ANN´ EE UNIVERSITAIRE 2019/2020 UE 4TBX308U
Devoir surveill´e 2
Date : 15/11/19 Heure : 14h Dur´ee : 1h30 Documents et calculatrice : non autoris´es
Epreuve de M. Ruch. (sujet en recto-verso)
Question de cours : Soitf un endomorphisme d’un espace vectorielE de dimension finie. Soit λ une valeur propre def.
1. D´efinir la multiplicit´e de cette valeur propre, not´eemλ. 2. Montrer que 1≤dim(ker(f−λId)).
3. Ecrire la matrice dans une base de E adapt´ee `a ker(f −λId) et en d´eduire que dim(ker(f−λId))≤mλ.
Voir le cours.
Probl`eme : Soient a, b, cet d quatre r´eels tels que bcd6= 0. On d´efinit la matrice A par
A=
a −b −c −d b a d −c c −d a b d c −b a
.
1. Rappeler la d´efinition du polynˆome caract´eristique de A. Quel est son coefficient dominant ? Le polynˆome caract´eristique de la matrice A est d´efini par χA(X) = det(A−XI4). Pour une matrice n× n, le coefficient dominant du polynˆome caract´eristique est (−1)n. Donc ici on obtient : (−1)4 = 1.
2. D´emontrer que le polynˆome caract´eristique de tA est le mˆeme que celui de A.
On sait que le d´eterminant d’une matrice et de sa transpos´ee sont ´egaux. En remarquant que
t(XI4) =XI4, on en d´eduit que :
χA(X) = det(tA−XI4) = det(tA− t(XI4)) = det(t(A−XI4)) =χtA(X).
3. Montrer que
A+ tA= 2aI4 et AtA= (a2+b2+c2 +d2)I4. En remarquant
tA=
a b c d
−b a −d c
−c d a −b
−d −c b a
.
puis en additionnant et en multipliant les deux matrices on obtient les deux r´esultats.
1
4. D´eterminer (A−XI4)(tA−XI4) en fonction de I4. En d´eveloppant on obtient :
(A−XI4)(tA−XI4) =AtA−X(A+ tA) +X2I4 = (X2−2aX+a2+b2+c2+d2)I4. 5. D´eduire des questions pr´ec´edentes le polynˆome caract´eristique de A.
Comme le d´eterminant du matrice diagonale est ´egal au produit des coefficients diagonaux, d’apr`es la question on a :
det((A−XI4)(tA−XI4)) = det((X2−2aX+a2+b2+c2+d2)I4) = (X2−2aX+a2+b2+c2+d2)4. De plus, les questions 1) et 2) entraˆınent que :
det((A−XI4)(tA−XI4)) = det(A−XI4)det(tA−XI4) = (χA(X))2. On obtient donc : (χA(X))2 = (X2−2aX +a2+b2+c2+d2)4 et par cons´equent :
χA(X) = ±(X2−2aX +a2 +b2+c2+d2)2.
Comme le coefficient dominant du polynˆome caract´eristique est 1, on en d´eduit : χA(X) = (X2−2aX +a2 +b2+c2+d2)2.
6. La matrice A est-elle diagonalisable sur R?
Les racines du polynˆome caract´eristique sont les racines du polynˆome X2−2aX+a2+b2+ c2+d2, dont le discriminant est ´egal `a ∆ = (−2a)2−4(a2+b2+c2+d2) = −4(b2+c2+d2). Ce dernier est strictement n´egatif, car bcd6= 0 (donc les trois param`etres b, cet dsont diff´erents de 0). On en d´eduit que le polynˆome du second degr´e n’est pas scind´e surRet donc il en est de mˆeme pour le polynˆome caract´eristique. Par cons´equent, la matriceAn’est pas diagonalisable surR.
7. Soit M une matrice `a coefficients r´eels. On suppose que les deux nombres complexes λ et λ sont des valeurs propres deM. Montrer que siv est un vecteur propre deM associ´e `a la valeur propreλ alors, v est un vecteur propre de M associ´e `a la valeur propre λ.
Indication : Le conjugu´e d’un vecteur ou d’une matrice s’obtient en prenant le conjugu´e de chaque coefficient.
Siv est un vecteur propre deM associ´e `a la valeur propre λ, cela signifie quev est un vecteur non nul tel queM v =λv. D’apr`es les propri´et´es du conjugu´e on a : M v =M v =M v, carM est une matrice `a coefficients r´eels. D’o`u l’on obtient :
M v =M v =λv =λv
Or comme v 6= 0, on a v 6= 0 ; cela signifie donc que v est un vecteur propre de M associ´e `a la valeur propre λ.
8. On suppose maintenant que a = 1 et b = c= d = −1. On va chercher `a diagonaliser A, sur C, c’est-`a-dire en tant que matrice `a coefficients complexes.
2
(a) Montrer queA3 =−8I4. En d´eduire que la matriceA est diagonalisable surC, et montrer que son spectre est inclus dans un ensemble de trois nombres complexes que l’on explicitera.
Un simple calcul donne
A2 =
−2 2 2 2
−2 −2 −2 2
−2 2 −2 −2
−2 −2 2 −2
.
puisA3 =−8I4. On en d´eduit que le polynˆomeP(X) =X3+8 est un polynˆome annulateur de A. Comme −2 est une racine ´evidente, on obtient P(X) = (X+ 2)(X2 −2X+ 4) = (X + 2)(X − 1 +i√
3)(X − 1− i√
3). La derni`ere factorisation s’obtient en cherchant les racines dans C du polynˆome du second degr´e. On en d´eduit que sur C[X], P est un polynˆome scind´e `a racines simples et donc que A est diagonalisable. De plus les valeurs propres de A sont incluses dans {−2, 1−i√
3, 1 +i√ 3}.
(b) V´erifier que
v1 =
i√
3 1 1 1
et v2 =
−1 i√
3
−1 1
sont des vecteurs propres de A.
Les deux vecteurs sont non nuls de plus on a : Av1 = (1−i√
3)v1 et Av2 = (1−i√ 3)v2. D’o`u ce sont bien des vecteurs propres deA.
(c) En utilisant la question 7, en d´eduire une matrice de passage P et une matrice diagonale telle que D=P−1AP.
D’apr`es la question 7), v1, v2 sont deux vecteurs propres associ´es `a la valeur propre 1−i√
3 = 1 +i√
3. On remarque v2 et v1 ne sont pas colin´eaires, ils forment donc une famille libre. Cela est aussi vraie pour la famille (v1, v2). Or les SEP associ´es aux deux valeurs propres 1±i√
3 sont en somme directe. On en d´eduit que la famille (v1, v2, v1, v2) est libre, et donc c’est une base de vecteurs propres. Dans cette base la matrice s’´ecrit
D=
1 +i√
3 0 0 0
0 1 +i√
3 0 0
0 0 1−i√
3 0
0 0 0 1−i√
3
.
De plus la matrice de passage de la premi`ere base `a la deuxi`eme est :
P =
i√
3 −1 −i√
3 −1
1 i√
3 1 −i√
3
1 −1 1 −1
1 1 1 1
.
9. Pour n ∈N, en utilisant la question 8.(a), calculerA3n, A3n+1, A3n+2 puis Ak, pour k ∈N. D’apr`es la question 8.(a) A3 =−8I4, d’o`u pour n ∈N,A3n = (−8)nI4. Et par cons´equent on
3
a ´egalement : A3n+1 =A3nA= (−8)nA etA3n+2 =A3nA2 = (−8)nA2. En en d´eduit donc que pourk ∈N :
Ak =
(−8)nI4 si k= 3n (−8)nA si k= 3n+ 1 (−8)nA2 si k= 3n+ 2 10. Soit (Un)n∈N la suite d´efinie par
U0 =
1 1 1 1
etUn+1 =AUn. Donner l’expression de Un en fonction den.
D’apr`es la d´efinition de la suite et la question pr´ec´edente : Un =AnU0. Comme on a
AU0 =
4 0 0 0
et A2U0 =A.AU0 =
4
−4
−4
−4
.
On en d´eduit que
Un= (−8)m
1 1 1 1
si n= 3m; Un= (−8)m
4 0 0 0
si n= 3m+1 ; Un= (−8)m
4
−4
−4
−4
si n= 3m+2.
4
