Note sur les polynômes à plusieurs indéterminées

(1)

Daniel Ferrand (Novembre 2005)

La correction de copies m’a fait penser qu’un résumé, en forme de guide de lecture, serait peut-être utile aux agrégatifs sur ce sujet. Il est suivi par deux exemples qui mettent en oeuvre la plupart des notions signalées.

Sigles pour les références A IV= Bourbaki,Algèbre,ch IV AF= Arnaudiès - Fraysse, Algèbre, G= Gourdon,Algèbre,

J= Jacobson,Basic Algebra I

LFA= Lelong-Ferrand et Arnaudies,Alg`ebre

1. - D´efinitions

1.1. Il y a deux points de vue pour aborder les polynômes : on peut commencer par définir ce qu’estun polynôme, puis introduire les opérations qui font de leur ensemble une algèbre. De ce point de vue, rappelons que tout élément de A[X₁, . . . , X_n] s’écrit de fa¸con unique comme combinaison linéaire,

`

a coefficients dans A, des monômes X^m = X₁^m(1)· · ·Xn^m(n), où m parcourt l’ensemble des suites de n entiers≥ 0. Le produit des polynômes est défini en prolongeant par linéarité le produit des monômes, lequel est associé à la somme desn-uples :

X^mX^m⁰ =X₁^m(1)· · ·X_n^m(n)X₁^m⁰⁽¹⁾· · ·X_n^m⁰⁽ⁿ⁾=X₁^m(1)+m⁰⁽¹⁾· · ·X_n^m(n)+m⁰⁽ⁿ⁾=X^m+m⁰.

Certains manuels, dans le souci louable d’être immédiatement compréhensibles, introduisent d’abord l’an- neauA[X] des polynômes à une indéterminée, et définissent ensuite l’anneauA[X1, . . . , Xn] de proche en proche par la règleA[X1, . . . , Xn] = (A[X1, . . . , X_n−1])[Xn].

Le second point de vue consiste à définir d’abord l’algèbre des polynômes par ses relations avec les autres algèbres, et, si nécessaire, préciser ensuite la forme de ses éléments. Cela s’exprime par une propriété universelle, trop souvent négligée.

SoitA un anneau (commutatif et unitaire). Pour une indéterminée, la propriété universelle de A[X] s’énonce ainsi : le couple (A → A[X], X) est universel parmi les couples (ϕ : A → B, b) formés d’une A-algèbre commutative et d’un élémentb∈B; cela signifie que pour tout tel couple il existe un unique morphisme deA-algèbres ϕ_X→b:A[X]→B, tel queϕ_X→b(X) =b.

Pour n indéterminées, la propriété est analogue : pour toute A-algèbre commutativeϕ :A → B, et toute suiteb_.= (b₁, . . . , b_n) denéléments de B, il existe un unique morphisme deA-algèbres

ϕ_X_._→b_. :A[X₁, . . . , X_n] −→ B, qui envoieX_i surb_i, pour 1≤i≤n.

R´ef :AF p.406 ; J p.120

1.2. Cette propriété universelle facilite certaines vérifications.

Considérons, par exemple, un groupeGagissant sur un espace vectorielV sur un corps K; une telle action est la donnée, pour tout g ∈ G, d’un isomorphisme K-linéaire gV : V → V, de telle sorte que 1V = IdV, et que pourg ethdansG, on ait (gh)V =gV ◦hV.

Si V est de dimension n, le choix d’une base permet d’identifier V avec le sous-espace de S = K[X1, . . . , Xn] formé des polynômes homogènes de degré 1, et on considère dorénavent les Xi comme

1

(2)

formant une base deV. On ´etend l’action deGsurV en une action deGsur laK-alg`ebreS, de la fa¸con suivante :

Pour g ∈ G, gS : S = K[X1, ..., Xn] −→ S est l’unique morphisme de K-algèbres tel que gS(Xi) = gV(Xi) ; la restriction de ce morphisme au sous-espace des polynômes de degré 1 est précisément l’automorphisme donnégV. Pour get hdansG, on a (gh)S=gS◦hSpuisque ces deux morphismes ont même restriction àV =KX1⊕· · ·⊕KXn, et que l’extension àSest unique. Comme chaque élément deGadmet un inverse, chacun des morphismes gS admet un morphisme réciproque, et est donc unautomorphisme de laK-algèbreS; de plus, l’applicationG→AutK−alg(S), g7→gSest un morphisme de groupes.

R´ef : LFA p.156 2. Degr´es

2.1. Il est souvent très utile de décomposerS=K[X₁, ..., X_n] en une somme directe de sous-modules (libres) de type fini. Pour cela, on introduit divers degrés : une suite d’entiers ≥ 0, d₁, . . . , d_n étant choisie, on attribue à X_i le degré (ou poids) d_i. Attribuer le degré 0 à une indéterminée revient à la considérer comme un scalaire, c’est-à-dire à l’adjoindre à l’anneau de base.

Le degré d’un monôme est alors défini par la formule

deg(X^m) = d₁m(1) +d₂m(2) +· · ·+d_nm(n).

Une combinaison linéaire de monômes de même degrédsera nommée un polynôme homogène de degréd.

Tout polynˆomeF s’´ecrit alors de fa¸con unique comme une somme finie F =F0+F1+· · ·+Fs,

oùF_d est homogène de degréd: c’est la somme des monômes de degrédqui figurent dansF. Autrement dit, l’attribution de degré aux indéterminées conduit à une décomposition deSen la somme directe

S = S₀⊕S₁⊕ · · · ⊕S_d⊕ · · ·

où Sd désigne le module des polynômes homogènes de degréd. La règle de multiplication des monômes montre que le produit dans S induit des applications Sd×Se −→ Sd+e; en particulier, S0 est un sous- anneau de S.

Il faut bien comprendre qu’attribuer des degrés auxX_i ne change pas l’anneau des polynômes ; c’est seulement organiser un fa¸con de le voir (de même que choisir une base d’une espace vectoriel ne le modifie pas). Rappelons un exemple familier : les polynômess₁=X+Y ets₂=XY sont, dans l’anneauK[X, Y], de degré 1 et 2 respectivement ; on sait (voir 6.1) qu’ils sont algébriquement indépendants et que, par suite, le sous-anneau K[s₁, s₂] ⊂K[X, Y] est isomorphe à l’anneau des polynômes en 2 indéterminées ; de ce point de vue on attribue, souvent le degré 1 à s1et às2.

2.2. Critère :Pour qu’un polynôme F soit homogène de degréd, il faut et il suffit que, dans l’anneau S[Z], l’on ait F(Z^d¹X1, . . . , Z^dⁿXn) =Z^dF(X1, . . . , Xn)

Lorsque on munit les indéterminées du degré 1, on retrouve ce qui sert de définition de l’homogénéité en analyse.

Application à l’irréductibilité :

2.3. Soit K un anneau factoriel, par exemple un corps, etF_d, F_d+1 ∈K[X₁, ..., X_n] deux polynômes homogènes de degré respectivementdetd+ 1. Si ces polynômes sont premiers entre eux, alorsF_d+F_d+1 est irréductible (donc premier).

Consid´erons en effet une factorisation

F_d+F_d+1 =G.H = (G_r+· · ·+G_s)(H_t+· · ·+H_u)

où lesGisont de degréiet lesHjde degréj; on suppose aussi que les composantes extrêmesGr, Gs, Ht

etHusont non nulles. On a doncFd=GrHt, d’o`ud=r+t, ainsi queFd+1=GsHu, d’o`ud+ 1 =s+u;

(3)

on tire de ces ´egalit´es la relation

(s−r) + (u−t) = 1.

Comme les deux entiers écrits entre parenthèses sont ≥ 0, on a s = r ou u = t, disons s = r; alors G=Gr, et ce polynôme diviseFd etFd+1, doncGest une constante inversible.

Cet ´enonc´e admet des variantes :

2.4. SoitKun corps, soitF, G∈K[X₃, . . . , X_n]deux polynômes premiers entre eux (pas nécessairement homogènes), etretsdeux entiers premiers entre eux. AlorsX₁^rF+X₂^sGest irréductible dansK[X₁, ..., X_n].

En particulier,X₁F+G, etX₁^r+X₂^s sont irr´eductibles.

L’anneauA=K[X3, . . . , Xn] est factoriel etK[X1, ..., Xn] =A[X1, X2]. Soienttetudeux entiers≥0 tels quesu−rt= 1 ; affectons le degrét àX1, et le degréuà X2, de sorte queX₁^rF est de degrért, et X₂^sGest de degrésu=rt+ 1. Le résultat précedent permet alors de conclure.

3. - ´Ecritures

Un élément deA[X1, ..., Xn] peut être écrit de plusieurs fa¸cons, et il faut toujours choisir la plus simple, i.e. la moins explicite :

– une seule lettre,uouF; il est le plus souvent inutile de s’encombrer de précisions qui ne serviront qu’à perdre le temps de les écrire, et à distraire l’esprit ;

– u₀+...+u_slorsqu’on fait intervenir la décomposition deuen somme de polynômes homogènesu_d; – u(X₁, ..., X_n) lorsqu’on pense devoir utiliser la propriété universelle, en particulier lorsqu’on considère

la fonction polynˆome associ´ee ;

– X

a_mX^m, lorsqu’on doit consid´erer explicitement les coefficients, par exemple pour certaines ques- tions de divisibilit´e ;

– X

a_m₁_,...,m_nX₁^m¹X₂^m²...X_n^mⁿ; cette pénible écriture est presque toujours évitable.

4.- Binˆomes

Dans la suite, le passageA[T] ⊂ A[[T]] de l’anneau des polynômes à celui des séries formelles permet de considérer l’inverse d’un polynômeF(T) tel queF(0) = 1, comme une série formelle, sur le modèle de la relation de base

(1−T)⁻¹ = 1 +T+T²+· · · Plus généralement, pour tout entiern(même négatif !), on a

4.1 (1 +T)ⁿ = X

d≥0

n d

T^d, o`u ⁿ_d

d´esigne la valeur enndu«polynˆome binomial» X

d

= X(X−1)· · ·(X−d+ 1) d!

Ainsi, pour un entiern≥0, on a ⁻ⁿ_d

= (−1)^{d n}^+d−1_d .

Vérifions la formule (4.1) pour les entiers négatifs, par récurrence descendante sur n, à partir du cas n=−1 supposé connu (ou admis !). En dérivant les deux membres de la formule 4.1, on trouve

n(1 +T)ⁿ⁻¹ = X

d≥1

n d

dT^d−1.

Or, ⁿ_d

._n^d = ⁿ⁻¹_d−1 .

(4)

R´ef : AF p.353 ; LFA p.229

5. - Dimensions

Proposition 5.1 SoientK un corps etS=K[X₁, ..., X_n]l’anneau des polynômes ànindéterminées.

Attribuons le degré d_i à X_i, et soit S_d le sous-espace des polynômes homogènes de degré d. Alors, dans Q[[T]], on a la relation

X

d≥0

dim(Sd)T^d = 1

(1−T^d¹)· · ·(1−T^dⁿ). En particulier, si chaqueX_i est dot´e du degr´e1, on a

dim(S_d) =

n+d−1 d

Posons S⁰ = K[X₁, . . . , X_n−1] ; le noyau du morphisme surjectif S → S⁰, défini par X_n 7→ 0, est engendré par les monômes multiples deX_n; en degréd, ce noyau est donc X_nS∩S_d =X_nS_d−d_n. Cela implique la relation

dim(Sd) = dim(Sd−dn) + dim(S⁰d).

Passant `a la s´erie formelle, on obtient X

d≥0

dim(Sd)T^d = T^dⁿ.X

d≥0

dim(Sd)T^d + X

d≥0

dim(S⁰d)T^d, soit

(1−T^dⁿ)(X

d≥0

dim(Sd)T^d) =X

d≥0

dim(S⁰d)T^d. On termine la démonstration par récurrence sur le nombre d’indéterminées.

La derni`ere assertion provient de 4.1, qui s’´ecrit ici 1

(1−T)ⁿ = X

d≥0

n+d−1 d

T^d.

R´ef : G, p.82

6. -Polynômes symétriques élémentaires

Etant donn´´ ees n+ 1 indéterminées T, X1, . . . , Xn, on définit le polynôme symétrique élémentaire de degréi, noté (ce sont les notations de Bourbaki) si(X1, . . . , Xn), par la relation

n

Y

i=1

(1 +T X_i) = 1 +s₁T +s₂T²+· · ·+s_nTⁿ. On a donc

s_i(X₁, . . . , X_n) = X

H

Y

j∈H

X_j,

oùH parcourt l’ensemble des parties àiéléments de{1,2, . . . , n}. Le théorème suivant est fondamental.

Théorème 6.1. SoitK un anneau (commutatif et unitaire). PosonsS=K[X1, ..., Xn], et désignons par S^Sⁿ le sous-anneau des polynômes symétriques.

a) La K-algèbre des polynômes symétriques est engendrée par s1, . . . , sn : S^Sⁿ=K[s1, . . . , sn].

b) Les éléments s1, . . . , sn sont algébriquement indépendants surK.

(5)

c) La famille des monˆomes X^m =X₁^m(1). . . Xn^m(n) tels que 0 ≤m(i)< i pour 1 ≤i ≤n, est une base deScomme module sur le sous-anneau S^Sⁿ. En particulier, S est unS^Sⁿ-module libre de rang n!.

R´ef :

A IV p.58particuli`erement clair.

AF p.424, mais avec l’hypoth`ese stupide queK=C.

G p.78sans démonstration, mais avec un procédé de calcul compréhensible.

J p.133court, efficace ; l’anneau de base est quelconque.

LFA p.160, très détaillé, maisKest supposé être un corps algébriquement clos de caractéristique zéro

7. - Comment vérifier que des éléments sont algébriquement indépendants ?

Il n’y a pas de procédé général, aussi un exemple simple suffira pour indiquer des méthodes possibles.

Deux éléments a et b d’une C-algèbre A sont algébriquement indépendants (sur C) s’il n’y a pas de polynôme non nul F ∈ C[X, Y] tel que F(a, b) = 0, autrement dit si le morphisme de C-algèbres C[S, T]−→A, défini parS7→aet T 7→best injectif. Dans ce paragraphe, je note : a

b le morphisme C[S, T]−→A, S7→a, T 7→b.

La démarche proposée consiste à factoriser ce morphisme en un composé de morphismes suffisamment simples pour être visiblement injectifs.

Voici un exemple explicite qui sera utilis´e plus bas (§11).

7.1. Les polynômesX⁴+Y⁴ etX²Y² deC[X, Y]sont algébriquement indépendants.

Commen¸cons par une remarque.

7.2. Si petq sont des entiers≥1, le morphisme C[X, Y]→C[X, Y] d´efini parX 7→X^p, Y 7→Y^q, c’est-`a-direX^p

Y^q , est injectif.

Car l’image de la base (XⁱY^j)_(i,j) est la partie libre (X^piY^qj)_(i,j).

Pour vérifier 7.1, il suffit donc de vérifier que X²+Y² et XY sont algébriquement indépendants, puisque le morphismeX⁴+Y⁴

X²Y² se factorise en C[S, T]{^{X2 +Y}XY ²}

−→ C[X, Y]{^XY²2}

−→ C[X, Y].

Or, le morphismeX²+Y²

XY se d´ecompose en C[S, T]{^U−2VV }

−→ C[U, V]{^UV²}

−→ C[U, V]{^X+YXY }

−→ C[X, Y] Le premier morphisme U−2V

V est un isomorphisme, le second est injectif d’après 7.2, et X+Y XY est injectif puisque ses composantes sont les polynômes symétriques élémentaires enX et Y (voir 6.1).

8. - Relations de Newton et de Waring

Les sommes de puissances, parce que ce sont des polynômes symétriques, s’expriment en fonction des si; on a pour elles des formules explicites dues à Newton et Waring. Pla¸cons nous dans l’anneau Z[T, X1, . . . , Xn]. Posons (notations de Bourbaki)

p_d = X₁^d+. . .+X_n^d. Consid´erons le polynˆomeF(T) =Qn

i=1(1−T X_i) = 1−s₁T+s₂T²−. . .+ (−1)ⁿs_nTⁿ.On a

−T F⁰(T)

F(T) = T X1

1−T X1

+· · ·+ T Xn

1−T Xn

.

(6)

En utilisant de nouveau le developpement en s´erie formelle (1−Z)⁻¹=P

m≥0Z^m, avecZ =T X_i, on trouve

−T F⁰(T)

F(T) = X

m≥1

T^mp_m,

soit, après simplification parT, larelation de Newton (c’est une égalité dans l’anneauZ[X1, . . . , Xn][[T]])

8.1 F(T).(X

m≥1

T^m−1p_m) +F⁰(T) = 0.

En considérant le coefficient deT^k, on trouve la forme usuelle (A IV, p.65 ; AF, p.428 ; G, p.81 ; LFA p.166) On peut aller plus loin, suivant Waring, en «intégrant» cette relation, mais cela oblige à introduire des dénominateurs entiers, et donc à se placer dans l’anneauQ[X1, . . . , Xn][[T]]. Posons

P(T) = X

m≥1

p_m m T^m. La relation de Newton s’´ecrit

F⁰(T)

F(T) = −P⁰(T).

On en d´eduit par«int´egration»

8.2 F(T) = exp(−P(T)) = 1−P(T) +1

2P(T)²− 1

3!P(T)³. . .

Il faut remarquer que le second membre a bien un sens puisqueP(T) commence parT, doncP(T)^k par T^k; ainsi, le coeficient deT^k du second membre ne fait intervenir que lesP(T)^j pourj≤k.

Comme F(T) = 1−s₁T +s₂T²−. . .+ (−1)ⁿs_nTⁿ, en consid´erant le coefficient de T^k du second membre, on voit que, pour 1≤k≤n, il existe un polynˆomeGk∈Q[X1, . . . , Xn], tel que l’on ait

sk(X1, . . . , Xn) = Gk(p1, . . . , pn).

Si on y tient, et si on a une bonne machine, la formule 8.2 permet de calculer effectivement ces polynˆomes.

Si on cherche, `a l’inverse, `a exprimer les sommes de puissances en fonction dessi, on utilise le logarithme et 8.2 devient

8.3 P(T) = −log(F(T)).

Un petit commentaire s’impose : on peut écrireF(T) = 1−T G(T), avecG(T) =s1−s2T+s3T²· · ·; le logarithme deF est donc bien défini ; on trouve la série formelle

8.4 P(T) = T G+T²G²

2 +T³G³ 3 +· · · Cette formule est explicit´ee par exemple dansAF p.431.

9. Le th´eor`eme de Molien¹

La compréhension du résultat qui suit n’est pas indispensable pour un agrégatif. Cependant, outre son intérêt culturel évident, il a été, et restera, une source d’inspiration pour les concepteurs des épreuves

´

ecrites du concours car il met en oeuvre des notions et des proc´ed´es qui sont, eux, explicitement dans le programme.

1Theodor Molien, ou Molin, (1861-1941), mathématicien russe qui a commencé ses travaux dans l’entourage de Klein et de Frobenius et qui, n’ayant pu trouver de position académique en Allemagne s’est établi vers 1900 à Tomsk (Sibérie), dans un isolement mathématique peu propice à la recherche. Le résultat cité date de 1897.

(7)

On considère ici l’anneauS=C[X₁, . . . , X_n] muni de sa graduation usuelle. On suppose qu’un groupe fini G opère sur l’espace V = S1 des polynômes homogènes de degré 1, et on étend cette action à S, comme il est expliqué dans 1.2. En utilisant 2.2 on voit que chaqueg ∈Ginduit un automorphisme de Sd; on note S^G_d le sous-espace invariant.

Théorème de Molien Sous les hypothèses précédentes, on a X

d≥0

dim(S^G_d)T^d = 1

|G|

X

g∈G

1 det(1−T gV).

Notation et définition : SoitA⊂S=C[X1, . . . , Xn] une sous-C-algèbre qui se décompose en la somme directe⊕d≥0Ad, oùAd=A∩Sd est l’espace des polynômes homogènes de degrédqui sont dansA. On appellesérie de PoincarédeA la série formelle

PA(T) = X

d≥0

dimC(Ad)T^d.

Le théorème de Molien porte donc sur la série de Poincaré de l’anneau des invariantsA=S^G.

Pour simplifier, notonsg^(d)l’automorphismeg_S_dinduit parg_V surS_d; d’apr`es la formule de la trace², on a

dim(S^G_d) = 1

|G|

X

g∈G

Tr(g^(d)).

Calculons Tr(g^(d)). CommegV est d’ordre fini, il est diagonalisable ; choisissons donc une base deV, que l’on persiste `a noter {X1, . . . , Xn}, telle que gXi =ζiXi, o`u les ζi sont les valeurs propres de gV ; en particulier, on a

det(1−T gV) =Y

i

(1−ζiT).

L’espaceSdadmet pour base les monômesX^m, où, comme déjà vu plus haut,mparcourt l’ensemble des suitesm= (m(1), . . . , m(n)) d’entiers≥0 de poids|m|=P

im(i) =d. On a donc g^(d)(X^m) = (gX₁)^m(1)· · ·(gX_n)^m(n)=ζ^mX^m. (Bien entendu,ζ^md´esigne le produit ζ₁^m(1)· · ·ζn^m(n)). On en d´eduit

Tr(g^(d)) = X

|m|=d

ζ^m.

Par suite, en r´eorganisant les sommes, on trouve X

d≥0

Tr(g^(d))T^d=X

d

X

|m|=d

ζ^mT^d=X

m

ζ₁^m(1)T^m(1)· · ·ζ_n^m(n)T^m(n)

= (X

d

ζ₁^dT^d)(X

d

ζ₂^dT^d)· · ·(X

d

ζ_n^dT^d) = (1−ζ1T)⁻¹· · ·(1−ζnT)⁻¹= 1

det(1−T gV).

2SoitGun groupe fini op´erant sur unC-vectorielV. L’endomorphismep=_|G|¹ P

g∈Ggvérifie la relationhp=ppour tout h ∈ G. Cela montre d’abord que c’est un proecteur : p² = p. Cela montre aussi que Im(p) est formé d’éléments invariants sousG; réciproquement sixest invariant, il est clair quep(x) =x. Bref,V^G= Im(p). Par ailleurs,pétant un projecteur, l’espaceV est décomposé en somme directeV = Im(p)⊕Ker(p). Commepest l’identité sur le premier facteur et est nul sur le second, on a dim(Im(p)) = Tr(p). Cela entraˆıne laformule de la trace

dim(V^G) = 1

|G|

X

g∈G

Tr(g).

(8)

10. - Application à certaines fractions rationnelles On va montrer l’égalité suivante :

10.1 X

ωⁿ=1

1

(1−ωT)(1−ω⁻¹T) = n. 1 +Tⁿ (1−T²)(1−Tⁿ).

Cela n’apporte rien d’´ecrire les d´enominateurs des termes de gauche sous la formeT²−2 cos(^2kπ_n )T+ 1.

Je ne le ferai donc pas. L’idée du calcul est d’interpréter ces polynômes comme des déterminants pour pouvoir utiliser le théorème de Molien.

Considérons le groupe (isomorphe au groupeµ_n des racinesn-èmes de l’unité dansC) G ⊂ SL(2,C)

form´e des matrices ^ω₀_ω⁰−1

, où ω est une racine n-ème de l’unité. En notant g_ω l’automorphisme de C[X, Y] défini parg_ω(X) =ωX, etg_ω(Y) =ω⁻¹Y,on a

det(1−gωT) = (1−ωT)(1−ω⁻¹T).

Il faut donc d´eterminer l’anneau des invariantsA=C[X, Y]^G.

Comme les gω sont diagonaux au sens où ils envoient un monôme sur un monôme du même bidegré, il suffit de caractériser les monômes invariants. Par ailleurs, le groupeGest cyclique engendré par gω si ω est une racine primitive. Fixons donc une telle racine primitive n-ème de l’unité. Comme

gω(XⁱY^j) = ω^i−jXⁱY^j,

on voit que ce monˆome est invariant si et seulement si i ≡ j modn . La condition se pr´ecise en : il existe trois entiers≥0,a, betc tels que

0≤c≤n−1, i=c+an, j=c+bn.

Par suite les monˆomes invariantsXⁱY^j sont exactement ceux de la forme (XY)^c(Xⁿ)^a(Yⁿ)^b.

Posons B = C[Xⁿ, Yⁿ] ; on a donc les inclusionsB ⊂ A ⊂C[X, Y]. La remarque qui précède signifie qu’on a une décomposition en une somme directe

A = B⊕XY B⊕(XY)²B⊕ · · · ⊕(XY)ⁿ⁻¹B.

En degr´ed, on trouve :

10.2 A_d = B_d⊕XY B_d−2⊕ · · · ⊕(XY)ⁿ⁻¹B_d−2n−2.

D’après 7.2,Xⁿ etYⁿ sont algébriquement indépendants, et le théorème 5.1 montre que PB(T) = X

d≥0

dimC(Bd)T^d = 1 (1−Tⁿ)². Par suite, tenant compte de 10.2, on a

PA(T) = PB(T) +T²PB(T) +· · ·T²ⁿ⁻²PB(T) = 1 +T²+· · ·+T²ⁿ⁻² (1−Tⁿ)² . En multipliant num´erateur et d´enominateur par 1−T², et en divisant par 1−Tⁿ, on trouve

PA(T) = 1 +Tⁿ (1−T²)(1−Tⁿ). Le théorème de Molien conduit alors à la formule 10.1 .

(9)

11. - Invariants sous le groupe quaternionien

Dans ce paragraphe le théorème de Molien sert à déterminer la structure algébrique (générateurs et relations) de l’anneau des invariants sous le groupe quaternionienA=C[X, Y]^Q⁸. Pour parvenir vite à ce qui est en cause ici, on définit le groupe quaternionien de la fa¸con suivante.

Q8=SU(2,Z[i]) ⊂ GL(2,C).

C’est donc le groupe des matricesM de format (2,2), à coefficients dans l’anneau des entiers de Gauss, de déterminant 1, et qui sont unitaires :M^tM¯ = 1. En explicitant ces conditions, on trouve les 8 éléments suivants :

11.1 ±

1 0 0 1

, ±

i 0

0

−i

, ± 0

1

−1 0

, ±

0 i i 0

.

Le déterminant de ces éléments est égal à 1, et leur trace est nulle sauf pour les deux premiers où elle vaut 2 et−2. La relation de Molien s’écrit donc

PA(T) = 1 8( 1

(1 +T)²+ 1

(1−T)² + 6

1 +T²) = 1 +T⁶ (1−T⁴)².

Par ailleurs, on peut vérifier (mais évidemment aucun lecteur ne le fera !) que les polynômes u=X⁴+Y⁴, v=X²Y², w=XY(X⁴−Y⁴)

sont invariants. On va montrer que C[u, v, w] = A, et que la seule relation entre ces générateur est la relation évidente

w²−u²v+ 4v³ = 0.

D’après 7.1, les polynômes u et v sont algébriquement indépendants. Montrons que la somme (de sous-espaces vectoriels)B+wB ⊂Aest directe : sinon, en effet, il existepetq dans B tels quep=wq, d’oùp²=q²w²; mais la relation ci-dessus montre quew² est un polynôme de degré 3 enuet v, ce qui rend impossible la relation p² = q²w² dans l’anneau de polynômes B = C[u, v]. On peut maintenant montrer queB⊕wB est égal àA en vérifiant que pour toutdles espaces des polynômes de degréd(en X et Y) (B⊕wB)d etAd ont la même dimension.

Comme u et v sont algébriquement indépendants, et de degré 4 en X, Y, la série de Poincaré de B=C[u, v] est donnée par 5.1.

PB(T) = 1 (1−T⁴)². Commew est de degré 6 la série de Poincaré deB⊕wB est

1 +T⁶ (1−T⁴)².

C’est la série de Poincaré deA, comme on l’a vu plus haut. D’où le résultat.

On en déduit immédiatement queS^Q⁸ est isomorphe àC[U, V, W]/(W²−U²V + 4V³).