ANN´ EE UNIVERSITAIRE 2018/2019 UE 4TBX308U
Premi`ere session
Date : 22/01/20 Heure : 14h30 Dur´ee : 3h00 Documents et calculatrice : non autoris´es
Epreuve de M. Popoff et Ruch (sujet en recto-verso)
Questions de cours :
1. Montrer que les valeurs propres d’une matrice sont exactement les racines de son polynˆome caract´eristique.
2. Soituun endomorphisme etP un polynˆome annulateur de u. Montrer que les valeurs propres deusont incluses dans les racines deP. En d´eduire les valeurs propres possibles d’une sym´etrie.
3. Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire h·,·i.
(a) Rappeler la d´efinition d’un endomorphisme sym´etrique.
(b) Soit λ et µ deux valeurs propres dif´erentes d’un endomorphisme u sym´etrique. Montrer que deux vecteurs propres, associ´es `a λ etµ respectivement, sont orthogonaux.
Exercice 1 : SoientA etM deux matrices de Mn(R) telles que M A=AM. On suppose queM admet n valeurs propres distinctes.
1. D´eterminer la dimension des sous-espaces propres de M. 2. Soit v un vecteur propre de M associ´e `a la valeur propreλ.
(a) Montrer que M Av=λAv.
(b) En d´eduire quev etAvsont colin´eaires, puis que tout vecteur propre de M est un vecteur propre de A.
3. La matrice A est-elle diagonalisable ?
Exercice 2 : Soit f l’application transposition sur Mn(R) d´efinie par f : Mn(R) → Mn(R)
A 7→ tA
1. Montrer que f est un endomorphisme bijectif de Mn(R).
2. On note Sn(R) ={A ∈ Mn(R) : tA=A} et An(R) = {A∈ Mn(R) : tA =−A}.
(a) Soit M ∈ Mn(R). Montrer que M + tM
2 ∈ Sn(R).
(b) Que dire de M − tM
2 ?
(c) Montrer que Sn(R)⊕ An(R) = Mn(R).
(d) En d´eduire que f est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
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3. Nous allons montrer ce r´esultat par une autre m´ethode
(a) D´eterminer f2 =f◦f. En d´eduire un polynˆome annulateur de f.
(b) A l’aide de la question pr´ec´edente, montrer que f est diagonalisable et donner les valeurs propres de f.
Exercice 3 : Soit A une matrice deM3(R), d´efinie pour t∈R par A=
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
1. Montrer que A est diagonalisable. Donner ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
2. En d´eduire exp (A).
3. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel
x0(t) = −x(t) +y(t) +z(t) y0(t) = x(t)−y(t) +z(t) z0(t) = x(t) +y(t)−z(t)
avec la condition initiale
x(0) = a y(0) = b z(0) = c
Exercice 4 : On consid`ere les matrices deM3(R) suivantes : A=
0 0 0
0 0 0
−1 0 1
B =
−2 0 0 3 1 0
−2 0 0
C =
1 0 0
−2 −1 0
0 0 1
On note F = Vect(A, B, C).
1. Montrer que B= (A, B, C) est une base de F. Quelle est la dimension de F? 2. Montrer que B2 ∈ F. Donner ses coordonn´ees dans la base B.
3. On consid`ere les matrices : M1 = A−B−C, M2 = 2A−B−2C et M3 =A. Montrer que B0 = (M1, M2, M3) est une base deF.
4. On note P la matrice de passage deB `a B0 etQ la matrice de passage deB0 `a B. D´eterminer P et Q.
Exercice 5 : Soit E ={P ∈R[X],deg(P)≤3}
1. Montrer que < P, Q >=
Z 1
−1
P(t)Q(t)dt d´efinit un produit scalaire sur R[X].
2. Soit Lj(X) la d´eriv´eej-`eme de (X2−1)j. Calculer L0, L1 etL2, ainsi que leurs normes.
3. Montrer que Lj est de degr´e j et que (L0, L1, L2, L3) est une base deE.
4. On note Mk le monˆome Mk(X) = Xk. Montrer que < Lj, Mk >= 0 pour tous entiers k et j, aveck < j (on pourra int´egrer k fois par partie).
5. En d´eduire < Lj, Lk> pourk < j, puis que (L0, L1, L2, L3) est une base orthogonale deE.
6. D´eterminer les coordonn´ees de P(X) =X+X2 dans cette base.
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