1) PQ est perpendiculaire à EF 2) MN est perpendiculaire à EF La perpendiculaire (Δ) à la droite EF passant par P coupe cette dernière au point X

D288 – Incursion en Ovalie⁽¹⁾ [*** à la main]

Dans un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle (Γ), on trace les points M et N milieux respectifs des côtés BC et AD. Les diagonales AC et BD se rencontrent en un point P.Ce dernier se projette en E sur la droite AB et en F sur la droite CD. Les droites BF et CE se rencontrent en un point Q.

Démontrer que les droites⁽¹⁾ MN et PQ sont parallèles entre elles tout en étant perpendiculaires à la droite EF.

(¹⁾ telles des poteaux de rugby

Solution proposée par Bernard Vignes

On démontre d'abord que PQ est perpendiculaire à EF puis que MN est perpendiculaire à EF. Le parallélisme de MN et de PQ en découle.

1) PQ est perpendiculaire à EF

2) MN est perpendiculaire à EF

La perpendiculaire (Δ) à la droite EF passant par P coupe cette dernière au point X. La perpendiculaire issue de E à la droite BF coupe celle-ci au point Y et la droite (Δ) au point R tandis que la perpendiculaire issue de F à la droite CE coupe celle-ci au point Z et la droite (Δ) au point R'.

Les triangles EPR et BEF sont semblables car leurs côtés pris 2 à 2 sont perpendiculaires entre eux. On a donc PR/EF = EP/BE.

De la même manière la similtude des triangles FPR' et CFE entraine PR'/EF = FP/CF.

Dans le quadrilatère inscriptible ABCD, les triangles APB et DPC sont semblables car tous leurs angles pris 2 à 2 sont égaux.

Il en est de même des triangles PFC et PEB.D'où FP/CF = EP/BE.

Il en résulte que PR/EF = EP/BE = FP/CF = PR'/EF. Les points R et R' sont confondus.

Le point R étant l'orthocentre du triangle EFQ, la droite RQ est perpendiculaire à EF. Les points P,Q et R sont alignés et la droite PQ est bien perpendiculaire à EF.

Soient K et L les milieux des segments PA et PD.

N étant milieu de AD, on a LN = AP/2 et KN = PD/2.

Les triangles APE et PDF étant rectangles par construction, on a les égalités: EK = AP/2 = LN et FL=PD/2= KN.

Par ailleurs on a les relations d'angles :

EKN = AKE + AKN = 180° ‒2BAC + APD

FLN = DLF + DLN = 180° ‒ 2 BDC + APD.

Comme BAC =BDC, il en résulte queEKN = FLN.

Les deux triangles EKN et NLF sont isométriques.

D'où : NE = NF.

De la même manière on démontre que ME = MF.

Les triangles NEM et NFM sont isométriques et sont symétriques l'un de l'autre par rapport à MN.

MN est donc perpendiculaire à EF.

Les poteaux de rugby sont représentés dans la figure unique ci-dessous: