Monter que : I.D - En déduire que la matrice est diagonalisable

(1)

MATHÉMATIQUES II Filière TSI

Concours Centrale-Supélec 1999

Partie I -

Dans cette partie, désigne un entier naturel impair, supérieur ou égal à 3.

L’espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne canonique, et sa base canonique est notée . On appelle la matrice carrée d’ordre définie par :

avec

On note l’endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est .

I.A - Calculer et .

I.B - Pour , déterminer . En déduire , pour entier impair supérieur ou égal à 3.

I.C - On désigne par et le noyau et l’image de l’endomorphisme . Monter que :

I.D - En déduire que la matrice est diagonalisable. Expliciter une base de vecteurs propres de ainsi qu’une matrice diagonale semblable à . Montrer que les sous-espaces propres de sont orthogonaux.

I.E - Dans cette question, est un espace affine euclidien de dimension 3, muni d’un repère orthonormal ; étant un point de , on note

ses coordonnées dans ce repère. Si est un réel fixé, on note la surface d’équation .

I.E.1) Montrer qu’il existe un repère orthonormal dans lequel l’équation de est :

Discuter la nature de la surface , en distinguant les cas : , , . Dans les questions qui suivent, on prend , et est muni du repère orthonormal dont l’existence a été prouvée en I.E.1

n IRⁿ

e₁, , ,e₂ … e_n

( ) A_n n

A_n

1 0 0 … 0 0 0 0 … 1 0 0… 1 0 M M N N 0 1 0 … 0

a_{r s}_,

( ), 1≤r s, ≤n

= = a_{r s}_, 1 si r+s=2

ou si r+s=n+2

 

 

0 sinon







=

u IRⁿ

A_n

A₃

( )² (A₅)²

2≤ ≤j n u²( )e_j (A_n)² n

Ker u Im u u

Ker (u–id)∩Ker (u+id) = { }0 Im (u+id)⊂Ker (u–id)

dim Ker (u–id)+dim Ker (u+id) = n







A_n

A_n A_n

A_n E

O; i j k, ,

( ) M E (x y z, , )

k S_k

x²+2yz = k

O; I J K, ,

( )

S_k X²+Y²–Z² = k

S_k k<0 k = 0 k>0 k = 1 E

R ⁼ ⁽^{O; I J K}^{, ,} ⁾

(2)

I.E.2) Soit un point du plan , appartenant à . On notera les coordonnées de dans . Soit une droite passant par et perpendiculaire à . Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur un vecteur directeur de pour que soit incluse dans . I.E.3) Déterminer les droites incluses dans et rencontrant le plan

. Existe-t-il des droites parallèles à incluses dans ? I.E.4) Soit un point de de coordonnées dans . Montrer qu’il existe un réel tel que :

En déduire que est la réunion d’une famille de droites qu’on précisera.

Partie II -

Dans cette partie, on prend . On désigne par le nombre complexe , et par la matrice de coefficients , pour . II.A - Vérifier que :

L’espace vectoriel est muni de la base canonique, notée . On appelle l’endomorphisme de dont la matrice dans cette base est , et l’endomorphisme dont la matrice dans cette base est que l’on notera désor- mais .

II.B -

II.B.1) Écrire le polynôme comme produit de polynômes irréductibles sur et montrer qu’il existe 2 réels et tels que :

En déduire la décomposition de en facteurs irréductibles dans . II.B.2) Déduire de ce qui précède l’expression de et en fonction de .

II.C - Calculer . Exprimer en fonction de .

M₀ (O; I J, ) S₁

θ₀

cos ,sinθ₀,0

( ) M₀ R D

M₀ (OM₀)

V D D ^S1

S₁ O; I J,

( ) (O; I J, ) S₁

M S₁ (X Y Z, , ) R

θ₀

X = cosθ₀–Zsinθ₀ Y = sinθ₀+Zcosθ₀





S₁

n = 5 α

α = e²^iπ^⁄⁵ B b_{r s}_, = α⁽^r^–¹⁾⁽^s^–¹⁾ 1≤r s, ≤5

B

1 1 1 1 1 1 α α²α³α⁴ 1α² α⁴ α α³ 1α³ α α⁴α² 1α⁴ α³α² α

=

CI⁵ (e₁, , ,e₂ … e₅)

v CI⁵ B u

A₅ A

X⁵–1

C XI[ ] a b

X⁵–1 = (X–1)(X²+aX+1)(X²+bX+1)

X⁵–1 IR X[ ]

2π ---5

cos 4π

---5 cos 5

B² B² A

(3)

Concours Centrale-Supélec 1999 II.D -

II.D.1) Déduire de ce qui précède que .

II.D.2) Soit une base de vecteurs propres de telle que

(Cf. I.D). Montrer que admet deux sous-espaces propres et les déterminer à l’aide des , . Montrer que ces sous-espaces propres sont stables par . II.D.3) Déterminer , , en fonction de , et . De même, déterminer et en fonction de et de . En déduire que est semblable à une matrice de la forme

où et sont respectivement des éléments de et de qu’on expli- citera.

On notera désormais et (avec ) les deux sous-espaces propres de .

II.E - Soit l’endomorphisme de défini par : , et l’endomorphisme de défini par : , .

II.E.1) Montrer que est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres.

II.E.2) Montrer que est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres.

II.E.3) Montrer que est diagonalisable et semblable à : uov = vou

u₁,u₂,…,u₅

( ) A u₁ = e₁

A

u_i 1≤ ≤i 5 v

v e( )₁ v e( ₂+e₅) v e( ₃+e₄) e₁ e₂+e₅ e₃+e₄ v e( ₂–e₅) v e( ₃–e₄) e₂–e₅ e₃–e₄ B

X 0

— - — 0 Y

X Y M³^{( )}^C^I M²^{( )}^C^I

E₁ E_–₁ e₁∈E₁ A

v₁ E₁ ∀x∈E₁ v₁( )x = v x( ) v₂ E_–₁ ∀x∈E_–₁ v₂( )x = v x( )

v₂ v₁ B

D

5 0 0 0 0

0 5 0 0 0

0 0 – 5 0 0

0 0 0 i 5 0

0 0 0 0 –i 5

=

(4)

Partie III -

Dans cette partie, désigne un entier supérieur ou égal à 1.

III.A - étant des nombres complexes, on note la matrice :

et

III.A.1) Montrer que :

III.A.2) En déduire la valeur de . III.B -

III.B.1) En utilisant par exemple la matrice (définie au II.E.3), montrer qu’il existe un endomorphisme , ayant toutes ses valeurs propres distinctes, véri- fiant . On notera , , , , ses valeurs propres.

III.B.2) Soit un vecteur non nul de . On définit la suite par : Montrer qu’il existe un entier ( dépendant de ) tel que la famille

est libre et que la famille est liée.

III.B.3) Montrer qu’il existe des vecteurs pour lesquels , et caractériser ces vecteurs par leurs coordonnées dans une base de vecteurs propres de . Un tel vecteur étant choisi, montrer que

est une base de .

On notera les coordonnées de dans B. Donner la matrice de dans cette base. En identifiant deux expressions du polynôme caractéristi- que de donner l’expression des en fonction des .

••• FIN •••

n α₁,α₂, ,… α_n

( ) V_n

V_n

1 α₁ α₁² … α₁ⁿ^–¹ 1 α₂ α₂² … α₂ⁿ^–¹ M M M M M 1α_nα_n² … α_nⁿ^–¹

= ∆_n = det V_n

∀n≥2 ∆_n ∆_n_–₁ (α_n–α_i)

i=1 n–1

∏

×

=

∆_n

D g

g² = v µ₁ µ₂ µ₃ µ₄ µ₅

x CI⁵ gⁿ( )x

g⁰( )x =x et pour n≥1, gⁿ( )x = g g( ⁿ^–¹( )x) = gogⁿ^–¹( )x

p≤4 p x

g^k( )x

( )0≤ ≤k p (g^k( )x )0≤ ≤k p+1

x p = 4

ε₁, , , ,ε₂ ε₃ ε₄ ε₅

( )

g x

B ⁼ ^{( x g x}^, ^{( )}^,^g²^{( )}^x^,^g³^{( )}^x^,^g⁴^{( ))}^x ^C^I⁵

a₀, , , ,a₁ a₂ a₃ a₄

( ) g⁵( )x

g

g a_i µ_j