Soient F ⊆E⊆K des corps tels que K est une extension simple deF

Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2017/2018

M1 Th´eorie de Galois Maria Chlouveraki

Extensions de corps - TD 2 1. Montrer que Frac(Z[i]) ={a+bi|a, b∈Q}=Q[i] =Q(i).

2. Soit E/F eta, b∈E. Montrer queF(a, b) =F(a)(b) =F(b)(a).

3. Soient F ⊆E⊆K des corps tels que K est une extension simple deF. Montrer queK est une extension simple deE. Est-ce que la r´eciproque est vraie ?

4. Soit E/F. Nous avons [E:F] = 1⇔E =F.

5. Soient F1 ⊆F2⊆ · · · ⊆Fn des corps, avecn≥3. Montrer que [F_n:F₁] =

n−1

Y

i=1

[F_i+1 :F_i].

6. SoientF ⊆E⊆K des corps tels que [K :F] =p, o`up est un nombre premier. Dans ce cas, soitK =E soitE =F. De plus,K est une extension simple deF.

7. Soit F un corps fini avec|F|=q, et soit E/F avec [E:F] =n∈N^∗. Montrer que E est un corps fini avec |E|=qⁿ.

8. SiF est un corps fini, alors|F|=pⁿ pour un certain n∈N^∗, o`u p= carF.

9. Sin∈N, alors√

nest alg´ebrique sur Q.

10. Siz∈Cest une racine de l’unit´e, alors z est alg´ebrique surQ.

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