ANN´ EE UNIVERSITAIRE 2019/2020 UE 4TBX308U
Devoir surveill´e 2
Date : 15/11/19 Heure : 14h Dur´ee : 1h30 Documents et calculatrice : non autoris´es
Epreuve de M. Ruch. (sujet en recto-verso)
Question de cours : Soitf un endomorphisme d’un espace vectorielE de dimension finie. Soit λ une valeur propre def.
1. D´efinir la multiplicit´e de cette valeur propre, not´eemλ. 2. Montrer que 1≤dim(ker(f−λId)).
3. Ecrire la matrice dans une base de E adapt´ee `a ker(f −λId) et en d´eduire que dim(ker(f−λId))≤mλ.
Probl`eme :Soient a,b, cet dquatre r´eels tels que bcd6= 0. On d´efinit la matrice A par
A=
a −b −c −d b a d −c c −d a b d c −b a
.
1. Rappeler la d´efinition du polynˆome caract´eristique de A. Quel est son coefficient dominant ? 2. D´emontrer que le polynˆome caract´eristique de tA est le mˆeme que celui de A.
3. Montrer que
A+ tA= 2aI4 et AtA= (a2+b2+c2 +d2)I4. 4. D´eterminer (A−XI4)(tA−XI4) en fonction de I4.
5. D´eduire des questions pr´ec´edentes le polynˆome caract´eristique de A.
6. La matrice A est-elle diagonalisable sur R?
7. Soit M une matrice `a coefficients r´eels. On suppose que les deux nombres complexes λ et λ sont des valeurs propres deM. Montrer que siv est un vecteur propre deM associ´e `a la valeur propreλ alors, v est un vecteur propre de M associ´e `a la valeur propre λ.
Indication : Le conjugu´e d’un vecteur ou d’une matrice s’obtient en prenant le conjugu´e de chaque coefficient.
8. On suppose maintenant que a = 1 et b = c= d = −1. On va chercher `a diagonaliser A, sur C, c’est-`a-dire en tant que matrice `a coefficients complexes.
(a) Montrer queA3 =−8I4. En d´eduire que la matriceA est diagonalisable surC, et montrer que son spectre est inclus dans un ensemble de trois nombres complexes que l’on explicitera.
1
(b) V´erifier que
v1 =
i√
3 1 1 1
et v2 =
−1 i√
3
−1 1
sont des vecteurs propres de A.
(c) En utilisant la question 7, en d´eduire une matrice de passage P et une matrice diagonale telle que D=P−1AP.
9. Pour n ∈N, en utilisant la question 8.(a), calculerA3n, A3n+1, A3n+2 puis Ak, pour k ∈N. 10. Soit (Un)n∈N la suite d´efinie par
U0 =
1 1 1 1
etUn+1 =AUn. Donner l’expression de Un en fonction den.
2
