MPSIA 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 13 (du lundi 14 au vendredi 18 janvier) lyc´ee Chaptal
Polynˆ omes ` a une ind´ etermin´ ee
I. L’alg` ebre K [X]
Structure de K(N) (suites `a support fini) : de K-espace vectoriel ; produit et structure d’anneau. Composition, ind´etermin´eeX, notation
∞
X
k=0
akXk, calculs.
Degr´e d’un polynˆome : d´efinition et propri´et´es.K[X] est int`egre.
Divisibilit´e dansK[X] ; polynˆomes associ´es ; ensembles des diviseurs, des multiples d’un polynˆome. Division euclidienne dansK[X], algorithme. Exemples.
II. Fonctions polynomiales
Fonction polynomiale associ´ee `a un polynˆome.
Evaluation de la valeur d’une fonction polynomiale en un point : comparaison d’algo- rithmeshhna¨ıfsiiet de celui de Horner.
D´erivation des polynˆomes, des fonctions polynomiales, d´eriv´ees successives. Formules de Leibniz et de Taylor.
III. Racines d’un polynˆ ome
1. d´efinition, caract´erisation `a l’aide de la divisibilit´e, cas de p racines distinctes, exemples.
Ordre de multiplicit´e d’une racine. Caract´erisation de l’ordre de multiplicit´e d’une racine `a l’aide des d´eriv´ees successives.
Nombre maximal de racines (en comptant leur multiplicit´e) d’un polynˆome non nul.
Applications au morphismeP 7→P, `˜ a l’unicit´e des polynˆomes de Tchebychev.
2. relations coefficients/racines : polynˆomes scind´es, fonctions sym´etriques. Exemples.
3. factorisation dansC[X] : th´eor`eme fondamental de d’Alembert-Gauss, irr´eductibles deC[X], d´ecomposition primaire. Exemple deXn−1.
4. factorisation dans R[X] : conjugaison des polynˆomes et racines, conjugu´e d’une racine non r´eelle ; irr´eductibles deR[X], d´ecomposition primaire.
5. polynˆomes interpolateurs de Lagrange.
IV. Arithm´ etique
1. PCGD : propri´et´es de l’id´ealA.K[X] +B.K[X], d´efinition depgcd(A, B) =A∧B, relations de Bezout, algorithme d’Euclide.
2. PPCM : propri´et´es de l’id´ealA.K[X], d´efinition deppcm(A, B) =A∨B.
3. Propri´et´es arithm´etiques : polynˆomes premiers entre eux, th´eor`eme de Bezout, lemme de Gauss, lien entreA×B,A∧B etA∨B.
Remarque : la notion d’id´eal n’est pas au programme.
R´ evision : Fonctions d’une variable r´ eelle ` a valeurs r´ eelles et fonctions usuelles
Revoir les propri´et´es g´en´erales des fonctions deRdansR(parit´e, p´eriodicit´e, monotonie, major´ee/minor´ee, etc...).
Il faut connaˆıtre les domaine de d´efinition, de d´erivation, les d´eriv´ees et les variations des fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ; des fonctions hyperboliques et hyperboliques r´eciproques et aussi des fonctions circulaires r´eciproques
Questions de cours
On rappelle qu’un id´eal d’un anneau commutatifAest un sous-groupeIde (A,+) tel que pour touta∈Aetx∈I,x×a∈I.
Q.1 [facultatif]D´emontrer que siI est un id´eal de K[X], alors il existe un unique polynˆomeP ∈I, unitaire tel queI=P.K[X].
Q.2 D´emontrer, siA, B ∈ K[X], que I =A.K[X] +B.K[X] est un id´eal de K[X]. En d´eduire une d´efinition du PGCD des polynˆomesAetB.On admettra le r´esultat de la question 1.
Q.3 D´emontrer, siA, B ∈ K[X], queJ =A.K[X]∩B.K[X] est un id´eal de K[X]. En d´eduire une d´efinition du PPCM des polynˆomesAetB.On admettra le r´esultat de la question 1.
Q.4 Algorithme d’Euclide de recherche du pgcd et de d´etermination des coefficients de Bezout associ´es. On suppose connue une proc´edure de division euclidienne dans K[X]
Q.5 Th´eor`eme de Bezout et lemme de Gauss.
fonctions num´eriques, limites.
