Analyse harmonique appliqu´ee M1 Institut Galil´ee Universit´e Sorbonne Paris Nord Ann´ee 2019-2020 Thomas Duyckaerts et Vuk Milisic

Analyse harmonique appliqu´ ee M1 Institut Galil´ ee

Universit´ e Sorbonne Paris Nord Ann´ ee 2019-2020

Thomas Duyckaerts et Vuk Milisic

CHAPITRE 1

Introduction au traitement du signal

Le but de ce cours est de donn´ee des applications de la th´eorie de Fourier vue dans le tronc commun du cours d’analyse harmonique, et en particulier des applications au traitement du signal. La r´ef´erence principale pour ce cours est le livre de C. Gasquet et P. Witomski¹.

1. G´en´eralit´es sur les signaux et les syst`emes

1.1. Signal. Unsignal et une quantit´e d´ependant ’une ou plusiseurs variables physiques (temps, position, fr´equence), par exemple:

• l’intensit´e d’un courant ´electrique ou la diff´erence de potentiel entre deux points d’un circuit ´electrique;

• la position d’un objet;

• le volume d’un son;

• les niveaux de gris, ou de chaque couleur (Rouge Vert Bleu) d’une image;

• le nombre de cas d’une ´epid´emies, les fluctuations de valeurs boursi`eres, de temp´eratures etc...

Le but de la th´eorie du traitement du signal est de trouver des algorithmes per- mettant de comprimer, d’archiver, de transmettre, d’analyser ces signaux. Les applications sont multiples (´electronique, t´el´ecomunications, imagerie m´edicale,

´

epid´emiologie, math´ematiques financi`eres).

On dit que le signal est analogique quand la variable de d´epart est continue (par exemple dans R ou plus g´en´eralement dans R^d, d ≥ 2), et qu’il est discret quand cette variable est discr`ete, principalement dansZou plus g´en´eralementZ^d. La transformation d’un signal analogique en signal discret, n´ecessaire pour pou- voir stocker les signaux informatiquement, est appel´ee´echantillonnage oudiscr´e- tisation. Un des objets principaux de ce cours sera de comprendre, en utilisant l’analyse harmonique, comment l’´echantillonnage affecte les propri´et´es du signal.

Un signal peut ˆetre `a valeurs discr`etes ou continues. En pratique, on doit utiliser des valeurs discr`etes pour stocker les signaux informatiquement. Une mani`ere de le faire est de consid´erer des signaux quantifi´es, c’est `a dire multiples d’une certaine valeur q >0. Nous n’aborderons pas cet aspect ici et consid´ererons seulement des signaux `a valeurs continues.

Un signal peut ˆetre `a valeurs scalaires (l’intensit´e d’un courant ´electrique, le volume d’un son par exemple), ou vectorielle (la position d’un objet). Dans ce cours, nous consid´ererons seulement des signaux `a valeurs scalaires, c’est `a dire r´eelles ou surtout complexes.

1Claude Gasquet and Patrick Witomski.Analyse de Fourier et applications. Filtrage, calcul num´erique, ondelettes. Sciences Sup. Dunod, 2004.

3

Pour r´esumer, dans ce cours, un signal analogique sera une fonction deRdans C, ou plus g´en´eralement une distribution temp´er´ee sur R. Un signal discret sera un ´el´ement de C^Z. La variable, continue ou discr`ete dont d´epend le signal sera consid´er´e comme un temps.

1.2. Exemples de signaux ´el´ementaires. Nous noteronsu(t) l’´echelon unit´e de Heaviside:

u(t) =

(0 sit <0;

1 sit >0.

La valeur ent= 0 n’ayant pas d’importance.

Unsignal rectangulaire (centr´e)r(t) est de la forme:

r_a(t) =

(1 si|t|< a;

0 si|t|> a,

o`u a >0 est un param`etre. On a doncr(t) =u(t+a)−u(t−a).

Lamasse oumesurede Diracδa, distribution temp´er´ee mod´elisant une impul- sion ent=a. Rappelons queu⁰(t) =δ0et queδ0est limite, dansS⁰(R), de la suite des fonctionsn

n 2r1

n

o

n

.

Unsignal sinusoˆıdal pur, oumonochromatique est donn´e par x(t) =αcos(2πλt+ϕ),

dans le cas r´eel et

z(t) =αe^i(2πλt+ϕ),

dans le cas complexe. L’amplitude du signal est α >0, safr´equence est λet son d´ephasage estϕ. Lap´eriode du signal estT = 1/λet sapulsation ω= 2πλ.

Par la th´eorie de Fourier, tout signal (consid´er´e comme un ´el´ement deS⁰(R)) se d´ecompose en une int´egrale (ou une somme, si le signal est p´eriodique) de signaux monochromatiques. Les signaux sinuso¨ıdaux joueront donc un rˆole pr´epond´erant dans ce cours.

1.3. Syst`emes de transmission. Un syst`eme de transmission, (en abr´eg´e syst`eme), est un appareil qui transforme un signal d’entr´ee x(t) en un signal de sortie y(t). Cela peut-ˆetre par exemple un circuit ´electrique ou m´ecanique, un programme informatique permettant d’ˆoter le bruit d’un son ou d’un image...

En th´eorie du signal, on ne s’int´eresse pas `a la fa¸con dont marche l’appareil, mais `a son effet, c’est `a dire `a la transformation du signal d’entr´ee en signal de sortie.

Math´ematiquement le syst`eme est mod´elis´e par un op´erateur A : X → Y, o`u X est l’ensemble des signaux d’entr´ees etY l’ensemble des signaux de sortie. Quand les signaux d’entr´ee et de sortie sont analogiques, on parle desyst`eme analogique, quand ils sont discrets, on parle desyst`eme discret. Lorsque les deux signaux sont de natures diff´erentes, on parle de convertiseeur (analogique-discret ou discret- analogique).

1.4. Exemples de syst`emes. Le syst`emeE qui a x(t) associe {x(kT)}_k∈Z est un convertisseur analogique discret, appel´e ´echantillonneur. Ici T est un r´eel strictement positif.

Le syst`emeB qui `a la suite (xk)_k∈Z associe le signal analogique X

k∈Z

x_k11[kT ,(k+1)T)

1. G ´EN ´ERALIT ´ES SUR LES SIGNAUX ET LES SYST `EMES 5

est un convertisseur analogique discret appel´ebloqueur (ici 11E est la fonction indi- catrice d’un ensembleE.

Remarquons queE◦Best le syst`eme discret identit´e, qui transforme un signal en lui mˆeme. Le syst`emeB◦E est ´evidemment diff´erent de l’identit´e.

Voici quelques syst`emes analogiques id´eaux. On note x(t) l’entr´ee et y(t) la sortie. On ne pr´ecise pas ici les espaces d’entr´ees et de sortiesX etY.

• L’amplificateur id´eal y(t) =qx(t),q >0.

• La ligne `a retard y(t) =x(t−a) (oua >0 est un param`etre).

• Le d´erivateury(t) =x⁰(t).

• Le filtre `a moyenne glissante y(t) = _T¹ Rt

T−tx(s)ds, o`u T > 0 est un param`etre.

Les syst`emes discrets analogues (en notant (x_k)_k l’entr´ee et (y_k)_k la sortie) sont donn´es par

• yk =qxk;

• yk =xk−a (a∈N\ {0}).

• yk =xk−xk−1.

• y_k =_N¹ Pk

j=k−N+1x_j.

Donnons maintenant deux exemples concrets

************Dessins n´ecessaires*********

Circuit RC. On consid`ere un circuit ´electrique constitu´e d’un condensateur (de capacit´e C >0) et d’une r´esistance R. L’entr´ee est la diff´erence de potentielx(t) aux bornes du circuit. La diff´erence de potentiel au borne du condensateur est alors solution de l’´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1.

x(t) =RCy⁰(t) +y(t).

On voit que pour d´eterminery(t) de mani`ere unique, il faut pr´eciser une condition initiale (ce que nous ferons, un peu plus loin, lorsque nous ´etudierons ce circuit plus syst´ematiquement).

Consid´erons maintenant un syst`eme constitu´e de deux solidesAetB, pos´es sur le sol, reli´e par un ressort. L’entr´ee est l’abscisse du premier solide, not´eex(t). La sortie est l’abscisse y(t) du deuxi`eme solide. Le de B frottement est mod´elis´e par une force proportionnelle `a y<sup>0</sup>(t). En premi`ere approximation, la force du ressort exerc´ee surB est proportionnelle `ax(t)−y(t)−`₀, o`u`₀ est la longueur du ressort au repos. En notant αet k les coefficients de proportionnalit´e de ces deux forces, etm la masse deB, on obtient, par la loi de Newton

my⁰⁰(t) =k(x(t)−y(t)−`0)−αy⁰(t), ce qui donne l’´equation diff´erentielle

my⁰⁰(t) +αy⁰(t) +ky(t) =k(x(t)−`0).

Il faut cette fois donner deux conditions initiales pour d´eterminery(t) de mani`ere unique.

Nous ´etudierons de mani`ere syst´ematique les syst`emes de transmission r´egis par des ´equations diff´erentielles au chapitre 4

2. Propri´et´es de base des syst`emes

On r´epertorie ici quelques propri´et´es classiques des syst`emes de transmission.

Ces propri´et´es seront test´ees sur les exemples vus en §1.4: la ligne `a retard, le d´erivateur et le filtre `a moyenne glissante.

Plus pr´ecis´ement, nous concentrerons sur les trois filtres analogiques:

• la ligne `a retard Rd´efinie parRx(t) =x(t−a), avecX=Y =C_b⁰(R).

• le d´erivateur D d´efini par Dx(t) =x⁰(t), avec X =Y =S⁰(R), (Dx)k = xk−x_k−1.

• le filtre `a moyenne glissante M defini par M x(t) = _T¹Rt

t−Tx(s)dx, avec X =Y =C_b⁰(R).

Nous invitons le lecteur `a consid´erer ´egalement les exemples discrets donn´es en§1.4.

Dans toutes les d´efinitions,A:X →Y d´esigne un filtre, analogique ou discret.

2.1. Lin´earit´e. Le syst`emeAestK-lin´eaire lorsqueX etY sont munis d’une structure d’espace vectoriel sur le corpsK(g´en´eralementRouC) et queAest une application lin´eaire entre ce deux espaces, c’est `a dire queA v´erifie le principe de superposition:

∀(x, u)∈X², ∀λ∈C, A(λx+u) =λAx+Au Tous les exemples consid´er´es sont lin´eaires

2.2. Continuit´e. LorsqueX etY sont munis d’une topologie, on peut ´etudier la continuit´e du filtreA. Ainsi:

• La ligne `a retardRet le filtre `a moyenne glissanteMsont continus, lorsque X =Y =C_b^∞(R), muni de la topologie de la convergence uniforme.

• le d´erivateur est continu lorsqueX =Y =S⁰(R), muni de la topologie de S⁰, qui est la topologie de la convergence simple.

Pour v´erifier, par exemple, queM est continu il suffit de v´erifier (M ´etant lin´eaire) queM est born´e sur la boule unit´e deX. Mais un calcul direct montre:

∀t∈R, |M x(t)| ≤ kxk_∞,

ce qui donne le r´esultat. L’affirmation sur la continuit´e du d´erivateur signifie que la d´eriv´ee est une op´eration continue surS⁰, ce qui a ´et´e vue en tronc commun et se v´erifie ais´ement. Supposons en effet

n→∞lim xn =xdansS⁰(R).

Cela signifie exactement

∀ϕ∈ S(R), lim

n→∞hxn, ϕi=hx, ϕi et donc

∀ϕ∈ S(R), lim

n→∞hxn, ϕ⁰i=hx, ϕ⁰i ce qui donne la propri´et´e demand´ee.

2. PROPRI ´ET ´ES DE BASE DES SYST `EMES 7

2.3. Causalit´e.

D´efinition2.1. Une syst`eme analogiqueAest ditcausal(ou r´ealisable) lorsque pour tout xde X et pour tout t₀ ∈ R, (Ax)_t<t0 ne d´epend que de x_t<t0. En d’autres termes,

∀(x₁, x₂)∈X², ∀t₀∈R, (∀t < t₀, x₁(t) =x₂(t))

=⇒(∀t < t0, (Ax₁)(t) = (Ax₂)(t).

On v´erifie ais´ement que nos trois exemples de syst`emes sont causaux. En revanche un syst`eme donn´ee par

y(t) =x(t+a),

o`u aest un param`etre r´eel strictement positif, ne serait pas causal.

Les syst`emes physiques sont ´evidemment causal. Dans le cas discret, on d´efinit la causalit´e comme suit:

D´efinition 2.2. Une syst`eme discret A est causal lorsque pour tout x = (xk)k∈Z deX et pour toutt0∈R, (Ax)k₀ ne d´epend que de (xk)k≤k₀.

2.4. Invariance. Pour un tempsa∈R, on noteτ_a la translation en temps:

(τax)(t) =x(t−a).

D´efinition 2.3. Un syst`eme analogiqueA estinvariant lorsqueX et Y sont invariants par les translations en temps et

∀a∈R, Aτa =τaA.

La ligne `a retard, le d´erivateur et le filtre `a moyenne glissante sont invariants.

Montrons pour le filtre `a moyenne glissante. L’espace C_b⁰(R,C) est invariant par translation en temps: si xest une fonction continue et born´ee, il en est de mˆeme pour toutes ses translat´ees en temps. De plus

(Aτ_ax)(t) = 1 T

Z t t−T

x(s−a)ds= 1 T

Z t−a t−a−T

x(s⁰)ds⁰= (τ Ax)(t), o`u on a fait le changement de variable s⁰=s−a.

On peut facilement construire un syst`eme non invariant. Fixons par exemple une fonction continue et born´ee non constante ϕ sur R. Consid´erons le syst`eme donn´e par

Ax(t) =ϕ(t)x(t),

o`u X=Y =C_b⁰(R). AlorsA est continu, lin´eaire, causal, mais non invariant.

Proposition2.4. Un syst`eme invariant transforme une fonction p´eriodiquex en une fonction p´eriodique de mˆeme p´eriode.

D´emonstration. SoitT >0 etx∈X p´eriodique de p´eriodeT. Cela signifie exactementτTx=x, et donc

Ax=AτTx=τTAx,

c.`a.d. queAxest p´eriodique.

On peut ´egalement d´efinir un syst`eme non-invariant dans le cas discret. Notons τ le d´ecalage d’indice `a gauche surC^Z:

τ((x_k)_k) = (x_k−1)_k.

D´efinition 2.5. Un syst`eme discretA :X →Y est invariant quand X et Y sont invariants parτ et

Aτ=τ A.

Les analogues discrets du d´erivateur, de la ligne `a retard et du filtre `a moyenne glissante sont bien sˆur invariants.

3. Filtre

On introduit ici un exemple important de syst`eme de transmission, appel´efiltre.

3.1. D´efinition.

D´efinition 3.1. Un syst`eme de transmission A : X → Y (analogique ou discret) est appel´efiltre quand il est continu, lin´eaire et invariant.

Remarque 3.2. Nous nous int´eresserons principalement aux filtres physique- ment r´ealisables, donc causaux. Certains auteurs pr´ef`erent rajouter la causalit´e dans la d´efinition d’un filtre. Nous pr´ef´erons nous en tenir `a la d´efinition standard 3.1.

SiA est un filtre, on a donc le principe de superposition:

A

+N

X

−N

c_nx_n

!

=

+N

X

−N

c_nAx_n, pour toutes fonctions x_n ∈ X et coefficients c_n ∈ C. Si P

Zc_nx_n est une s´erie convergent dans X, on obtient, par continuit´e de A en passant `a la limite dans l’´egalit´e pr´ec´edente:

A

+∞

X

−∞

cnxn

!

=

+∞

X

−∞

cnAxn.

3.2. Effet sur les signaux sinuso¨ıdaux. Par la th´eorie des s´eries de Fourier, sixest une fonction localementL², p´eriodique de p´eriodeT,

x(t) =

+∞

X

n=−∞

cne^i2πt/T,

avec convergence dans L²(0, T). Soit A un filtre p´eriodique de p´eriode T sur L²(0, T). D’apr`es ce qui pr´ec`ede, il suffit de connaˆıtre la valeur deAsur les signaux monochromatiquese^i2πt/T pour d´ecrire de compl`etement l’effet deA surL²(0, T).

Des consid´erations similaires sont valables pour des fonctions non p´eriodiques, mais d´ecroissantes `a l’infini par la formule d’inversion de Fourier.

On analyse ici l’effet d’un filtre sur une fonction monochromatiqe. On rappelle la notation:

eλ(t) =e^2iπλt.

Proposition 3.3. Soitλ∈R, et A:X →Y un filtre analogique. Supposons eλ∈X. Alorseλest une fonction propre deX: il existe un nombre complexeH(λ) tel que

Ae_λ=H(λ)e_λ.

D´efinition 3.4. La fonction λ 7→ H(λ), d´efinie sur {λ ∈ C|e_λ ∈ X}, est appel´efonction de transfert du filtreA.

3. FILTRE 9

Preuve de la proposition. Soitfλ=Aeλ. On a τ_ue_λ=e^−2iπλue_λ. On en d´eduit, par lin´earit´e

A(τ_ue_λ) =e^−2iπλuAe_λ=e^−2iπλuf_λ. Par invariance du filtre,

A(τ_ue_λ) =τ_uAe_λ=τ_uf_λ.

On a montr´e τufλ = e^−2iπλufλ, pour tout u ∈ R. En appliquant cet ´egalit´e au tempst= 0, on obtient

fλ(−u) =e^−2iπλufλ(0), soit

fλ=fλ(0)eλ,

ce qui donne le r´esultat demand´e. La fonction de transfertH(λ) ´etant donn´ee par H(λ)(0) = (Aeλ)(0).

Donnons quelques exemples.

La fonction de transfert du d´erivateur est donn´ee parλ7→2iπλ.

La fonction de transfert de la ligne `a retardx7→x(t−a) estλ7→e<sup>−2iπλa</sup>. La fonction de transfert du filtre `a moyenne glissante de p´eriodeT est

H :λ7→ 1−e^−2iπλT 2iπT λ

(avec H(0) = 1). Le filtre `a moyenne glissante att´enue les hautes fr´equences (|H(λ)|.1/|λ| pour des grandsλ) mais transforme tr`es peu les basses fr´equences (H est proche de 1 pr`es de λ= 0). On dit que c’est un filtre passe-bas.

3.3. Exemple du circuitRC.

3.3.1. Filtre. On va maintenant analyser de mani`ere plus syst´ematique le cir- cuit RC, introduit en§1.4. On rappelle que la sortiey(t) v´erifie l’´equation diff´eren- tielle lin´eaire d’ordre 1

RCy⁰(t) +y(t) =x(t),

o`u x(t) est la sortie. On r´esout cette ´equation par la m´ethode de variation de la constante, et on obtient

y(t) = 1 RC

Z t t₀

e^−t−sRCx(s)ds+y(t₀)e^−t−tRC0, o`u t0∈Rest un temps initial arbitraire. En supposant

t₀→−∞lim e^−t0/(RC)y(t0) = 0,

(c’est `a dire, dans un sens tr`es faible, que la sortie y est nulle pour des temps infiniment petit), on obtient la formule

(1) y(t) = 1

RC Z t

−∞

e^−t−sRCx(s)ds,

que nous prendrons comme d´efinition math´ematique du syst`eme de transmissions RC. Montrons que (1) d´efinit un filtre causal

A:C_b⁰(R,C)→C_b⁰(R,C),

o`uC_b⁰(R,C) est muni comme d’habitude de la topologie de la convergence uniforme.

La lin´earit´e et la causalit´e sont ´evidentes. L’invariance se v´erifie ais´ement par changement de variable dans l’int´egrale:

1 RC

Z t

−∞

e^−t−sRCx(s−a)ds= 1 RC

Z t−a

−∞

e^{−t−s0 −aRC} x(s⁰)ds⁰. Pour montrer la continuit´e, on ´ecrit:

|y(t)| ≤ 1 RC

Z t

−∞

e^−t−sRCdskxk_∞=kxk_∞,

ce qui montre que l’op´erateur A est continu et que sa norme d’op´erateur est 1 (l’´egalit´e est atteinte pourx= 1, qui donney= 1).

Exercice 3.5. NotonsL²_T(R) l’espace vectoriel des (classes de) fonctions p´e- riodiques de p´eriodeT, `a carr´es int´egrables, muni de la norme

kfk_L2 T = 1

T Z T

0

|f|².

V´erifier queA est aussi continu comme application deL²_T(R) dans lui-mˆeme.

3.3.2. Fonction de transfert. Par un calcul direct, Ae_λ(t) = 1

2iλπRC+ 1e^2iπλt= 1

2iλπRC+ 1e_λ(t).

La fonction de transfert est

H(λ) = 1

1 + 2iπλRC.

On aH(0) = 1 et lim_|λ|→∞H(λ) = 0. Le filtreRC est un filtre passe-bas.

3.3.3. Ecriture sous forme d’une convolution.´ La formule y(t) = 1

RC Z t

−∞

e^−t−sRCx(s)ds peut s’´ecrire

y(t) = Z +∞

−∞

h(t−s)x(s)ds, o`u

h(t) = 1

RCe^−RCt u(t).

En d’autres termes, le filtreRC est donn´e par une convolution:

Ax=h∗x.

Remarquons quehest (du moins formellement) la r´eponse `a l’impulsion de Dirac δ0. La fonction h est appel´ee “r´eponse impulsionnel”. L’´ecriture sous forme de convolution d’un filtre et sa r´eponse impulsionnelle sont des propri´et´es g´en´erales des filtres sur lesquelles nous reviendrons au chapitre 4

CHAPITRE 2

Transformation de Fourier discr` ete.

Transformation de Fourier rapide

1. Rappels rapides sur les s´eries de Fourier

Pour p∈[1,∞), on note L^p_T l’espace des (classes de) fonctions T p´eriodiques mesurables surR, telles que |f|^p est int´egrable sur [0, T], muni de la norme:

kfk_L^p

T = 1

T Z T

0

|f(t)|^pdt

!1/p

. L’espaceL^p_T s’identifie donc `a l’espace L^p(R/TZ).

A toute fonctionf ∈L¹_T, on associe des coefficients de Fourier:

(2) c_n(f) = 1

T Z T

0

e^−2iπnt/Tf(t)dt.

On rappelle que

lim

|n|→∞c_n(f) = 0 et que si de plusf ∈L²_T, on a

(3) f(t) =X

n∈Z

cn(f)e^2iπnt/T, o`u l’´egalit´e a lieu dansL²_T, ce qui signifie exactement

n→∞lim Z T

0

+N

X

n=−N

c_n(f)e^2iπntT −f(t)

2

dt= 0.

On a de plusl’´egalit´e de Parseval 1 T

Z T 0

|f(t)|²dt=X

n∈Z

|cn(f)|².

La formule (3) est appel´ee d´eveloppement en s´eries de Fourier de f. Avec des hypoth`eses suppl´ementaires sur f, la convergence de la s´erie a lieu pour tout t.

C’est par exemple le cas lorsque f est continue, C¹ par morceaux (th´eor`eme de Dirichlet).

Avertissement 1.1. Dans la plus grande partie du tronc commun du cours d’analyse harmonique, la p´eriode T a ´et´e fix´ee `a 2π, ce qui simplifie les formules.

Il est important ici de ne pas se restreindre `a une seule valeur de T, et le lecteur prendra bien soin au param`etreTdans la d´efinition decn(f) (qui d´epend donc aussi de T, d´ependance non indiqu´ee pour ne pas alourdir les notations). Les formules g´en´erales se d´eduisent ais´ement du casT = 2πpar un changement d’´echelle.

11

2. Transformation de Fourier discr`ete

En plus du livre de Gasquet et Witomski (cf r´ef´erence p. 3), nous conseillons l’excellente introduction `a l’analyse de Fourier de Stein et Shakarchi (en anglais)<sup>1</sup>. Le chapitre 7 traite la transform´ee de Fourier discr`ete.

2.1. Motivation. Soitf une fonction continue, p´eriodique de p´eriode T >0, et cn(f) ses coefficients de Fourier, d´efinis par (2). Lespectre (ouspectre ´en´ergie- fr´equence def est par d´efinition l’ensemble (n/T, cn(f))_n∈Z. Il est donc donn´e, la p´eriodeT ´etant connue, par la suite des coefficients de Fourier def. On sait quef est compl`etement caract´eris´e par son spectre.

***** dessin ****

Un ´echantillonneur nous donne les valeurs de f sur N points f(kT /N), k = 0, . . . , N −1. Par d´efinition, la p´eriode d’´echantillonnage est l’´ecart entre deux mesures successives:

Te= T N.

On veut approcher les coefficients de Fourier def ‘a l’aide de ces N valeurs. Par p´eriodicit´e, on peut supposer que l’indice k est un ´el´ement de Z/NZ, l’anneau des classes d’´equivalence d’entiers modulo N. On est donc amen´e `a consid´erer la fonction

fN :Z/NZ→C k7→f

kT N

.

Dans ce qui suit, on va d´evelopper une th´eorie de Fourier sur les fonctions d´efinies sur le groupe ab´elien fini Z/NZ, et montrer que la transform´ee de Fourier dite transform´ee de Fourier discr`ete de FN ainsi obtenus sont li´es aux coefficients de Fourier de la fonction ´echantillonn´eef. Nous verrons notamment que sous certaines conditions, ces coefficients de Fourier. Nous verrons dans la deuxi`eme partie de ce chapitre un algorithme pour calculer rapidement la transform´ee de Fourier discr`ete, la transformation de Fourier rapide (ou FFT,Fast Fourier Transform en anglais).

2.2. D´efinition de la transform´ee de Fourier discr`ete. Rappelons qu’un caract`ere sur un groupeGsont les morphismes de Gdans le cercle unit´eS¹ deC. On note, pourk∈Z/NZ,n∈ {0, . . . , N−1},

En(k) =e^2iknπ/N

Proposition2.1. Les caract`eres surZ/NZsont exactement les fonctionsE_n, n= 0, . . . , N −1.

D´emonstration. On v´erifie facilement que E_k(`+N) = E<sub>k</sub>(`) pour tout entier`, et donc queE<sub>k</sub> d´efinit bien une application deZ/NZsurS<sup>1</sup>. De plus, par la formulee<sup>a+b</sup>=e<sup>a</sup>e<sup>b</sup>, on voit que pour tout j,`deZ/NZon a

En(j+`) =En(j)En(`).

Ceci montre quee_n est bien un caract`ere deZ/NZ.

1Elias M Stein and Rami Shakarchi. Fourier analysis: an introduction, Princeton Lectures in Analysis, volume 1. Princeton University Press, 2011

2. TRANSFORMATION DE FOURIER DISCR `ETE 13

R´eciproquement, soitϕun caract`ere deZ/NZ. Puisque N×

|{z}

1 + 1 +. . .+ 1 = N = 0 dansZ/NZ, on a

1 =ϕ(N) = (ϕ(1))^N.

Donc ϕ(1) est une racine n-i`eme de l’unit´e. Il existe donc n∈ {0, . . . , N−1} tel que

ϕ(1) =e^2iπn/N. On en d´eduit, pourk∈ {0, . . . , N−1},

ϕ(k) =ϕ(1)^k=e^2iπkn/N,

et doncϕ=E_n.

L’ensembleZ/NZ´etant fini, de cardinalN, l’ensemble des fonctions deZ/NZ dansCest un espace vectoriel de dimension finieN surC. On munit cette espace vectoriel du produit scalaire:

F G

=

N−1

X

k=0

F(k)G(k), qui lui conf`ere une structure d’espace hermitien.

Lemme 2.2. La famille des caract`eres (En)_{0≤n≤N−1} est orthogonale. Plus pr´ecis´ement,

Em

E`

=

(N sim=` 0 sim6=`.

D´emonstration. On a Em

E`

=

N−1

X

k=0

e^2ikπmN e^−2ikπ`N =

N−1

X

k=0

e^2iπ(m−`)N k

.

Si m =`, e<sup>2iπ(m−`)N</sup> = 1 et on obtient exactement N comme annonc´e. Si m6= `, l’hypoth`ese 0≤m, `≤N−1 montre que m−` n’est pas divisible parN et donc e<sup>2iπ(m−`)N</sup> est une racineN-i`eme diff´erente de 1. Il d´ecoule de la formule de la somme d’une s´erie g´eom´etrique que le produit scalaire pr´ec´edent est nul.

SoitE_n^∗ = ^√1

Nem. La famille (E^∗_m)0≤m≤N−1 est une famille orthonormale, de cardinale N de l’espace hermitienFN qui est de mˆeme dimension N. C’est donc une base orthonormale deFN. On en d´eduit, pour tout fonctionF ∈ FN,

(4) F =

N−1

X

n=0

F E_N^∗

E_N^∗, kFk²=

N−1

X

n=0

F

E_n^∗

2.

D´efinition 2.3. Pour n ∈ Z/NZ, F ∈ FN, le n-i`eme coefficient de Fourier discret deF est

c^N_n(F) := 1 N

N−1

X

k=0

F(k)e^−2ikπnN = 1

√ N F

E_n^∗ . L’application

F 7→(c^N_n(F))_n∈Z/NZ

deC^Z/NZdans lui mˆeme est appel´eetransformation de Fourier discr`ete.

Les formules (4) peuvent se r´e´ecrire de la mani`ere suivante:

Th´eor`eme2.4. SoitF ∈ FN. Alors

(5) F(k) =

N−1

X

n=0

c^N_n(F)e^2iπnk/N. De plus

(6)

N−1

X

n=0

c^N_n(F)

2= 1 N

N−1

X

k=0

|F(k)|².

Exemple 2.5. La formule (5) est un analogue, pour les fonctions sur Z/NZ, du d´eveloppement en s´erie de Fourier des fonctions p´eriodiques sur R, ou de la formule d’inversion de Fourier sur S⁰(R). La formule (6) (qui n’est autre que le th´eor`eme de Pythagore en dimension N) est un analogue discret des formules de Parseval et Plancherel. Elle montre que la transformation de Fourier discr`ete est,

`

a une constante multiplicative prˆet, une isom´etrie pour les normes hermitiennes consid´er´es Calculons la transformation de Fourier discr`ete dans le casN = 2. Soit F :Z/2Z→C. On noteF(0) =αet F(1) =β. Alors la d´efinition des coefficients de Fourier discrets donne:

c²₀(F) =1

2(α+β), c²₁(F) = 1

2(α−β).

Les formules (5) et (6) s’´ecrivent F(k) =1

2(α+β) +1

2(α−β)(−1)^k, k∈Z/2Z et

1

2(α+β) ²

+ 1

2(α−β) ²

=1

2 α²+β² .

Exercice 2.6. Calculer les coefficients de Fourier discret et ´ecrire (5) et (6) dans le casN = 3.

Exercice2.7. Calculer les coefficients de Fourier de la fonctionδ₀, d´efinie par δ0(0) = 1, k∈ {1, . . . , N−1}=⇒δ0(k) = 0.

surZ/NZ.

Remarque2.8. Une fonctionF surZ/NZ`a valeurs complexes peut ´egalement ˆ

etre consid´er´ee comme une suite finie ou un ´element deC^N, (F(k))_{0≤k≤N−1}que l’on noterait plutˆot avec un indice, par exemple (yk)_{0≤k≤N−1}. On a privil´egi´e la notation en termes de fonctions pour souligner l’analogie avec les s´eries de Fourier des fonc- tions p´eriodiques, et le lien avec l’´echantillonnage, mais on peut ´evidemment par- ler de mani`ere compl`etement ´equivalente, de la transformation de Fourier discr`ete (Yn)_{0≤n≤N−1} d’un ´el´ement (yk)_{0≤k≤N−1}deC^N, donn´ee par

Yn := 1 N

N−1

X

k=0

yke^−2ikπnN .

Cette notation a l’avantage d’ˆetre plus sym´etrique. Par exemple, la formule d’in- version de Fourier (5) s’´ecrit:

y_k=

N−1

X

n=0

Y_ne^2iπnk/N.

3. TRANSFORMATION DE FOURIER RAPIDE 15

Remarque 2.9. Les coefficients de Fourierc^N_n(F) sont d´efinis `a un moduloN prˆet. LorsqueN est pair, on peut donc ´ecrire la formule (5)

F(k) =

N 2−1

X

n=−^N₂

cne^2iπnk/N,

formule plus pertinente lorsque l’on approche les coefficients de Fourier d’une fonc- tion p´eriodique par les coefficients de Fourier discret de ses ´echantillonn´ees.

2.3. Convolution.

D´efinition2.10. SoitF etGdeux applications deZ/NZdansC. La convol´ee deF etGest la fonction deZ/NZdansCd´efinie par

(F∗G)(k) = X

q∈Z/NZ

F(q)G(k−q).

Proposition 2.11. La transform´ee de Fourier discr`ete de F∗G est donn´ee par

c^N_n(F∗G) =N c^N_n(F)c^N_n(G), n∈Z/NZ.

D´emonstration. En utilisant les d´efinitions dec^N_n(F) etc^N_n(G), on obtient N c^N_n(F)c^N_n(G) = 1

N X

k,`∈Z/NZ

F(k)G(`)

e^−2ikπN n

e^−2i`πN n

. En posantq=k+` dans la sommation, on obtient

N c^N_n(F)c^N_n(G) = 1 N

X

q∈Z/NZ

X

k∈Z/NZ

F(k)G(q−k)

e^−2iqπN n

= 1 N

X

q∈Z/NZ

e^{−2iqπN n}

(F∗G)(q),

ce qui donne le r´esultat d´esir´e.

On v´erifie ais´ement que la fonctionδ0d´efinie `a l’exercice 2.7 est l’´el´ement neutre pour la convolution et que c’est coh´erent avec la formule de la proposition 2.11.

3. Transformation de Fourier rapide

Etant donn´´ ee une fonctionF d´efinie surZ/NZ, on cherche `a calculer ses coef- ficients de Fourier discrets

c^N_n(F) = 1 N

N−1

X

k=0

F(k)e^−2ikπN .

En supposant connu lesF(k) et les exponentielles complexese^−2ikπ/N, il faut, pour calculer lesN coefficientsc^N_n(F):

• N(N−1) multiplications complexes;

• N(N−1) additions complexes;

• N divisions parN,

soit N(2N −1) = O(N²) op´erations. En 1965, les math´ematiciens am´ericains James W. Cooley et John W. Tukey ont propos´e un algorithme r´ecursif, la fast Fourier transform (FFT), en fran¸cais transformation de Fourier rapide, qui permet de diminuer drastiquement le coˆut de cet algorithme.

SupposonsNpair,N = 2M, et que l’on sache calculer la transform´ee de Fourier discr`ete d’une fonctionGsur Z/MZ. On se donne une fonctionF de Z/NZdans C, et on noteF₀ etF₁les fonctions de Z/MZdansCd´efinies par

F0(k) =F(2k), F1(k) =F1(2k+ 1).

En regroupant les termes pairs et les termes impairs dans la d´efinition 2.3 des coefficients de Fourier discret, on obtient

c^N_n(F) = 1 2M

M−1

X

k=0

F(2k)e^{−2i(2k)πn2M} +

M−1

X

k=0

F(2k+ 1)e^{−2i(2k+1)πn2M}

!

=1 2

1 M

M−1

X

k=0

F(2k)e^−2ikπnM +e^−iπkM 1 M

M−1

X

k=0

F(k)e^−2ikπn2M

!

=1 2

c^M_n (F0) +e^−iπnM c^M_n (F1) . (7)

Proposition 3.1. Supposons que N soit une puissance de2. La formule (7) permet de calculer r´ecursivement la transform´ee de Fourier discr`ete d’une fonction sur Z/NZen O(NlogN)op´erations.

D´emonstration. SoitA_N le nombre d’op´eration n´ecessaire pour calculer la transform´ee de Fourier discr`ete (N ´etant une puissance de 2). On a A₂ = 6 (cf l’exemple 2.5). Par la formule (7),

A_2M ≤8M+ 2A_M. On peut v´erifier que cela implique

AM ≤4M log₂M,

o`u log₂ est le logarithme de base 2.

4. Application aux calculs approch´es des coefficients d’une fonction p´eriodique

4.1. Approximation par calcul approch´e de l’int´egrale. Soitf une fonc- tion T-p´eriodique. On veut comparer ses coefficients de Fourier avec ceux de la transform´ee de Fourier des ´echantillonn´es de f.

On a:

cn(f) = 1 T

Z T 0

f(t)e^−2iπntT dt= 1 T

N−1

X

k=0

Z (k+1)T /N kT /N

f(t)e^−2iπntT dt.

4. CALCUL APPROCH ´ES DES COEFFICIENTS DE FOURIER 17

Par la m´ethode des trap`ezes, on approche l’int´egrale R(k+1)T /N

kT /N . . . par l’aire du trap`eze d´elimit´e par la fonction entre ^kT_N et ^(k+1)T_N , soit

cn(f)≈ 1 T

N−1

X

k=0

T 2N

f

kT

N e^−2iπnkN

+f

(k+ 1)T

N e^{−2iπn(k+1)}N

= 1 N

N−1

X

k=0

f kT

N

e^−2iπnkN . NotonsfN :Z/NZ→Rla fonction ´echantillonn´ee:

fN(k) =f kT

N

, k∈Z/NZ. La formule pr´ec´edente se lit:

cn(f)≈c^N_n(fN).

Remarquons que nous n’avons donn´e aucune estimation de l’erreur. La formule pr´ec´edente sugg`ere notamment que tous les coefficients de Fourier cn(f), o`u les indicesnsont choisis dans la mˆeme classe modulo N sont proches, ce qui est bien sˆur compl`etement faux! Lorsque nest grand, la fonctione<sup>−2πnt</sup> est tr`es oscillante et l’approximation pr´ec´edente n’est plus valable.

4.2. Polynˆome d’interpolation. Nous verrons en travaux dirig´es que l’on peut aussi obtenir lesc^N_n(fN), lorsqueN est pair, en cherchant le polynˆome trigo- nom´etrique de p´eriodeT,

p(t) =

N 2−1

X

k=^N₂

a_ke^2iktπT qui interpolef aux points <sup>`T</sup><sub>N</sub>,`= 0, . . . , N−1.

4.3. Une formule exacte. Nous allons maintenant donner une formule plus pr´ecise, en supposant

X|cn(f)|<∞

(ce qui est vrai, par exemple, si f est de classe C¹, cf le cours sur les s´eries de Fourier).

Alors

f(t) =X

`∈Z

c`e<sup>2iπ`tT</sup> , avec convergence normale surR. On en d´eduit:

c^N_n(fN) = 1 N

N−1

X

k=0

f kT

N

e^−2iπknN = 1 N

N−1

X

k=0

X

`∈Z

c`e<sup>2iπ`kN</sup> e^−2iπnkN

= 1 N

X

`∈Z

c_` X

k∈Z/NZ

e^{2iπkN (`−n)}. En remarquant que

X

k∈Z/NZ

e^{2iπkN (`−n)}=

(N siN

`−k 0 sinon,

on obtient la formule

c^N_n(fN) =X

q∈Z

cn+N q, et donc

c^N_n(fN)−cn(f) =X

q∈Z q6=0

cn+qN.

Si la fonctionfest r´eguli`ere, ce qui implique que les coefficients de Fourier d´ecroissent vite, les c^N_n(f_N) constituent donc de bonnes approximations des coefficients de Fourier def, lorsqueN est assez grand.

Exemple 4.1. On consid`ere un polynˆome trigonom´etrique de degr´e 6 f(t) =

+6

X

n=−6

cne^2iπntT .

Les coefficients de Fourier discrets de degr´e 4,c⁴_n :=c⁴_n(f4) sont donn´es par:

c⁴₀=c0+c4+c₋₄ c⁴₁=c1+c₋₃+c5

c⁴₂=c₂+c₋₆+c₋₂+c₆ c⁴₋₁=c₋₁+c₃+c₋₅.

On laisse le soin au lecteur de donner les formules pour les coefficients de degr´e 6 et de v´erifier quec^N_n =c_n d`es queN ≥13.

CHAPITRE 3

Spectre continu et ´ echantillonnage. Th´ eor` eme de Shannon

Nous avons vu au chapitre 2 l’effet de l’´echantillonnage sur le spectre d’une fonction p´eriodique. Ce spectre est discret et d´efini par la s´erie de Fourier de la fonction f. Nous allons ´etudier ici l’´echantionnage de fonctions d´ecroissantes `a l’infini (par exempleL¹), et son effet sur le spectre de la fonction, qui est cette fois d´efini par la transformation de Fourier. On commence par quelques rappels sur la transformation de Fourier des distributions temp´er´ees. On omet les d´emonstrations, qui ont ´et´e vues dans le tronc commun du cours d’analyse harmonique.

1. Transformation de Fourier des distributions temp´er´ees

On rappelle que la transform´ee de Fourier d’une fonctionf ∈L¹(R) est donn´ee par

(8) (Ff)(τ) = ˆf(τ) =

Z +∞

−∞

e^−2iπtτf(t)dt.

Remarque 1.1. Dans le cours du tronc commun, la transform´ee de Fourier d´ependait d’un param`etre de normalisation h (l’exponentielle dans l’int´egrande

´

etant donce^−itτh). Dans toute la partie “appliqu´ee” du cours, la constantehsera fix´ee `a _2π¹ comme dans (8).

On montre sif ∈L¹(R) que ˆf ∈C_b⁰(R) et que

τ→±∞lim

fˆ(τ) = 0.

On d´efinit de mˆeme mani`ere la transform´ee inverse deg∈L¹(R) par Fg(t) =

Z +∞

−∞

e^{2iπτ t}g(τ)dτ = (Fg)(−t).

On a la formule d’inversion de Fourier:

f ∈L¹ et ˆf ∈L¹

=⇒ F Ff =f.

On peut ´etendre la transformation de Fourier `a un espace beaucoup plus gros que L¹(R), l’espace des distributions temp´er´ees S⁰(R) dont on rappelle rapidement la d´efinition.

Soit S(R) l’espace de Schwartz des fonctions C^∞ `a valeurs complexes, `a d´e- croissance rapide ainsi que toutes leurs d´eriv´ees: pour une fonctionf, de classeC^∞ surR, on a par d´efinition

(9) f ∈ S(R) ⇐⇒ ∀N ∈N, p_N(f) := X

0≤j k≤N

sup

t∈R

|t|^j f^(k)(t)

<∞.

19

L’espace vectoriel S(R) est muni d’une topologie que l’on peut d´efinir par la con- vergence des suites: par d´efinition, une suite (fk)k deS(R) converge versf ∈ S(R) si et seulement si

∀N∈N, lim

k→∞p_N(f_k−f) = 0.

On d´efinit l’espace S⁰(R) des distributions temp´er´ees comme le dual topologique de S(R). C’est l’espace vectoriel des formes lin´eaires sur S(R) qui sont continues au sens de la topologie pr´ec´edente. On v´erifie facilement que si Φ est une forme lin´eaire surS(R), on a

Φ∈ S⁰(R) ⇐⇒ ∃N ∈N, ∃C >0, ∀f ∈ S(R), |hΦ, fi| ≤pN(f).

On munitS⁰(R) de la topologie de la convergence simple: par d´efinition, une suite (Φn)n de distributions temp´er´ees converge vers une distribution temp´er´ee Φ si et seulement si

∀f ∈ S(R), lim

n→∞hΦn, fi=hΦ, fi.

Soitp∈[1,∞]. Pour toutf ∈L^p(R), la forme lin´eaire Φf surS(R) d´efinie par (10) ∀g∈ S(R), hΦf, gi=

Z +∞

−∞

f(t)g(t)dt

est un ´el´ement deS⁰(R). L’application lin´eairef 7→Φ_fest une injection continue de L^p(R) dansS⁰(R), qui permet d’identifierL^p(R) `a un sous-espace vectoriel deS⁰(R).

Pour all´eger les notations, on note simplement f (au lieu de Φ_f) la distribution temp´er´ee associ´ee `a f.

On peut de mˆeme identifier les espaces C_b⁰(R) (des fonctions continues et born´ees ur R), et L^p_T (des fonctions p´eriodiques de p´eriode T, localement dans L^p) `a des sous-espace vectoriel deS⁰(R).

Un exemple important de distribution temp´er´ee qui n’est pas une fonction est la masse de Diracδa au pointa∈R, d´efinie par

∀f ∈ S(R), hδa, fi=f(a).

On consid`erera aussi le peigne de Dirac de p´eriode a >0:

∆a =X

n∈Z

δna, la s´erie convergeant au sens deS⁰(R), c’est `a dire:

∀f ∈ S(R), h∆a, fi= lim

N→∞

+N

X

−N

f(na).

On d´efinit par dualit´e, `a partir des mˆemes op´erations surS(R), les op´erations suivantesS⁰(R): la d´erivation, la multiplication par une fonction et la transforma- tion de Fourier.

Lad´eriv´eed’une distribution temp´er´ee Φ est la distribution temp´er´ee Φ⁰d´efinie par

∀f ∈ S(R), hΦ⁰, fi=− hΦ, f⁰i.

L’applicationf 7→f⁰ ´etant continue sur S, l’application lin´eaire Φ⁰ ainsi obtenue est bien un ´el´ement deS⁰.

1. TRANSFORMATION DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS TEMP ´ER ´EES 21

Soitg une fonction de classeC^∞ surR, `a croissance au plus polynomiale ainsi que toutes ses d´eriv´ees.¹On remarque que f 7→ f g est une application lin´eaire continue de S dans S. Pour toute distribution Φ, on peut donc d´efinir le produit gΦ∈ S⁰(R) par

∀f ∈ S(R), hgΦ, fi=hΦ, gfi.

On d´efinit la transformation de Fourier sur S⁰ en remarquant que la transform´ee de Fourier (d´efinie par la formule (8)) est une application continue de S(R) dans S(R) qui v´erifie de plus:

(11) ∀(f, g)∈ S²,

Z +∞

−∞

fˆ(τ)g(τ)dτ = Z +∞

−∞

f(t)ˆg(t)dt.

On d´efinit donc la transform´ee de FourierFΦ = ˆΦ d’une distribution Φ par

(12) ∀g∈ S, D

Φ, gˆ E

=hΦ,giˆ .

On v´erifie que la transformation de FourierF ainsi d´efinie est une application continue deS⁰ dansS⁰.

On peut maintenant d´efinir de deux mani`eres la transform´ee de Fourier d’une fonction f ∈ L¹(R): par la formule (8), ou par la formule (12), en consid´erant f comme une distribution temp´er´ee. La formule (11) et un argument de densit´e montre que ces deux d´efinitions co¨ıncident.

On peut d´efinir de la mˆeme mani`ere la transform´ee de Fourier inverse d’une distribution temp´er´ee, par la formule:

(13) ∀g∈ S,

FΦ, g

= Φ,Fg

, et on a la formule d’inversion de Fourier dansS⁰:

∀Φ∈ S⁰, F FΦ =F FΦ = Φ.

On calcule ais´ement la transform´ee de Fourier de la masse de Dirac en 0 (cf

§2.1):

Fδ0= 1

(la fonction constante ´egale `a 1), et plus difficilement celle du peigne de Dirac (cf le livre de Gasquet et Witomski, formule 31(10)):

F∆a= 1 a∆1

a.

L’espace L²(R) ´etant un sous-espace vectoriel de S⁰(R), la transform´ee de Fourier d’un ´el´ementf deL²(R) est bien d´efinie. On a (th´eor`eme de Plancherel):

f ∈L²(R) =⇒fˆ∈L²(R) et Z +∞

−∞

|f(t)|²dt= Z +∞

−∞

fˆ(τ)

2dτ.

On rappelle que laconvol´eede deux fonctionsf etg deL¹(R) est d´efinie par f∗g(t) =

Z +∞

∞

f(t−s)g(s)ds,

et que (f, g) → f ∗g est une forme bilin´eaire continue de L¹×L¹ dans L¹. La transform´ee de Fourier transforme la convolution en multiplication.

∀f ∈L¹, ∀g∈L¹, ∀τ∈R, f[∗g(τ) = ˆf(τ)ˆg(τ),

1L’espace vectoriel form´e de ces fonctions ´etait not´e P dans le cours du tronc commun d’analyse harmonique

le produit ˆf(τ)ˆg(τ) ´etant bien d´efini, comme produit de fonctions continues.

On peut ´etendre la convolution `a des couples plus g´en´eraux de distributions temp´er´ees, avec des conditions suppl´ementaires sur ces distributions. On peut ainsi d´efinir la convol´ee d’un ´el´ement deS et d’un ´el´ement deS⁰, ou plus g´en´eralement d’un ´el´ement f de S⁰ tel que ˆf est dans P, et d’un ´el´ement g deS⁰. La formule f[∗g = ˆfgˆreste alors valable. La masse de Dirac δ₀ est l’´el´ement neutre pour la convolution surS⁰.

2. Spectre, s´eries de Fourier et transformation de Fourier

2.1. D´efinition du spectre. Le spectre d’un signal analogique x(t) est la transform´ee de Fourier ˆx(τ) dex(t). Au chapitre pr´ec´edent, on a donn´e une autre d´efinition du spectre d’un signal analogique p´eriodique x ∈ L¹_T (cf §1 pour la d´efinition de cet espace) comme l’ensemble

nn

T, c_n(x)

, n∈Z o, o`u lesc_n(x) sont les coefficients de Fourier:

cn(x) = 1 T

Z T 0

x(t)e^−2iπntdt.

Consid´erons un signal sinuso¨ıdal monochromatique

(14) x(t) =αe^2iπtµ.

On rappelle le calcul de la transformation de Fourier deδµ. On a, pourf ∈ S(R):

D δbµ, fE

=D δµ,fbE

=fb(µ) = Z

R

e^{−2iπτ µ}f(τ)dτ,

et la transform´ee de Fourier deδ_µ est doncτ7→e^{−2iτ µ}. Par la formule d’inversion de Fourier, la transform´ee de Fourier det7→e^2itµest δ_µ.

Le spectre ´energie-fr´equence du signal x(t) d´efini par (14), consid´er´e comme une fonction de p´eriode 1/µ est donc (µ, α). Le spectre du mˆeme signal, consid´er´e comme une distribution temp´er´ee, estαδ_µ. On voit que ces deux d´efinitions portent exactement la mˆeme information et sont donc coh´erentes. Nous allons maintenant g´en´eraliser ceci aux fonctions p´eriodiques quelconques.

2.2. Comparaison entre s´eries et transformation de Fourier. Comme auparavant, on peut identifier un ´el´ement f deL¹_T `a la distribution temp´er´ee

ϕ7→

Z

R

f(t)ϕ(t)dt.

Le th´eor`eme suivant montre que la s´erie de Fourier de f converge dans S<sup>0</sup>(R) et compare la somme de cette s´erie de Fourier `a la transform´ee de Fourier de f, consid´er´ee comme une distribution temp´er´ee.

Th´eor`eme2.1. Si f ∈L¹_T, alors f(t) =

+∞

X

k=−∞

c_k(f)e^2ikπtT dansS⁰ (15)

fˆ(τ) =

+∞

X

k=−∞

ck(f)δk

T dans S⁰. (16)

2. SPECTRE, S ´ERIES DE FOURIER ET TRANSFORMATION DE FOURIER 23

La formule (15) signifie exactement:

∀ϕ∈ S(R), lim

N→∞

N

X

k=−N

ck(f) Z

R

e^2iπktT ϕ(t)dt= Z

R

f(t)ϕ(t)dt.

La formule (16) signifie:

∀f ∈ S(R), Z

R

fˆ(τ)ϕ(τ)dτ = lim

N→∞

+N

X

k=−N

ck(f)ϕ k

T

.

Le th´eor`eme 2.1 montre les deux d´efinitions du spectre de f par les s´eries de Fourier ou la transformation de Fourier portent exactement la mˆeme information.

Preuve du th´eor`eme. La formule (16) d´ecoule imm´ediatement de la formule (15), de la continuit´e de la transformation de Fourier dans S⁰ et du calcul de la transform´ee de Fourier d’un signal monochromatique fait plus haut.

Montrons (15). On commence par montrer que cette formule est vraie pour f ∈L²_T. Dans ce cas, par la th´eorie des s´eries de Fourier,

(17) lim

N→∞

+N

X

k=−N

ck(f)e^2ikπtT =f(t),

o`u la convergence a lieu dans L²_T, et donc, par p´eriodicit´e, en norme L² sur tout intervalle fini. Notons

RN(t) =f(t))−

+N

X

k=−N

ck(f)e^2ikπtT . La fonctionRN est p´eriodique, de p´eriodeT, et v´erifie

lim

N→∞kRNk_L²

T = 0, Fixonsϕ∈ S(R). Alors

Z

R

RN(t)ϕ(t)dt

=

X

j∈Z

Z (j+1)T jT

RN(t)ϕ(t)dt

≤ kR_Nk_L2 T

v u u t

X

j∈Z

Z (j+1)T jT

|ϕ(t)|²dt≤ kR_Nk_L2 TC_TX

j∈Z

s

N2(ϕ)² (|j|+ 1)⁴, o`u on a utilis´e Cauchy-Schwarz sur chaque intervalle [jT,(j+ 1)T]. La constante C_T ne d´epend que de T. On a donc

t→∞lim Z

R

RN(t)ϕ(t)dt

= 0, ce qui montre la convergence (15) lorsquef ∈L²_T.

Pour g´en´eraliser `af ∈L¹_T, on commence par remarquer queL²_T est dense dans L¹_T: en effet, les fonctions continues p´eriodiques de p´eriodeT sont denses dansL¹_T, et ces fonctions sont clairement dansL²_T. On montre ensuite que,ϕ´etant fix´e dans S(R), les formes lin´eaires

f 7→

Z

R

f(t)ϕ(t)dt

et

f 7→ lim

N→∞

+N

X

k=−N

ck(f) Z

R

e^2ikπtT ϕ(t)dt

sont bien d´efinies, et continues, sur L¹_T (le deuxi`eme point d´ecoule de la borne

|ck(f)| ≤ kfk_L1

T et du fait que la s´erie P

k

R

Re^2ikπtT ϕ(t)dt est absolument conver- gente, ˆϕ´etant dansS). Ces deux formes lin´eaires co¨ıncidant surL²_T, on en d´eduit quelles sont ´egales surL¹_T, ce qui signifie exactement.

∀f ∈L¹_T, Z

R

f(t)ϕ(t)dt= lim

N→∞

+N

X

k=−N

ck(f) Z

R

e^2ikπtT ϕ(t)dt,

et conclut la preuve, puisqueϕ∈ S est arbitraire.

3. Formule de Poisson et ´echantillonnage On consid`ere maintenant un signal analogique

f ∈C_b⁰(R,C).

On suppose que sa transformation de Fourier ˆf(qui est bien d´efinie puisqueC_b⁰(R,C) s’identifie `a un sous-espace deS<sup>0</sup>) et dansL<sup>1</sup>(R) et `a support compact, c’est `a dire

(18) supp ˆf ⊂[−λc, λc],

pour un certainλ_c>0, ou plus rigoureusement que la classe de fonctions ˆf admet un repr´esentant dont le support est inclus dans [−λc, λc].

On d´efinitl’´echantillonn´e def de p´eriodea >0 comme la distribution af∆a =a

+∞

X

n=−∞

f(na)δna.

Remarquons quef(na) est une suite born´ee. On peut en d´eduire facilement que la s´erieP+∞

n=−∞f(na)δna converge dansS⁰(R), ce qui justifie la d´efinition deaf∆a. Th´eor`eme3.1. Supposonsf ∈C<sub>b</sub><sup>0</sup>(R,C),fˆ∈L<sup>1</sup>etsupp ˆf `a support compact.

Alors

afd∆_a(λ) =

+∞

X

n=−∞

fˆ λ−n

a

dansS⁰.

En d’autres termes, le spectre de l’´echantillonn´e (avec une p´eriode d’´echan- tillonnagea) est le p´eriodis´e (de p´eriode 1/a) du spectre def.

Corollaire3.2. Sous les hypoth`eses du th´eor`eme pr´ec´edent, si on suppose de plus (18)et ¹_a >2λc, alors

∀λ∈R, fˆ(λ) =af∆d_a(λ)11_[−λc,λc].

(la fr´equence 2λc est parfois appel´e taux de Nyquist,Nyquist rate en anglais).

******* dessin********* Remarquons que les hypoth`eses du th´eor`eme 3.1 et du Corollaire 3.2 sont tr`es fortes. La transform´ee de Fourier de f ´etant `a support compact, la fonctionf est de classeC^∞, et mˆeme d´eveloppable en s´eries enti`eres, surR.