Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee universitaire 2012/2013
Licence Sciences et Technologies Unit´e LM367
Examen du 27 mai 2013 Question de cours
1) Donner un ´enonc´e du principe du maximum.
2) Soit a ∈C, r > 0 et soit f une fonction holomorphe sur un ouvert contenantD(a, r).
Donner la formule exprimant f(n)(a) en terme d’une int´egrale sur le chemin∂D(a, r).
Exercice 1.
1) Soit f: C → C une fonction enti`ere non constante. Montrer que f(C) est dense dans C.
2) Soit a ∈ C, r > 0 et g ∈ O(D(a, r)r{a}) une fonction admettant une singularit´e essentielle en a, et soitf une fonction enti`ere non constante. Montrer quef◦g admet en a une singularit´e essentielle.
Exercice 2. Soit a un r´eel strictement positif. Calculer Z +∞
−∞
cosax
(x2+x+ 1)2dx.
Indication. On pourra commencer par calculer Z +∞
−∞
eiax
(x2+x+ 1)2dx.
Exercice 3. On note H = {z ∈ C, Im(z) > 0}. Soit f une fonction continue sur H = {z ∈ C, Im(z) ≥ 0}, et holomorphe sur H. On suppose que pour tout z ∈ R,
|f(z)| ≤1 et que pour tout z ∈H, |f(z)| ≤2013.
Montrer que pour tout z∈H, |f(z)| ≤1.
Indication : on pourra par exemple consid´erer la fonction fε d´efinie sur H par fε(z) = if(z)
εz+i.
