ENS Lyon Analyse complexe
L3 2007-2008
TD 6
Exercice 1 [Z´eros d’un produit] Soit fn une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert U de C. On dit que le produit Q
fn converge normalement sur le compact K ⊂U si fn →1 uniform´ement surK, et si la suite an =fn−1 converge normalement sur K.
Montrer que si Q
nfn converge normalement sur tout compact de U, alors la limite f = Q
nfn est holomorphe dans U, et l’ensemble de ses z´eros est la r´eunion des ensembles des z´eros des fn, la multiplicit´e de chaque z´ero ´etant la somme de ses multiplicit´es comme z´ero pour les fn.
Exercice 2 Soit (λk)k≥1 une suite de nombres complexes. On se demande s’il existe une fonction enti`ere sur C dont les z´eros sont exactement les λk, compt´es avec multiplicit´e.
1. Que dire si la suite (λk) est born´ee ? Si |λk| 6→+∞? 2. On suppose que tous les λk sont non nuls, et queP
1/|λk|converge. Montrer que f(z) =
∞
Q
k=1
(1−z/λk) r´esoud le probl`eme.
3. On suppose maintenant que tous les λk sont non nuls, et |λk| → +∞. On pose Ek(z) = exp(z/λk +z2/2λk2 +· · ·+zk/kλkk). Montrer que la suite des fonctionsfk(z) = (1−z/λk)Ek(z) v´erifie les conditions de l’exercice pr´ec´edent.
En d´eduire que la fonctionf(z) =
∞
Q
k=1
(1−z/λk)Ek(z) r´esoud le probl`eme.
4. Donner une solution du probl`eme quand |λk| →+∞.
On suppose donn´ee une solution f du probl`eme lorsque |λk| → +∞. Que dire de la singularit´e de f en ∞?
Exercice 3 [La fonction ζ : d´efinition] Montrer que la s´erie ζ(s) = P
n≥1 1 ns
converge pour touts ∈C tel que Re(s)>1. Montrer que cette formule d´efinit une fonction analytique sur le demi-planP = Re(s)>1.
Que vaut lims7→1ζ(s) ? lims7→1(s−1)ζ(s) ?
Exercice 4 Montrer que sur le demi-plan P = Re(s)>1, on a
ζ(s) = Y
ppremier
(1−p−s)−1
Montrer que ζ ne s’annule pas sur P.
1
Exercice 5 [Prolongement analytique] Montrer que pour tout s ∈ P, on a n−sΓ(s) =R+∞
0 e−ntts−1dt.
En d´eduire que Γ(s)ζ(s) =R∞ 0
ts−1 et−1dt.
Soit γ le contour suivant (avecr < π) :
On d´efinit la fonction f par f(s) =R
γ (−z)s
ez−1dz (on a pos´e (−z)s = eslog(−z), log
´etant la d´etermination usuelle du logarithme surC\R−). Montrer que f(s) est bien d´efinie pour tout s∈C et que f est une fonction enti`ere.
V´erifier que pour tout s∈P on a f(s) = (eiπs−e−iπs)R+∞
0
ts−1 et−1dt.
Montrer que pour touts ∈P on a ζ(s) = Γ(s)1 2isin(πs)1 f(s) = Γ(1−s)2iπ f(s).
En d´eduire que ζ se prolonge en une fonction holomorphe sur C\ {1}, qui a un pˆole simple en 1.
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