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Soient F ⊆E⊆K des corps tels que K est une extension simple deF

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Academic year: 2022

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Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2019/2020

M1 Th´eorie de Galois Maria Chlouveraki

Extensions simples et extensions finies - TD 2 1. Montrer que Frac(Z[i]) ={a+bi|a, b∈Q}=Q[i] =Q(i).

2. Soit E/F eta, b∈E. Montrer queF(a, b) =F(a)(b) =F(b)(a).

3. Soient F ⊆E⊆K des corps tels que K est une extension simple deF. Montrer queK est une extension simple deE.

4. Soit E/F. Nous avons [E:F] = 1⇔E =F.

5. Soit F un corps fini avec|F|=q, et soit E/F avec [E:F] =n∈N∗. Montrer que E est un corps fini avec |E|=qn.

6. SiF est un corps fini, alors|F|=pn pour un certain n∈N∗, o`u p= carF.

7. SoientF ⊆E⊆K des corps tels que [K :F] =p, o`up est un nombre premier. Dans ce cas, soitK =E soitE =F. De plus,K est une extension simple deF.

8. Soient F1 ⊆F2⊆ · · · ⊆Fn des corps, avecn≥3. Montrer que [Fn:F1] =

n−1

Y

i=1

[Fi+1 :Fi].

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