Montrer que siU2 est diagonalisable, alorsU l'est egalement

ALG

EBRE

Exercice 2-1

Soit ^E une base de ^C2, et u un endomorphisme de ^C2 tel que la matrice associee audans^E soit

U =

a b c d

1. En utilisant la methode du pivot de Gauss, determiner l'equation du second degre que doivent verier les valeurs propres deU.

2. En deduire que a+d et ad^;bc ne dependent pas de la base ^E, mais uniquement de l'endomorphismeu.

3. CalculerU^2;(a+d)U+ (ad^;bc)I², ouI² represente la matrice identite de^M2(^R).

4. On suppose quea+d⁶= 0. Montrer que siU² est diagonalisable, alorsU l'est egalement. Ce resultat est-il encore vrai sia+d= 0 ?

Solution :

1.U^;I est non-inversible si et seulement si (a^;)(d^;)^;bc= 0, c'est- a-dire si et seulement si :^2;(a+d)+ad^;bc= 0.

2. On sait que les valeurs propres deusont les valeurs propres de n'importe quelle matrice associee, donc le choix d'une base est sans inuence sur les racines de l'equation du second degre obtenue, donc sans inuence sur ses coecients. C'est le resultat demande.

3. On trouve sans dicultes :U^2;(a+d)U+ (ad^;bc)I²= 0, ou 0 designe la matrice nulle, carree d'ordre 2.

4. Sia+d⁶= 0, on deduit du calcul precedent :U =ada+^;d Ibc ^{2+ 1}a+d U^2. Si U² est diagonalisable et si P est une matrice de passage diagonalisante pourU², la relation precedente montre queP^;1UP est aussi diagonale, donc U est diagonalisable.

En revanche, si a+d = 0, on peut prendre U =

0 1 0 0

et U² = 0 est diagonalisable, tandis que U est non nulle et admet 0 pour unique valeur propre, donc n'est pas diagonalisable.

Exercice 2-2

On designe par l'application denie sur^R[X] par

(⁸P ^2R[X]) (P) = (X^2;1)P⁰⁰+ (2X+ 1)P⁰

Soitn un entier naturel non nul etEn =^Rn[X] le sous-espace de^R[X] des polyn^omes de degre inferieur ou egal an.

1. a) Verier que la restriction de a En est un endomorphisme de En, note n.

b) Exprimer la matrice de n dans la base canonique^;1;X;X²;:::;Xⁿ deEn.

c) Determiner les valeurs propres de n. L'endomorphisme n est-il diagonalisable?

d) Montrer que, pour tout entierk²[[0;n]], il existe un unique polyn^ome Hk de degre k et de coecient dominant egal a 1, qui est vecteur propre de n.

2. a) Justier (brievement) que : (P ^jQ) =

Z

1

;1

r1^;x

1 +x P⁽x)Q(x)dx denit un produit scalaire sur^R[X].

b) En observant que :

(x^2;1)P⁰⁰(x) + 2xP⁰(x) = d dx

(x^2;1)P⁰(x) montrer que, pour tous polyn^omesP et Qde^R[X], on a :

;(P)^jQ=

Z

1

;1

(1^;x)³⁼²(1 +x)¹⁼²P⁰(x)Q⁰(x)dx

c) En deduire que la famille (H_k)⁰kn est une base orthogonale deE_n.

Solution :

1. a) La linearite de la derivation montre que est une application lineaire.

Si P est un polyn^ome de degrepn, on peut ecrireP(X) =a_pX^p+Q(x) et (P)(X) =p(p+ 1)apX^p+R(X), ce qui montre que restreint aEn est un endomorphisme deEn.

b) Le calcul donne, pour toutk^2f0;:::;n^g:

n(X^k) =k(k+ 1)X^k+kX^k;1;k(k^;1)X^k;2 Ainsi :

An=

0

B

B

B

B

B

B

@

0 1 ^;2 ::: 0

0 2 2 ... ...

... 0 6 ... ^;n(n^;1)

... ... ... n

0 ::: ::: 0 n(n+ 1)

1

C

C

C

C

C

C

A

c) La matriceA_n est triangulaire superieure, les valeurs propres de nsont ses elements diagonaux, soit :

Spec(A) =^fk(k+ 1);0kn^g

Enn n est un endomorphisme deEn, espace vectoriel de dimension (n+1) qui admet (n+ 1) valeurs propres distinctes. Ainsi n est diagonalisable.

d) Les sous-espaces propres sont de dimension 1.

Soit H_k l'unique vecteur propre de coecient dominant associe a la valeur proprek=k(k+1). On aHk(X) =X^p+Q(X) et n(Hk) =p(p+1)X^p+ R(X).

Mais n(Hk) = k(k+ 1)Hk, d'ou n(Hk) = k(k+ 1)X^p+R¹(X), ce qui entra^ne quep=k.

2. a) Montrons deja que l'integrale proposee est une integrale convergente : La fonctionh:x^7!

r1^;x

1 +x P⁽x)Q(x) est continue sur ]^;1;1]. Demontrons la convergence enx=^;1.

si P(^;1)Q(^;1) ⁶= 0, alors, au voisinage de ^;1, h(x) C

p1 +x ^{qui est} integrable par le critere de Riemann.

siP(^;1)Q(^;1) = 0, on peut ecrireP(X)Q(X) = (x+1)^kR(X) ethadmet un prolongement par continuite enx=^;1.

On verie aisement que (; ) est bilineaire, symetrique, positive.

Enn, si

Z

1

;1

r1^;x

1 +x P²⁽x)dx = 0, par continuite et positivite, on a, pour tout xde ]^;1;1],

r1^;x

1 +x P²⁽x) = 0 etP admettant une innite de racines sur ]^;1;1[ est le polyn^ome nul.

b) Une integration par parties sur [a;b]]^;1;1[ donne :

Z b a

;(x^2;1)P⁰⁰(x)+2xP⁰(x)^q1_{1 +}^;xxQ⁽x)dx=^h(x^2;1)P⁰(x)^q1_{1 +}^;xxQ⁽x)^ib_a

; Z b

a (x^2;1)P⁰(x)^{h q}_{1 +}1^;xxQ⁰x)^; Q(x) (1 +x)³⁼²(1^;x)¹⁼²

idx d'ou en faisant passer le dernier terme dans la partie gauche :

Z b a

q1_{1 +}^;xx⁽P)(x)Q(x)dx=^h(x^2;1)P⁰(x)^q_{1 +}1^;xxQ⁽x)^ib_a +

Z b

a (1^;x)³⁼²(1 +x)¹⁼²P⁰(x)Q⁰(x)dx Il reste a faire tendreavers^;1 etb vers 1 pour obtenir :

((P)^jQ) =

Z

1

;1

(1^;x)³⁼²(1 +x)¹⁼²P⁰(x)Q⁰(x)dx

c) L'expression que l'on vient d'obtenir etant symetrique, il s'ensuit : ((P)^jQ) = (P ^j(Q))

Les valeurs propresk etant deux a deux distinctes, on a pourk⁶=j : ((Hj)^jHk) = (Hj ^j(Hk))⁽⁾j(Hj^jHk) =k(Hk ^jHj)

=⁾ (Hk ^jHj) = 0

Exercice 2-3

On considere l'espace^Mp(^R) des matrices carrees d'ordrep^>2, a coecients reels.

PourA^2M_p(^R), on note par^tAla matrice transposee deA. Siu=

0

@

u¹ u...p

1

A etv=

0

@

v¹ v...p

1

Asont deux vecteurs de^Rp, on pose :

hu^jvⁱ=u¹v¹++upvp. Siu^2Rp, on note^ku^kla norme euclidienne du vecteuru.

1. a) Montrer que la matrice ^tAA est symetrique et que ses valeurs propres sont positives. On noteracsa plus grande valeur propre.

b) Montrer que ^kAx^{k2 6}c^kx^k2 pour toutx ^{2 Rp}. En deduire que pour tout couple de vecteursx ety de^Rp et pour tout entier k >0, on a :

() ^hA^kx^jyⁱ⁶c^k2kx^kky^k

On dit qu'une suite (Un)n^>0de matrices de^Mp(^R) converge vers une matrice U ^2Mp(^R) si chaque coecient deUnconverge, lorsquentend vers l'inni,

vers le coecient correspondant de la matriceU. On note"_jlej-eme vecteur de la base canonique de^Rp.

2. a) Soient (i;j)^{2 f}1;:::;p^g2. En utilisant la relation (), montrer que la serie^X

k⁰

hA^k"i^j"jⁱ

k! est convergente.

b) Soitn^2N. On denit la matriceBn par : B_n =^Xn

k⁼⁰

A^k k!

Montrer que la suite (Bn)n^>1 converge vers une matrice que l'on notera exp(A).

c) Montrer que si est une valeur propre de A, alors e est une valeur propre de exp(A).

d) Calculer exp(A) lorsqueAest une matrice diagonale.

Solution :

1. a) La matrice ^tAA est symetrique puisque (^tAA)^t=^tAA. Elle est reelle, donc diagonalisable dans une base orthonormee.

Soitune valeur propre de^tAAetX⁶= 0 un vecteur propre associe. On peut ecrire :

tAAX=X^)tX^tAAX=^tXX^,jjAX^jj2=^jjX^jj2 ce qui entra^ne que0.

b) Soit (e¹;e²;:::;ep) une base orthonormee de vecteurs propres de ^tAA. Tout vecteurx deE s'ecrit sous la formex=^Xp

i⁼¹xiei et^tAAx=^Xp

i⁼¹xiiei, avec pour tout 1ip;0ic. Alors :

jjAx^jj2=^tX^tAAX=^X

i

X

j _ix_ix_jte_ie_j=^Xp

i⁼¹_ix²_i et

jjAx^jj2=^Xp

i⁼¹ix²_i c^Xp

i⁼¹x²_i =c^jjx^jj2

Une recurrence evidente montre que pour toutk^2N;^jjA^kx^jj2c^kjjx^jj2. Soit alors x;y deux vecteurs de ^Rp. Il vient, par l'inegalite de Cauchy- Schwarz :

jhA^kx;y^ij2jjA^kx^jj2jjy^jj2c^kjjx^jj2jjy^jj2 2. Soit ("¹;:::;"p) la base canonique de^Rp.

a) On a par la question precedente :

hA^k"i^j"jⁱ

k!

c^k=2

k! ^jjx^jjjjy^jj, qui est le terme general d'une serie convergente. La serie proposee est donc absolument convergente.

b) On denitBn=^Xn

k⁼⁰

A^k

k! et pour tout 1i;jn; bi;j=^X1

k⁼⁰

hA^k"i^j"jⁱ

k! , ainsi que bn;i;j = ^Xn

k⁼⁰

hA^k"i^j"jⁱ

k! . La convergence des series ecrites montre que, pour tout (i;j)²[[1;n]]², lim_n

!+1

bn;i;j=bi;j. c) SiAx=x, alors pour toutn0 :

Bnx=^Xn

k⁼⁰

A^kx k! =

n

X

k⁼⁰

^kx

k! =x^Xn

k⁼⁰

^k k!

Cette derniere somme converge vers e, tandis que (B_n) converge vers e^A. d) SiB est de la forme diag(¹;²;:::;n), la denition de exp(B) et un calcul immediat donnent :

exp(diag(¹;²;:::;n)) = diag(e¹;e²;:::;eⁿ)

Exercice 2-4

On considere l'espace^Mp(^R) des matrices carrees d'ordrep^>2 a coecients reels. SoientAetB deux matrices de^Mp(^R).

1. a) Montrer que l'on a :

Ker(B)Ker(AB) Im(AB)Im(A)

b) Montrer que si le produit AB est inversible, alors les matrices Aet B sont inversibles.

2. Soitun reel non nul.

a) Montrer que la matrice (I ^;AB) est inversible si et seulement si la matrice (I^;BA) l'est.

b) On suppose dans cette question que n'est pas valeur propre de la matriceAB. Montrer que l'on a alors :

(I^;AB)^;1= I ⁺A

⁽I^;BA)^;1B

c) Montrer que les matricesAB et BAont les m^emes valeurs propres.

3. On considere les matrices de^Mp(^R) suivantes : A=

0

B

B

B

@

1 0 ::: 0 1 ... ...

... ... ...

1 0 ::: 0

1

C

C

C

A

et B=

0

B

B

@

1 1 ::: 1 0 0 ::: 0 ... ... ...

0 0 ::: 0

1

C

C

A

a) Determiner les valeurs propres de la matriceBA.

b) Calculer, apres avoir justie son existence, l'inverse de la matriceI^;AB.

Solution :

1. a) SiBx= 0, alorsABx= 0. De m^eme tout vecteurABxs'ecrit A(Bx).

b) Si la matriceABest inversible, il vient KerB Ker(AB) =^f0^g, ce qui entra^ne queB est inversible. De m^eme^Rp = Im(AB)Im(A) entra^ne que Aest inversible.

2. Supposons la matriceI^;ABinversible. Soitx²Ker(I^;BA).

AlorsBAx=x =⁾ ABAx=Ax, ce qui donne :

Ax ²Ker(I ^;AB) = ^f0^g. Donc Ax = 0 et 0 = BAx= x entra^ne que x= 0. Enn ⁶= 0 entra^ne quex= 0.

Les matricesAB etBAjouant des r^oles symetriques, on obtient la reciproque demandee.

b) PosonsX = I ⁺A

⁽I^;BA)^;1B. Il vient : (I^;AB)X =I^;AB

⁺A^;ABA

⁽I^;BA)^;1B

=I^;AB

⁺A(I^;BA)

⁽I^;BA)^;1B

=I^;AB

⁺AB

⁼I

c) La question 2.a) montre queAB etBA ont les m^emes valeurs propres non nulles. La question 1.b) montre que 0 est valeur propre de AB si et seulement si 0 est valeur propre deBA.

3. a) En eectuant le produitBA, on trouve : BA=

0

B

B

@

p 0 ::: 0 0 0 ::: 0 ... ... ... ...

0 0 ::: 0

1

C

C

A

On en deduit que les valeurs propres deBA sont 0 etp.

b) Le reel 1 n'etant pas valeur propre deBA, il n'est pas valeur propre de AB, d'ou l'existence de (I ^;AB)^;1. Pour calculer cette matrice, on utilise la question 2.b), qui donne :

(I ^;AB)^;1 = 11^;p

0

B

B

B

B

@

(2^;p) 1 ::: 1

1 (2^;p) ... ...

... ... ... 1

1 ::: 1 (2^;p)

1

C

C

C

C

A

Exercice 2-5

Soit n un entier naturel tel que n 2 et H = (ai;j) la matrice de ^Mn(^R) denie par :

8(i;j)^2f1;:::n^g2; ai;j=i+j1^;1 1. Montrer queH est diagonalisable dans^Mn(^R).

2. SoitX =

0

@

x¹ x..._n

1

A

2Mn;¹(^R). On poseq(X) =^tXHX. a) Verier queq(X) =

Z

1

0

(x¹+x²t++xnt^n;1)²dt.

b) En deduire que les valeurs propres de H sont strictement positives et queH est inversible.

c) Montrer que⁸X ^2Mn;¹(^R); ^tXH^;1X 0, et que ^tXH^;1X = 0 si et seulement siX = 0.

3. On note^jjX^jj=^px²¹++x²_n, an la plus petite valeur propre de H et bn la plus grande valeur propre de H.

a) Montrer que pour toutX ^2M_n;¹(^R); a_n^jjX^jj2q(X)b_n^jjX^jj2. b) On note diag(¹;:::;n) une matrice diagonale semblable a H et on admet que^Xn

k⁼¹k =^Xn

k⁼¹ak;k. Montrer quenan ^Xn k⁼¹ak;k. c) On considere la suite (hn) denie pourn1 par :

hn = 1 + 12 ++ 1n

Montrer que la suite (hn^;lnn) est convergente. En deduire que lim_n

!1

an= 0:

Solution :

1. La commutativite de l'addition dans ^N donne que H est une matrice symetrique reelle, donc diagonalisable dans une base orthonormee de^Rn.

2. a) On a :

Z

1

0

n

X

i⁼¹xit^i;1

!

2

dt=

Z

1

0

n

X

i⁼¹xit^i;1

! 0

@

n

X

j⁼¹xjt^j;1

1

Adt

=^{Z 1}

0 0

@

n

X

i⁼¹ n

X

j⁼¹xixjt^i+j;2

1

Adt

=^Xn

i⁼¹ n

X

j⁼¹xixj

Z

1

0

t^i+j;2dt

=^Xn

i⁼¹ n

X

j⁼¹

xixj

i+j^;1 =

n

X

i⁼¹ n

X

j⁼¹ai;jxixj =^tXHX b) Soit une valeur propre deH. Il existe un vecteurX non nul tel que HX=X. Ainsi :

q(X) =^tXHX=^tX(X) =^jjX^jj2 etq(X)0, pour toutX ^2Rn, entra^ne que0.

Or si= 0, il vientq(X) = 0. Maisq(X) =

Z

1

0

;Xn

i⁼¹xit^i;12dt= 0 entra^ne que le polyn^ome^;Xn

i⁼¹xit^i;12est identiquement nul sur^Ret donc queX = 0.

Ainsi H ne possede que des valeurs propres strictement positives ce qui entra^ne qu'elle est inversible.

c) PosonsY =H^;1X. Alors :

tXH^;1X =^tY^tHH^;1HY =^tY^tHY =^tY HY 0 et si^tY HY = 0, alorsY = 0 et doncX = 0.

3. On sait queHest diagonalisable dans une base orthonormee (e¹;e²;:::en).

Pour tout vecteurX de^Rn, on peut ecrireX=^Xn

i⁼¹xieiavec^jjX^jj2=^Xn

i⁼¹x²_i, etHX =^Xn

i⁼¹ixiei.

On sait de plus que pour touti^2f1;:::;n^g, 0< an i bn. Finalement

tXHX=^Xn

i⁼¹ix²_i et :

an^jjX^jj2Pn_i⁼¹ix²_i bn^jjX^jj2

b) Si l'on note diag(¹;:::;n) une matrice diagonale semblable aH, on admet que_i^Pn

=1

i= 1+ 13 + 15 ++ 12n^;1 =sn On a alors, par la question precedentenan sn nbn.

c) Posonsu_n=h_n^;lnn. Alors : un^+1;un= 1n+ 1 + ln

; n n+ 1

= 1n+ 1 + ln

;1^; 1 n+ 1

= 1n+ 1^; 1

n+ 1 + 1

2(n+ 1)² +O₂₍n+ 1)^{1 2}

= 1

2(n+ 1)² +O₂₍n+ 1)^{1 2}

qui est le terme general d'une serie convergente. Ainsi, le serie de terme generalun^+1;un est convergente ce qui siginie que

un^;u¹=^nX;1

k⁼¹(uk^+1;uk)

admet une limite lorsquentend vers l'inni, donc que la suite (un) converge.

On peut alors ecrire : sn=h²n^;

1 2 + 1

4 ++ 12n

=h²n^;1 2hn

=u²n+ ln(2n)^;1

2(un+ ln(n)) =u²n^;1

2un+ ln2 + 12 lnn Or 0an sn

n ^{donne :}

0anu²n^;12un+ ln2 +¹²lnn soit, par encadrement : lim_n n

!+1

an= 0.

Exercice 2-6

SoitE un espace vectoriel euclidien de dimensionnetf;g;htrois endomor- phismes deE tels que :

fg=h; gh=f; hf =g

1.a) Comparer les images de ces trois endomorphismes ainsi que leurs noyaux.

b) Montrer que f² = g² = h² et, en calculant h²f h², montrer que f⁵=f.

c) Montrer que les noyaux des puissances defsont tous egaux et en deduire que Imf et Kerf sont supplementaires.

2. On suppose maintenant quef;g;hsont de rangn. a) Quelles sont les valeurs propres possibles def?

Montrer que les sous-espaces propres de f (s'il y en a) sont stables parg et parh.

On suppose desormais quef est un endomorphisme symetrique.

b) Montrer que f² = IE (l'endomorphisme identite de E) et que f;g;h commutent deux a deux.

c) En deduire quef;g;hadmettent une base commune de vecteurs propres.

Solution :

1. a) Commef =gh, pour toutx²E:f(x) =g(h(x)). Donc Imf Img Commeh=f g, pour toutx²E:h(x) =f(g(x)). Donc ImhImf Commeg=hf, pour toutx²E:g(x) =h(f(x)). Donc ImgImh On obtient ainsi :

Imf = Img= Imh De m^emeh=fg⁾KergKerh.

f =gh⁾KerhKerf et g=hf ⁾Kerf Kerg. Ce qui donne Kerf = Kerg= Kerh

b) Il vientf²=ff =f (gh) = (fg)h=hh=h², et g²=gg=g(hf) = (gh)f =ff =f².

Ennf⁵=h²fh²=h(hf)h²=hgh²=h(gh)h=hfh=gh=f c) On sait que :

Kerf Kerf²:::Kerf⁵= Kerf Ainsi :

Kerf = Kerf²=:::= Kerf⁵

Maisf⁵=f ⁾Kerf^1+4p= Kerf, pour toutp^2N. Ainsi la suite des noyaux def est constante.

Le theoreme du rang dit qu'il sut de montrer que Kerf^\Imf =^f0^gpour montrer que ces deux sous{espaces sont supplementaires.

Or six²Kerf^\Imf, alors

f(x) = 0 x=f(y) .

Mais alorsf²(y) = 0 =⁾ y²Kerf²= Kerf =⁾ x=f(y) = 0.

2. a) Les valeurs propres de f font partie de l'ensemble des racines du polyn^omeX^5;X, polyn^ome annulateur def. Maisf etant un isomorphisme (rang de f egal n), elles sont incluses dans les racines de X^4;1, qui sont

f1;^;1;i;^;i^g. Les seules valeurs propres reelles possibles sont donc 1 et^;1.

Soit^2f;1;1^getx⁶= 0 tel quef(x) =x. Alors g(x) =h(f(x)) =h(x) =f(g(x))

Or comme 1⁼, il vientf(g(x)) =g(x), ce qui signie que le sous-espace propre def associe a la valeur prope est stable par g. La demonstration pourhest identique.

b) Si f est de plus symetrique, on sait qu'il est diagonalisable dans une base orthonormee et que ses valeurs popres sont reelles. Les valeurs propres etant incluses dans^f;1;1^g, la matrice associee af dans la base des vecteurs propres est diagonale avec ces valeurs sur la diagonale. Doncf²=I. Par la question 1.b) on aI =f²=g²=h². Donc :

gf =ggh=g²h=h=fg, fh=ffg=f²g=g=hf, hg=hhf =h²f =f =gh.

c) Les endomorphismesg et hsont diagonalisables, carg²=I =h². Comme f est diagonalisable, On sait que E = E¹(f)E^;1(f). Comme g laisse stableE¹(resp.E^;1), alorsg¹(resp.g^;1), restriction degaE¹, (resp.

E^;1) est un endomorphisme de E¹ (resp.E^;1) et g et g^;1 sont eux m^eme diagonalisables (ils verient la m^eme equation queg).

Si l'on note ^B1 une base de diagonalisation de g¹ et ^B;1 une base de diagonalisation deg^;1, l'^hhunionⁱⁱde ces deux bases est une base deE, formee de vecteurs propres deg et def par construction.

La demonstration pourhest identique.

Exercice 2-7

Soit a un reel strictement positif et E l'ensemble des fonctions reelles continues sur [0;a]. On considere les fonctionsset cdeE denies pour tout x²[0;a] pars(x) = sin(x) etc(x) = cos(x). On denit en outre l'application deE dansE par :

8(x;f)²[0;a]E; (f)(x) =

Z a

0

f(t)sin(x+t)dt 1. Montrer que est un endomorphisme de E.

2. Montrer que ((s);(c)) est un systeme libre deE. 3. Determiner Im.

4. On suppose desormais que a= =2. Determiner les valeurs propres non nulles de ainsi que les sous-espaces propres associes.

5. On noteF le sous-espace vectoriel deEengendre parsetc. Montrer que la restriction de aF est un endomorphisme deF. Cet endomorphisme est-il diagonalisable?

Solution :

1. L'application (x;t)^7! f(t)sin(x+t) est continue sur [0;a]². Par suite la fonction (f) est continue sur [0;a. La linearite est immediate et provient de la linearite de l'integrale.

2. On a pour toutx²[0;a] : (f)(x) = sinx^{Z a}

0

f(t)costdt+ cosx^{Z a}

0

f(t)sintdt=(f)s+(f)c Donc :

(s) =s^{Z a}

0

sintcostdt+c^{Z a}

0

sin²tdt;(c)=s^{Z a}

0

cos²tdt+c^{Z a}

0

sintcostdt ce qui s'ecrit matriciellement :

(s) (c)

=

0

B

B

@ Z a

0

sintcostdt ^{Z a}

0

sin²tdt

Z a

0

cos²tdt ^{Z a}

0

sintcostdt

1

C

C

A s

c

Cette matrice est inversible car par l'inegalite de Cauchy{Schwarz :

Z a

0

sintcostdt

2

; Z a

0

sin²tdt

Z a

0

cos²tdt

<0 ce qui entra^ne que ((s);(c)) est un systeme libre puisque (s;c) l'est.

3. On sait deja que ImVect(s;c). D'apres la question precedente, on peut ecrire que Vect(s;c) = Vect((s);(c)). Donc

Im= Vect((s);(c)) = Vect(s;c)

4. Soitune valeur propre non nulle de etf un vecteur propre associe.

Commef = (f)

^{, on a}f ²Vect(s;c), soitf(x) =acosx+bsinx. On calcule alors (f) et on obtient :

(a 4 + b

2)sinx+ (a 2 + b

4 )cosx=(acosx+bsinx) soit : a(1=2^;) +b=4 = 0

a=4 +b(1=2^;) = 0 ⁾

¹= 1=2 +=4 ²= 1=2^;=4 Chaque sous{espace propre associe est de dimension 1 et :

E¹ = Vect(c+s); E²= Vect(c^;s)

5. On a vu que (s) et (c) s'exprimaient en fonction desetcet engendraient le m^eme sous{espace. On en deduit que ^jF est un endomorphisme, m^eme un isomorphisme de F. Cet endomorphisme admet deux valeurs propres distinctes (¹;²) car les vecteurs propres associes sont dans F. Ainsi il est diagonalisable.

Exercice 2-8

SoitE l'ensemble des matrices carrees reelles d'ordre n, (n 2) forme des matricesA= (ai;j) veriant :

il existe un reel unique notem(A) veriant la propriete suivante :

8(i;j)^2f1;:::;n^g2; ^Xn

k⁼¹ai;k=^Xn

k⁼¹ak;j =m(A) On considere en outre la matriceJ = (jp;q) deE denie par :

pour tout (p;q)^2f1;:::;n^g2;jp;q= 1.

1. Montrer queEest un sous-espace vectoriel de^Mn(^R). CalculerA:JetJ:A pour A²E. En deduire queE est stable par la multiplication des matrices et que l'applicationm:A^7!m(A) est une application lineaire deE sur^R. 2. SoitGla droite vectorielle engendree parJ et soitH = Kermle noyau de m. Montrer queE=GH. (on pourra considerer la matriceA^;

m(A) n

J, pourA²E).

3. Pour tout couple (k;l) ^{2 f}2;:::;n^g2, on considere la matriceH^k;l dont tous les elements sont nuls exceptes :

h^k;l1_;¹=h^k;l_k;l= 1; eth^k;l1_;l =h^k;l_k;¹=^;1

Montrer que pour tout couple (k;l)^2f2;:::;n^g2;H^k;l est element deH et que l'ensemble des matrices (H^k;l) forme une base deH

(siA= (a_i;j)²H, on pourra considerer la matriceA⁰ = ^X

2k;lna_k;lH^k;l).

En deduire la dimension deE.

Solution :

1. Montrons que :

E=^fA^2M_n(^R)^jAJ =JA=m(A)J^g

Si Aest element de E, les conditions imposees surA et un calcul immediat montrent queAJ =JA=m(A)J.

Reciproquement, soitA une matrice reelle veriantAJ =JA=J, pour reel. La denition deJ permet d'ecrire :

8(i;j)^2f1;:::;n^g2; ^Pn

k⁼¹ai;k= ^Pn

k⁼¹ak;j=

E est alors evidemment un sous{espace vectoriel de ^Mn(^R), stable par multiplication, puisque si AJ = JA = m(A)J et BJ = JB = m(B)J, alors

ABJ=m(B)AJ =m(B)m(A)J =JAB Enn, l'applicationA^7!m(A) est evidemment lineaire.

2. Le sous-espaceGest un sous{espace deE. L'applicationmest une forme lineaire non nulle surE. Le theoreme du rang entra^ne que son noyau est de dimension dim(E)^;1. Comme Gest de dimension 1, il reste a prouver que

G^\Kerm=^f0^g

Or : A²G^\Ker(m)^,

A=J m(A) = 0 Donc 0 =m(A) =m(J) =n =⁾ A= 0.

3. L'ensemble des matricesH^k;lest de cardinal (n^;1)². Chaque matriceH^k;l veriem(H^k;l) = 0.

?Montrons qu'elles forment une famille libre.

Si ^P_k;lk;lH^k;l = 0, il sut de regarder chaque terme (i;j) de cette somme pour s'apercevoir que :

8(i;j)²(^f2;:::;n^g)²; 0 =^;X

k;l k;lH^k;l_i;j=i;j

?Montrons que cette famille engendre Ker(m).

Soir A ² Ker(m). Posons A = (ai;j) et A⁰ = ^X

2k;lnak;lH^k;l, et montrons queA=A⁰.

a⁰¹_;¹=_s^Pn

=2

n

P

r⁼²ar;s=_s^Pn

=2

(^;a¹;s) =^;(^;a¹;¹) =a¹;¹.

sii2;j2, alorsa⁰_i;j=ai;j.

sii= 1;j2, alorsa⁰¹_;j =^;_r^Pn

=2

ar;j=a¹;j

sii2;j= 1, alorsa⁰_i;¹=ai;¹.

Ainsi la famille des matrices (H^k;l)²k;lnest un systeme libre et generateur deH et forme une base deH. On en deduit que la dimension deE est egale a (n^;1)²+ 1.

Exercice 2-9

Soit n un entier naturel superieur ou egal a 2. On considere ^Rn muni du produit scalaire canonique ^h ; ⁱ. On identiera ^Rn et ^Mn;¹(^R), l'ensemble des matrices colonne a coecients reels.

SoitAune matrice symetrique reelle d'ordrenveriant : Pour toutX=

0

@

x¹ x...n

1

A

2Mn;¹(^R); ^tXAX 0; et ^tXAX = 0⁾X = 0.

1. Montrer que les valeurs propres deAsont des reels strictement positifs.

Soit C un element de ^Mn;¹(^R) xe. Soit f la fonction denie sur ^Rn par, pour toutX^2Mn;¹(^R) :

f(X) =^hAX;X^i;2^hC;Xⁱ 2. Determiner les points critiques def.

3. Determiner la nature de ces points.

Solution :

1. Soitune valeur propre deA(on sait que^2R), etX une colonne propre associee. On a^tXX >0 et :

tXAX ⁶= 0 et^tXAX=^tXX0, donc^tXX >0 et >0.

2. Avec des notations evidentes et en developpant : f(X) = ^P_i;jai;jxixj ^;

2^P_i cixi. Soit, en simpliant par 2 :

8

>

>

>

<

>

>

>

:

@x@f¹⁽X) = 0

@f ...

@xn(X) = 0

() 8

<

:

a¹;¹x¹+a¹;nxn=c¹ an;¹x¹+...an;nxn=cn

()X =A^;1C En eet, nous venons de demontrer que 0 n'est pas valeur propre deA, donc Aest inversible.

3. SoitH une matrice colonne quelconque. Dans le calcul de f(A^;1C+H) les termes du premier degre enH disparaissent, puisqueA^;1C est un point critique, et il reste :

f(A^;1C+H) =f(A^;1C) +^tHAH

PourH ⁶= 0, on a^tHAH >0 et doncf presente au pointA^;1Cun minimum absolu strict.

Exercice 2-10

Soit n un entier naturel tel que n 2. Dans tout l'exercice, E designe un espace vectoriel de dimensionn, etf est un endomorphisme de E.

Par convention f⁰ = id (application identite) et on denit par recurrence pourk^2N,f^k parf^k =ff^k;1

On dira que f est cyclique s'il existe un vecteurx⁰ deE tel que :

;x⁰;f(x⁰);:::;f^n;1(x⁰) soit une base deE.

1. Montrer que si f est cyclique, alors (id;f;:::;f^n;1) est une famille libre d'endomorphismes deE.

2. Indiquer a quelles conditions un projecteur deE est cyclique.

3. Dans cette question, on suppose queEest l'espace vectoriel des polyn^omes a coecients reels de degre inferieur ou egal an^;1, et on considere l'endomor- phismeddeE deni par : ⁸Q²E,

d(Q)(X) =Q(X+ 1)^;Q(X)

a) Que peut-on dire du degre ded(Q) relativement a celui deQ?

b) Determiner le noyau, l'image, les valeurs propres et les vecteurs propres de l'endomorphismed. Est-il diagonalisable ?

c) L'endomorphismedest-il cyclique ?

4. On suppose dans cette question quef admetnvaleurs propres distinctes ¹;:::;_n et soient e¹;:::;e_n des vecteurs propres respectivement associes.

Montrer a l'aide du vecteurx⁰= ^Pn

k⁼¹ek quef est cyclique.

5. On suppose dans cette question quef est diagonalisable et admetpvaleurs propres distinctes¹;:::;p avecp < n. On pose

P(X) = ^Yp

k⁼¹(X^;k)

a) CalculerP(f)(x) lorsquex est un vecteur appartenant a l'un des sous- espaces propres def.

b) En deduire queP(f) est l'endomorphisme nul.

c)f est-t-il cyclique ?

Solution :

1. Supposonsf cyclique, et soienta⁰;:::;an^;1 des scalaires tels que l'on ait a⁰id+a¹f ++an^;1f^n;1= 0.

En particulier, on a :a⁰x⁰+a¹f(x⁰) ++an^;1f^n;1(x⁰) = 0, oux⁰ est un vecteur tel que (x⁰;:::;f^n;1(x⁰)) soit une base deE. On en deduit la nullite de tous les scalaires et la famille (id;f;:::;f^n;1) est libre dans^L(E).

2. Si pest un projecteur, on ap²=p, donc la famille (x⁰;p(x⁰);p²(x⁰);:::) est toujours liee.

Ainsi, pour qu'un projecteur soit cyclique, il est necessaire que la dimension deE soit inferieure ou egale a 2, donc egale a 2.

Reciproquement, si dimE = 2, on peut trouver un vecteur x⁰ tel que (x⁰;p(x⁰)) soit une base de E, si et seulement si p n'est pas l'identite ou l'application nulle.

Bref, un projecteur est cyclique si et seulement si dimE = 2 et p est la projection sur une droite parallelement a une autre droite.

3. a)?Si Qest un polyn^ome constant, alorsd(Q) est le polyn^ome nul.

?Sinon, ecrivons Q=a⁰++aqX^q, avecq1 etaq ⁶= 0. On obtient : d(Q) =qaqX^q;1+, ce qui prouve qued(Q) est de degre exactementq^;1.

b) ? D'apres a), Kerdest l'ensemble des polyn^omes constants : Kerd =

R

0[X].

?Toujours d'apres a) Imd^Rn^;2[X]. Or par la formule du rang, on a :

dim Imd= dim^Rn^;1[X]^;dimKerd= (n^;2)^;1 = dim^Rn^;2[X] Ce qui assure que l'on a : Imd=^Rn^;2[X].

? Si etait une valeur propre non nulle de d et Q un polyn^ome propre associe, on aurait : degQ = deg(Q) = degd(Q) = degQ^;1, ce qui est absurde. Ainsi la seule valeur propre possible dedest 0.

De plus 0 est eectivement valeur propre ded, le sous-espace propre associe etant le noyau ded.

?Si l'endomorphismedetait diagonalisable, comme 0 est son unique valeur propre, d serait l'endomorphisme nul, ce qui est faux. Donc d n'est pas diagonalisable.

c) Prenons par exempleQ=X^n;1. Alors la famille (Q;d(Q);:::;d^n;1(Q)) est echelonnee en degre, donc est libre dansE, et est de cardinaln= dimE. Ainsi cette famille est une base deE, ce qui prouve quedest cyclique.

4. On ax⁰=_k^Pn

=1

ek, d'ouf(x⁰) =_k^Pn

=1

f(ek) =_k^Pn

=1

kek, et par une recurrence simple :

f^p(x⁰) = ^Pn

k^=1p_kek

Donc, si (a⁰;:::;an^;1)^2Rn est tel queⁿ_p^P;1

=0

apf^p(x⁰) = 0, on a : 0 =ⁿ_p^P;1

=0

apf^p(x⁰) = ^Pn

k⁼¹(ⁿ_p^P;1

=0

ap^p_k)ek = ^Pn

k⁼¹P(k)ek, avecP=ⁿ_p^P;1

=0

apX^p Or la famille (e¹;:::;en) est libre, car formee de vecteurs propres associes a des valeurs propres dierentes, et donc le polyn^omeP s'annule en¹;:::;n. Comme il est de degre inferieur ou egal an^;1, il s'agit du polyn^ome nul et tous les coecientsap sont nuls.

La famille (x⁰;:::;f^n;1(x⁰)) est donc libre de cardinalnet est une base de E, ce qui prouve quef est cyclique.

5. a) Supposonsxpropre associe a la valeur proprek.

On a P(f) = (f ^;1id)(f ^;pid) et les endomorphismes ecrits commutent entre eux. On peut donc ecrire :P(f) =(f ^;kid). Ainsi :

P(f)(x) =(f^;kid)(x) = 0.

b) Par hypothese il existe une base de E formee de vecteurs propres de f. D'apres a) l'endomorphisme P(f) s'annule en chaque vecteur d'une telle base. Par consequent P(f) est nul sur une base, donc est l'endomorphisme nul.c) La question b) montre, en developpantP(f), que la famille (id;f;:::;f^p) est liee, avecp < n. Comme toute sur-famille d'une famille liee est liee, on en deduit que la famille (id;f;:::;f^n;1) est liee.

La question 1. montre alors quef n'est pas cyclique.