Universit´e Paris Diderot Alg`ebre
Licence de Math´ematiques Ann´ee 2014-15
A. Prout´e, L. Merel
EXAMEN du 12 Janvier 2015
Dur´ee : 3h
Tout appareil ´electronique est interdit. Document autoris´e : une feuille manuscrite.
I
1. Factoriser le nombre 2015 en produit de facteurs premiers.
2. Soit G un groupe d’ordre 2015. Montrer qu’il ne poss`ede qu’un seul 13-sous-groupe de Sylow G13.
3. Montrer que G13 est cyclique. Combien G13 a-t-il de g´en´erateurs ? 4. Montrer que G op`ere sur G13 par conjugaison.
5. Montrer que l’orbite d’un g´en´erateur de G13 est form´ee de g´en´erateurs deG13, et donc que G op`ere sur les g´en´erateurs de G13.
6. Soith1 eth2 deux g´en´erateurs de G13. Montrer que les orbites deh1 eth2 pour l’action de G sont en bijection. Notons d le cardinal de ces orbites. En d´eduire que d divise 12.
7. En utilisant la formule des classes, montrer que d divise 2015. En d´eduire que d= 1.
8. Montrer que tout ´el´ement de G13 commute `a tout ´el´ement de G.
9. Montrer que le groupe quotientG/G13 est d’ordre 155. Indiquer un groupe non-ab´elien d’ordre 155.
10. Montrer qu’il existe un groupe non ab´elien d’ordre 2015. Montrer que tout groupe ab´elien d’ordre 2015 est cyclique.
II
Posons Z[i] ={a+ib∈C/a, b ∈Z} et Q[i] ={a+ib∈C/a, b∈Q}.
1. Montrer que Z[i] est un sous-anneau deC. Est-ce un anneau int`egre ?
2. Montrer que l’application Z[i]→Z[i] qui `az associe ¯z est un isomorphisme d’anneaux.
3. Posons, pour z ∈ C, N(z) = zz. Montrer qu’on a¯ N(zz0) = N(z)N(z0). En d´eduire que si z ∈Z[i]∗, on a N(z) = 1.
4. Montrer que l’ensemble Z[i]∗ des ´el´ements inversibles de Z[i] est {1,−1, i,−i}.
5. Montrer que Q[i] est un corps. Donner sans justifier un isomorphisme d’anneaux entre Q[i] et le corps des fractions de Z[i].
6. Donner un polynˆome irr´eductible sur Q qui est r´eductible surQ[i].
7. Donner les racines dans C du polynˆome X4+ 1.
8. Montrer que le polynˆome X4+ 1 est irr´eductible sur Q.
9. Est-il irr´eductible sur Q[i] ?
10. Indiquer un ´el´ement non inversible et non nul de l’anneau quotient Q[i][X]/(X4+ 1).
