Th´ eorie de Galois : r´ esolubilit´ e par radicaux

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2013-2014 Module 4M020

Th´ eorie des Nombres - TD3

Th´ eorie de Galois : r´ esolubilit´ e par radicaux

Exercice 1 : (R´esolubilit´e par radicaux) Soitk un corps de caract´eristique nulle.

a) Rappeler la d´efinition d’un groupe r´esoluble.

b) SoitG un groupe fini. SoitH un sous-groupe distingu´e de G. Montrer queGest r´esoluble si et seulementH etG/H le sont.

c) SoitK/k une extension cyclique d’ordre n, dont on noteσ un g´en´erateur du groupe de Galois.

On suppose que kcontient une racine primitive n-i`eme de l’unit´e not´eeζ_n.

i) Montrer que l’applications:K →K d´efinie par s:= id +ζ_n⁻¹σ+· · ·+ζ_n¹⁻ⁿσⁿ⁻¹ n’est pas nulle.

ii) On choisitx∈K tel quey:=s(x)6= 0. Montrer que K =k(y) et yⁿ∈k.

d) Soita∈ketK/kun corps de d´ecomposition de Xⁿ−a. On suppose encore quekcontient une racine primitive n-i`eme de l’unit´e. Montrer que K/kest une extension cyclique.

e) SoitK/kune extension galoisienne de degr´en. On supposeK/kradicale etζn∈k. Montrer que Gal(K/k) est r´esoluble.

f) Soit P ∈k[X] et K/k un corps de d´ecomposition de P. On suppose P r´esoluble par radicaux.

Montrer que Gal(K/k) est r´esoluble.

g) Soit K/k une extension galoisienne de degr´e n telleζ_n∈ k et Gal(K/k) est r´esoluble. Montrer que K/k est radicale.

h) SoitP ∈k[X] etK/kun corps de d´ecomposition deP. On suppose Gal(K/k) r´esoluble. Montrer que P est r´esoluble par radicaux.

i) Conclure queP ∈k[X] est r´esoluble par radicaux si et seulement si Gal(K/k) est r´esoluble.

Exercice 2 : ( ´Equation g´en´erale de degr´e n) a) Montrer que A_n est engendr´e par les 3-cycles.

b) Montrer que sin≥5, les 3-cycles sont conjugu´es dans A_n.

c) En d´eduire que pour n≥5, le groupe d´eriv´e deA_n estA_n tout entier.

d) En d´eduire que S_n n’est pas r´esoluble sin≥5.

e) Soitkun corps de caract´eristique nulle. On noteK :=k(t1, . . . , tn) etP(X) :=Xⁿ−t1Xⁿ⁻¹+

· · ·+ (−1)ⁿt_n∈K[X] (l’´equation g´en´erale de degr´en). Notons Lun corps de d´ecomposition de P surK. Montrer queL/K est une extension galoisienne de groupe de Galois S_n.

f) En d´eduire que l’´equation g´en´erale de degr´enest r´esoluble par radicaux si et seulement sin≤4.

g) Montrer que le polynˆomeX⁵−10X+ 5 n’est pas r´esoluble par radicaux surQ.

[Pour calculer le groupe de Galois de ce polynˆome (vu comme sous-groupe de S₅), on pourra montrer qu’il contient une transposition et un 5-cycle en d´eterminant le nombre de racines r´eelles]

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Exercice 3 : (R´esultant, discriminant)

Soit K un corps de caract´eristique nulle. Soient P =anXⁿ+· · ·+a0 etQ=bmX^m+· · ·+b0 deux polynˆomes `a coefficients dansK, de degr´es respectifs n etm. On rappelle que le r´esultant Res(P, Q) deP etQest d´efini comme le d´eterminant de la matrice de taillem+n





























a_n 0 . . . 0 b_m 0 . . . 0 an−1 an . .. ... bm−1 bm . .. ... ... an−1 . .. 0 ... bm−1 . .. 0 a₀ ... . .. a_n b₀ ... . .. b_m

0 a0 an−1 0 b0 bm−1

... . .. . .. ... ... . .. . .. ... 0 . . . 0 a0 0 . . . 0 b0



























 .

a) Montrer que Res(P, Q) est le d´eterminant de l’application lin´eaire (A, B)7→AP+BQ entre des espaces vectoriels de polynˆomes que l’on pr´ecisera.

b) En d´eduire que Res(P, Q) = 0 si et seulement si P etQ ne sont pas premiers entre eux.

c) NotonsP =a_nQn

i=1(X−x_i) etQ=b_mQm

j=1(X−y_j) dans une clˆoture alg´ebrique deK. Montrer que

Res(P, Q) =a^m_nbⁿ_mY

i,j

(xi−yj) =a^m_n Y

i

Q(xi).

[On pourra introduire la matrice de Vandermonde associ´ee `a (y₁, . . . , y_m, x₁, . . . , x_n) et la mul- tiplier par la matrice d´efinissant le r´esultant]

d) On d´efinit le discriminant du polynˆomeP par ∆(P) := ⁽⁻¹⁾

n(n−1) 2

an Res(P, P⁰).

V´erifier que ∆(P) =a²ⁿ⁻²_n Q

i<j(xi−xj)². e) Montrer que ∆(aX²+bX+c) =b²−4ac.

f) Montrer que ∆(X³+pX+q) =−4p³−27q².

g) Si P est unitaire s´eparable, on note G ⊂S_n son groupe de Galois sur K et L/K un corps de d´ecomposition.

Montrer que G⊂A_n si et seulement si ∆(P)∈(K^∗)². Montrer aussi que l’extension interm´ediaire K ⊂ K(p

∆(P)) ⊂ L correspond au sous-groupe G∩A_n de Gpar la correspondance de Galois.

Exercice 4 : (R´esolution par radicaux des ´equations de degr´e 3)

Soit K un corps de caract´eristique 0. Soit P(X) := X³ +pX + q ∈ K[X], L/K un corps de d´ecomposition de P sur K. On note j une racine cubique de l’unit´e et x₁, x₂, x₃ les racines de P dansL.

a) On note K⁰ := K(j), L⁰ := L(j). Que peut-on dire des groupes de Galois des extensions K⁰ ⊂ K⁰(p

∆(P))⊂L⁰?

b) On introduit α:=x₁+jx₂+j²x₃ etβ :=x₁+j²x₂+jx₃. Montrer que α³, β³∈K⁰(p

∆(P)).

c) Montrer queα³ =−9q+ 3jA+ 3j²B, avecA:=x²₁x2+x²₂x3+x²₃x1 etB:=x1x²₂+x2x²₃+x3x²₁. Donner une formule analogue pour β³.

d) V´erifier que p

∆(P) = (x₁−x₂)(x₂−x₃)(x₂−x₃) est ´egal `a A−B. e) Montrer que αβ=−3p.

f) En d´eduire l’expression de α etβ comme des radicaux en fonction dep,q et ∆(P).

g) Exprimerx₁,x₂ et x₃ comme des radicaux faisant intervenir p etq.

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