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Montrer que f(z

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

ENS Lyon Analyse complexe

L3 2007-2008

TD 6

Exercice 1 [Z´eros d’un produit] Soit fn une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert U de C. On dit que le produit Q

fn converge normalement sur le compact K ⊂U si fn →1 uniform´ement surK, et si la suite an =fn−1 converge normalement sur K.

Montrer que si Q

nfn converge normalement sur tout compact de U, alors la limite f = Q

nfn est holomorphe dans U, et l’ensemble de ses z´eros est la r´eunion des ensembles des z´eros des fn, la multiplicit´e de chaque z´ero ´etant la somme de ses multiplicit´es comme z´ero pour les fn.

Exercice 2 Soit (λk)k≥1 une suite de nombres complexes. On se demande s’il existe une fonction enti`ere sur C dont les z´eros sont exactement les λk, compt´es avec multiplicit´e.

1. Que dire si la suite (λk) est born´ee ? Si |λk| 6→+∞? 2. On suppose que tous les λk sont non nuls, et queP

1/|λk|converge. Montrer que f(z) =

Q

k=1

(1−z/λk) r´esoud le probl`eme.

3. On suppose maintenant que tous les λk sont non nuls, et |λk| → +∞. On pose Ek(z) = exp(z/λk +z2/2λk2 +· · ·+zk/kλkk). Montrer que la suite des fonctionsfk(z) = (1−z/λk)Ek(z) v´erifie les conditions de l’exercice pr´ec´edent.

En d´eduire que la fonctionf(z) =

Q

k=1

(1−z/λk)Ek(z) r´esoud le probl`eme.

4. Donner une solution du probl`eme quand |λk| →+∞.

On suppose donn´ee une solution f du probl`eme lorsque |λk| → +∞. Que dire de la singularit´e de f en ∞?

Exercice 3 [La fonction ζ : d´efinition] Montrer que la s´erie ζ(s) = P

n≥1 1 ns

converge pour touts ∈C tel que Re(s)>1. Montrer que cette formule d´efinit une fonction analytique sur le demi-planP = Re(s)>1.

Que vaut lims7→1ζ(s) ? lims7→1(s−1)ζ(s) ?

Exercice 4 Montrer que sur le demi-plan P = Re(s)>1, on a

ζ(s) = Y

ppremier

(1−p−s)−1

Montrer que ζ ne s’annule pas sur P.

1

(2)

Exercice 5 [Prolongement analytique] Montrer que pour tout s ∈ P, on a n−sΓ(s) =R+∞

0 e−ntts−1dt.

En d´eduire que Γ(s)ζ(s) =R 0

ts−1 et−1dt.

Soit γ le contour suivant (avecr < π) :

On d´efinit la fonction f par f(s) =R

γ (−z)s

ez−1dz (on a pos´e (−z)s = eslog(−z), log

´etant la d´etermination usuelle du logarithme surC\R). Montrer que f(s) est bien d´efinie pour tout s∈C et que f est une fonction enti`ere.

V´erifier que pour tout s∈P on a f(s) = (eiπs−e−iπs)R+∞

0

ts−1 et−1dt.

Montrer que pour touts ∈P on a ζ(s) = Γ(s)1 2isin(πs)1 f(s) = Γ(1−s)2iπ f(s).

En d´eduire que ζ se prolonge en une fonction holomorphe sur C\ {1}, qui a un pˆole simple en 1.

2

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