ X

^p−2

+ · · · + X + 1.

On pr´ ef` ere d’utiliser comme base {ζ, ζ

²

, . . . , ζ

^p−2

, ζ

^p−1

} car ce sont pr´ ecis´ ement les racines primi- tives p-i` emes de l’unit´ e, qui sont donc permut´ es par les σ

k

.

Soit H un sous-groupe de G. Posons

α

_H

= X

σ∈H

σ(ζ).

On v´ erifie facilement que Q(α

H

) est le sous-corps E

^H

de E fix´ e par H.

Par exemple pour p = 7 le groupe G est cyclique d’ordre 6, il est engendr´ e par σ

3

: G = {1, σ

3

, σ

²₃

= σ

2

, σ

³₃

= σ

6

, σ

₃⁴

= σ

4

, σ

₃⁵

= σ

5

},

ce qui correspond au fait que (Z/7Z)

^×

est engendr´ e par 3 (on dit que 3 est une racine primitive modulo 7) :

(Z/7Z)

^×

= {1, 3, 3

²

≡ 2, 3

³

≡ 6, 3

⁴

≡ 4, 3

⁵

≡ 5}.

Le groupe G a quatre sous-groupes, deux triviaux {1} et G d’ordres 1 et 6 respectivement, et deux non triviaux {1, σ

₆

} et {1, σ

₂

, σ

₄

}. Le seul ´ el´ ement d’ordre 2 dans G est σ

₆

qui est la restriction

`

a E de la conjugaison complexe, puisque σ

6

(ζ) = ζ

⁻¹

= ζ. Le sous corps fix´ e par la conjugaison complexe est le sous-corps r´ eel maximal M de E, il est engendr´ e sur Q par α = ζ + ζ, comme nous l’avons d´ ej` a vu au § 1.7 comme exemple d’application de la proposition 1.28. Le corps M = Q(α) est cubique cyclique sur Q, le groupe de Galois est engendr´ e par la restriction de σ

2

` a M : les conjuqu´ es de α sur Q sont

α

1

= α, α

2

= σ

2

(α) = ζ

²

+ ζ

⁵

= ζ

²

+ ζ

²

, α

3

= σ

₂²

(α) = ζ

⁴

+ ζ

³

= ζ

³

+ ζ

³

.

On trouve le polynˆ ome irr´ eductible de α sur Q en calculant (facilement) α

1

+ α

2

+ α

3

= −1, α

1

α

2

α

3

= 1 et (un peu moins facilement) α

1

α

2

+ α

2

α

3

+ α

3

α

1

= −2. Le polynˆ ome cherch´ e est donc X

³

+ X

²

− 2X − 1.

Il reste un dernier sous-corps N de E dont nous n’avons pas encore parl´ e, c’est le sous-corps fix´ e par le sous-groupe d’ordre 3 (et d’indice 2) de G. Donc N est l’unique sous-corps quadratique de E, engendr´ e sur Q par

β = ζ + σ

2

(ζ) + σ

4

(ζ) = ζ + ζ

²

+ ζ

⁴

. Le conjugu´ e de β est

β

^∗

= τ(β) = σ

3

(β) = ζ

³

+ ζ

⁶

+ ζ

⁵

.

On v´ erifie facilement β +β

^∗

= −1, ββ

^∗

= 2, donc β est racine du polynˆ ome quadratique X

²

+X +2 dont le discriminant est −7. Ainsi l’unique sous-corps quadratique de L est Q( √

−7).

De fa¸ con g´ en´ erale, il r´ esulte de la proposition 1.44 ci-dessous que l’unique sous-corps quadratique de Q(ζ

p

) pour p premier est le corps Q( √

p), o` u = 1 si p ≡ 1 (mod 4) et = −1 si p ≡ 3 (mod 4)

(voir aussi [1] § 14.5).

Soit n = p

^a₁¹

· · · p

^a_k^k

la d´ ecomposition en facteurs premiers d’un entier n ≥ 2. La d´ ecomposition du groupe multiplicatif (Z/nZ)

^×

par le th´ eor` eme chinois :

(Z/nZ)

^×

' (Z/p

^a₁¹

Z)

^×

× · · · × (Z/p

^a_k^k

Z)

^×

permet de d´ eduire du th´ eor` eme 1.28 l’´ enonc´ e suivant :

Corollaire 1.38. Soit n = p

^a₁¹

· · · p

^a_k^k

un entier ≥ 2 d´ ecompos´ e en facteurs premiers. Notons E

_n

le corps cyclotomique Q(ζ

_n

) d’indice n et F

_i

le corps cyclotomique E

_pai

i

= Q(ζ

_pai

i

) d’indice p

^a_iⁱ

. Alors

Gal(E

_n

/Q) ' Gal(F

₁

/Q) × · · · × Gal(F

_k

/Q).

On en d´ eduit qu’un polygone r´ egulier ` a n cˆ ot´ es peut ˆ etre construit ` a la r` egle et au compas si et seulement si ϕ(n) est une puissance de 2.

Pour un nombre premier p, dire que ϕ(p) = p − 1 est une puissance de 2 revient ` a dire que p est de la forme 2

^m

+ 1. Il est facile de voir que dans ce cas l’exposant m est lui mˆ eme une puissance de 2 : quand k est impair, l’identit´ e x

^k

+ 1 = (x + 1)(x

^k−1

− x

^k−2

+ · · · + x

²

− x + 1 montre que x

^k

+ 1 est divisible par x + 1.

On appelle nombre premier de Fermat tout nombre premier de la forme F

s

= 2

^2s

+ 1 avec s entier ≥ 0. Les nombres

F

₀

= 3, F

₁

= 5, F

₂

= 17, F

₃

= 257, F

₄

= 65 537

sont des nombres premiers de Fermat. On ignore s’il y en a d’autres (on s’attend ` a ce que leur nombre soit fini mais on ne le sait pas). Que F

₅

= 2

²⁵

+ 1 ne soit pas un nombre premier a ´ et´ e d´ ecouvert par Euler. On peut le v´ erifier ainsi.

Lemme 1.39. Le nombre F

5

= 2

³²

+ 1 est divisible par 641.

D´ emonstration. (D’apr` es [3], § 2.5). On ´ ecrit

641 = 625 + 16 = 5

⁴

+ 2

⁴

et 641 = 5 · 128 + 1 = 5 · 2

⁷

+ 1.

L’identit´ e x

⁴

− 1 = (x + 1)(x − 1)(x

²

+ 1) montre que x

⁴

− 1 est divisible par x + 1, donc 5

⁴

· 2

²⁸

− 1 est divisible par 641. Mais 641 divise aussi 5

⁴

· 2

²⁸

+ 2

³²

, donc il divise la diff´ erence 2

³²

+ 1.

Le r´ esultat que fournit le th´ eor` eme de Galois 1.33 est le suivant :

Proposition 1.40. Soit n un entier ≥ 3. Un polygone r´ egulier peut ˆ etre construit ` a la r` egle et au compas si et seulement si n est de la forme 2

^k

p

₁

· · · p

_r

o` u k est un entier ≥ 0 et p

₁

, . . . , p

_r

des nombres premiers de Fermat deux-` a-deux distincts.

On trouvera dans [1] § 14.5 d’autres informations sur ce th` eme, notamment une construction

g´ eom´ etrique du polygone r´ egulier ` a 17 cˆ ot´ es due ` a J.H. Conway (voir aussi [2]).

1.9.3 R´ esolution par radicaux

Soit f ∈ K[X ] un polynˆ ome s´ eparable de degr´ e n ` a coefficient dans un corps K. Le groupe de Galois de f sur K a ´ et´ e d´ efini (§ 1.9.1) comme le groupe de Galois G = Gal(L/K) du corps de d´ ecomposition L de f sur K. Ce groupe de Galois agit sur l’ensemble E des racines de f par permutation, donc s’injecte dans le groupe sym´ etrique S

_n

.

Si f est produit de polynˆ omes irr´ eductibles f = f

1

· · · f

k

dans K[X] et si n

i

d´ esigne le degr´ e de f

i

, alors le groupe de Galois s’injecte dans le produit S

n₁

× · · · × S

n_k

.

Si f est irr´ eductible sur K, alors G agit sur E de fa¸ con transitive : pour tout α et β dans E il existe σ ∈ G tel que σ(α) = β .

Nous allons donner un sens pr´ ecis ` a l’affirmation suivante :

• Le groupe de Galois d’un polynˆ ome “g´ en´ erique” de degr´ e n est le groupe sym´ etrique S

n

. On d´ esigne par L le corps Q(x

1

, . . . , x

n

) des fractions rationnelles en n ind´ etermin´ ees sur Q (on peut remplacer le corps de base Q par un corps de caract´ eristique nulle, mais cela en fait n’ajoute rien). On d´ efinit les fonctions sym´ etriques ´ el´ ementaires s

1

, . . . , s

n

∈ Q[x

1

, . . . , x

n

] par la relation

(X − x

₁

)(X − x

₂

) · · · (X − x

_n

) = X

ⁿ

− s

₁

X

ⁿ⁻¹

+ s

₂

X

ⁿ⁻²

− · · · + (−1)

ⁿ

s

_n

. On a par exemple

s

1

= x

1

+ · · · + x

n

, s

n

= x

1

· · · x

n

et

s

2

= x

1

x

2

+ x

1

x

3

+ · · · + x

1

x

n

+ x

2

x

3

+ · · · + x

2

x

n

+ · · · + x

_n−1

x

n

.

Plus g´ en´ eralement, pour 1 ≤ k ≤ n, la k-i` eme fonction sym´ etrique ´ el´ ementaire en n variables est

s

k

= X

i1<i2<···<ik

x

i₁

x

i₂

· · · x

i_k

.

Le polynˆ ome g´ en´ eral de degr´ e n est le polynˆ ome f (X ) = (X − x

₁

)(X − x

₂

) · · · (X − x

_n

). On note encore K le corps Q(s

1

, . . . , s

n

), qui est un sous-corps de L. Le polynˆ ome f a ses coefficients dans K et son corps de d´ ecomposition sur K est L. Comme f est de degr´ e n le groupe de Galois de L sur K est (isomorphe ` a) un sous-groupe de S

n

. En particulier on a [L : K] ≤ n!.

Toute permutation de {1, . . . , n} induit un automorphisme de L qui laisse invariant chacun des s

k

(1 ≤ k ≤ n). Donc K est contenu dans le sous-corps L S

n

de L fix´ e par S

n

. Par le th´ eor` eme de Galois 1.33, l’extension L/L S

n

est de degr´ e n! On en d´ eduit K = L S

n

. Il en r´ esulte que L est une extension de K de degr´ e n! et de groupe de Galois S

n

.

Une fonction rationnelle F (x

1

, . . . , x

n

) ∈ L est appel´ ee sym´ etrique si elle est invariante sous l’action de S

n

. Nous avons ainsi d´ emontr´ e :

Proposition 1.41. Une fraction rationnelle F (x

1

, . . . , x

n

) ∈ Q(x

1

, . . . , x

n

) est sym´ etrique si et seulement s’il existe une fraction rationnelle G en n ind´ etermin´ ees telle que

F(x

₁

, . . . , x

_n

) = G(s

₁

, . . . , s

_n

).

La fraction rationnelle G est unique. Si F est un polynˆ ome, alors G est aussi un polynˆ ome :

un algorithme pour calculer G est donn´ e dans l’exercice 37 du § 14.6 de [1]. L’id´ ee consiste ` a

consid´ erer le monome Ax

^a₁¹

· · · x

^a_nⁿ

de F qui est dominant pour l’ordre lexicographique et ` a sous-

traire As

^a₁^1−a2

s

^a₂^2−a3

· · · s

^a_nⁿ

.

Pour revenir ` a notre affirmation sur les polynˆ omes “g´ en´ eriques”, on part d’un polynˆ ome unitaire f de degr´ e n dont les coefficients sont des ind´ etermin´ ees ; on l’´ ecrit

f (X ) = X

ⁿ

− s

1

X

ⁿ⁻¹

+ s

2

X

ⁿ⁻²

− · · · + (−1)

ⁿ

s

n

. (1.42) On d´ esigne par K le corps des fractions rationnelles Q(s

1

, . . . , s

n

) en n ind´ etermin´ ees sur Q, par L un corps de d´ ecomposition de f sur K et par x

1

, . . . , x

n

les racines de f dans L. Ainsi L = K(x

1

, . . . , x

n

). V´ erifions que les x

i

sont alg´ ebriquement ind´ ependants sur Q, c’est-` a-dire que si p ∈ Q[X

1

, . . . , X

n

] est un polynˆ ome non nul, alors p(x

1

, . . . , x

n

) 6= 0. Sinon le produit

P (X

1

, . . . , X

n

) = Y

σ∈

S

n

p(X

σ(1)

, . . . , X

σ(n)

)

serait un polynˆ ome non nul sym´ etrique qui s’annule en (x

₁

, . . . , x

_n

), ce qui fournirait une relation de d´ ependance alg´ ebrique non triviale entre s

₁

, . . . , s

_n

. On en d´ eduit :

Th´ eor` eme 1.43. Si s

1

, . . . , s

n

sont des ind´ etermin´ ees sur Q, le polynˆ ome g´ en´ erique (1.42) est s´ eparable et a pour groupe de Galois S

n

sur le corps Q(s

1

, . . . , s

n

).

Un exemple de polynˆ ome sym´ etrique est donn´ e par le discriminant.

D´ efinition. Soient L un corps et x

1

, . . . , x

n

des ´ el´ ements de L. On d´ efinit le discriminant de (x

1

, . . . , x

n

) par

D = Y

1≤i<j≤n

(x

i

− x

j

)

²

= (−1)

^n(n−1)/2

Y

1≤i6=j≤n

(x

i

− x

j

).

Le discriminant g´ en´ erique est celui pour lequel x

₁

, . . . , x

_n

sont des ind´ etermin´ ees et L = Q(x

₁

, . . . , x

_n

). C’est un polynˆ ome sym´ etrique, donc d’apr` es la proposition 1.41 il s’exprime comme un polynˆ ome en les fonctions sym´ etriques ´ el´ ementaires s

₁

, . . . , s

_n

. Une des deux racines carr´ ees de

D est √

D = Y

1≤i<j≤n

(x

_i

− x

_j

).

Le corps quadratique engendr´ e par √

D sur Q est le sous-corps fix´ e par le groupe altern´ e A

_n

de S

_n

.

On d´ efinit aussi le discriminant d’un polynˆ ome unitaire f ∈ K[X ] en consid´ erant un corps de d´ ecomposition L de f sur K : dans L[X ] ce polynˆ ome se factorise compl` etement

f (X) = (X − α

₁

) · · · (X − α

_n

)

et le discriminant de f est d´ efini comme le discriminant de (α

₁

, . . . , α

_n

). D’apr` es ce qui pr´ ec` ede il appartient ` a K.

Le groupe de Galois G d’un polynˆ ome irr´ eductible f de degr´ e n sur Q est un sous-groupe de S

n

; on obtient un tel isomorphisme en num´ erotant les racines de f dans L et en consid´ erant G comme un groupe de permutation de ces racines. Alors G est un sous-groupe de A

n

si et seulement si le discriminant D de f est un carr´ e dans Q.

Le discriminant d’un polynˆ ome quadratique X

²

+aX +b est a

²

−4b, celui d’un polynˆ ome cubique

X

³

+ pX + q est −4p

³

− 27q

²

. Un polynˆ ome irr´ eductible de degr´ e 3 a pour groupe de Galois sur

Q le groupe cyclique d’ordre 3 (qui n’est autre que le groupe altern´ e A

3

) si le discriminant est

un carr´ e dans Q, c’est le groupe sym´ etrique S

3

(groupe non commutatif d’ordre 6) sinon. Cela permet de distinguer les polynˆ omes cubiques dont un corps de rupture est galoisien des autres.

Voici une m´ ethode pour calculer un discriminant. Soit L un corps, soient x

1

, . . . , x

n

des ´ el´ ements de L et soit D leur discriminant. Consid´ erons le polynˆ ome

P (X ) =

n

Y

i=1

(X − x

i

).

Sa d´ eriv´ ee est

P(

⁰

X ) =

n

X

i=1

Y

1≤j≤n j6=i

(X − x

_j

).

Ainsi pour 1 ≤ i ≤ n on a

P

⁰

(α

i

) = Y

1≤j≤n j6=i

(x

i

− x

j

).

Par cons´ equent

n

Y

i=1

P

⁰

(α

i

) = (−1)

^n(n−1)/2

D.

Comme exemple nous utilisons cet argument pour calculer le discriminant des polynˆ omes cy- clotomiques d’indice un nombre premier ([2] Chap. 10, § 10.5, Exemple 10.12).

Proposition 1.44. Soit p un nombre premier impair. Le discriminant du polynˆ ome cyclotomique Φ

_p

d’indice p est

(−1)

^(p−1)/2

p

^p−2

.

D´ emonstration. On utilise ce qui pr´ ec` ede avec P = Φ

p

, n = p − 1 et x

i

= ζ

ⁱ

(1 ≤ i ≤ p − 1). On a P (X) = X

^p

− 1

X − 1 et P

⁰

(X) = pX

^p−1

X − 1 − X

^p

− 1 (X − 1)

²

· Par cons´ equent pour 1 ≤ i ≤ p − 1

P

⁰

(ζ

ⁱ

) = pζ

^i(p−1)

ζ

ⁱ

− 1 ·

Le produit des racines de P est le terme constant P (0) (le degr´ e p − 1 est pair)

p−1

Y

i=1

ζ

ⁱ

= 1.

Le polynˆ ome minimal des nombres ζ

ⁱ

− 1 (1 ≤ i ≤ p − 1) est P(X + 1) dont le terme constant est p :

p−1

Y

i=1

(ζ

ⁱ

− 1) = p.

On trouve ainsi

p−1

Y

i=1

P

⁰

(ζ

ⁱ

) = p

^p−2

.

1.9.4 Compl´ ements

Nous avons vu que le corps cyclotomique Q(ζ

_p

) contenait un unique sous-corps quadratique. Il n’est pas difficile de d´ evelopper l’argument pour d´ eduire qu’inversement, tout corps quadratique sur Q est contenu dans un corps cyclotomique. Un r´ esultat beaucoup plus g´ en´ eral est le th´ eor` eme de Kronecker-Weber : toute extension ab´ elienne de Q est contenue dans une extension cyclotomique.

Un des probl` emes ouverts les plus important du sujet est le probl` eme inverse de Galois : Est-il vrai que tout groupe fini est un groupe de Galois sur Q ? C’est facile pour un groupe ab´ elien, c’est connu pour beaucoup de groupes (en particulier pour S

n

et A

n

), mais pas encore pour tous.

R´ ef´ erences

[1] D.S. Dummit & R.M. Foote – Abstract Algebra, Prentice Hall 1991, 1999.

[2] D. Duverney – Th´ eorie des Nombres, cours et exercices corrig´ es, Dunod, 2` e cycle, 1998.

[3] G. H. ; Hardy & E. M. Wright – An introduction to the theory of numbers. Fifth edition.

Oxford University Press, 1979.

[4] S. Lang – Alg` ebre, Dunod, 2004.