D288 – Incursion en Ovalie(1) [*** à la main]
Dans un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle (Γ), on trace les points M et N milieux respectifs des côtés BC et AD. Les diagonales AC et BD se rencontrent en un point P.Ce dernier se projette en E sur la droite AB et en F sur la droite CD. Les droites BF et CE se rencontrent en un point Q.
Démontrer que les droites(1) MN et PQ sont parallèles entre elles tout en étant perpendiculaires à la droite EF.
(¹) telles des poteaux de rugby
Solution proposée par Bernard Vignes
On démontre d'abord que PQ est perpendiculaire à EF puis que MN est perpendiculaire à EF. Le parallélisme de MN et de PQ en découle.
1) PQ est perpendiculaire à EF
2) MN est perpendiculaire à EF
La perpendiculaire (Δ) à la droite EF passant par P coupe cette dernière au point X. La perpendiculaire issue de E à la droite BF coupe celle-ci au point Y et la droite (Δ) au point R tandis que la perpendiculaire issue de F à la droite CE coupe celle-ci au point Z et la droite (Δ) au point R'.
Les triangles EPR et BEF sont semblables car leurs côtés pris 2 à 2 sont perpendiculaires entre eux. On a donc PR/EF = EP/BE.
De la même manière la similtude des triangles FPR' et CFE entraine PR'/EF = FP/CF.
Dans le quadrilatère inscriptible ABCD, les triangles APB et DPC sont semblables car tous leurs angles pris 2 à 2 sont égaux.
Il en est de même des triangles PFC et PEB.D'où FP/CF = EP/BE.
Il en résulte que PR/EF = EP/BE = FP/CF = PR'/EF. Les points R et R' sont confondus.
Le point R étant l'orthocentre du triangle EFQ, la droite RQ est perpendiculaire à EF. Les points P,Q et R sont alignés et la droite PQ est bien perpendiculaire à EF.
Soient K et L les milieux des segments PA et PD.
N étant milieu de AD, on a LN = AP/2 et KN = PD/2.
Les triangles APE et PDF étant rectangles par construction, on a les égalités: EK = AP/2 = LN et FL=PD/2= KN.
Par ailleurs on a les relations d'angles :
EKN = AKE + AKN = 180° ‒2BAC + APD
FLN = DLF + DLN = 180° ‒ 2 BDC + APD.
Comme BAC =BDC, il en résulte queEKN = FLN.
Les deux triangles EKN et NLF sont isométriques.
D'où : NE = NF.
De la même manière on démontre que ME = MF.
Les triangles NEM et NFM sont isométriques et sont symétriques l'un de l'autre par rapport à MN.
MN est donc perpendiculaire à EF.
Les poteaux de rugby sont représentés dans la figure unique ci-dessous:
