Montrer que pour toutz∈C∗,f(z

TSI 1 DS Lycée Les Lombards

DS 5 : samedi 9 janvier 2021 Soin et rédaction : 4 points.

Calculatrices interdites.

Exercice 1. 8 points.

Soit (O,~i,~j) un repère orthonormé direct du plan. On appelle inversion de centreOl’application f :







C^∗→C^∗ z7→ _|z|^z2

1. Montrer que pour toutz∈C^∗,f(z) = ¹_¯z.

2. Montrer quef est involutive, c’est-à-dire que pour toutz∈C^∗,f(f(z)) =z. En déduire quef est bijective (on pourra par exemple montrer que f est surjective puis quef est injective).

3. Déterminer les complexesz∈C^∗tels quef(z) =z. Donner une interprétation géométrique de ce résultat.

4. Siz=x+iy∈C^∗, on notef(z) =X+iY. (a) ExprimerX et Y en fonction dexety.

(b) Montrer queX²+Y²=_x2+y^{1 2}.

(c) Exprimerxet yen fonction deX et Y. (d) Déterminerf⁻¹.

Exercice 2. 8 points.

Soitf la fonction définie parf(x) = arcsin

1−x 1+x

. On note Cf sa courbe représentative.

1. Déterminer l’ensemble de définition def. 2. Déterminer l’ensemble de dérivabilité de f.

3. Déterminer la dérivée def.

4. Que vaut lim_x→0⁺f⁰(x) ? Interpréter ceci graphiquement.

5. Déterminer l’équation de la tangenteT àCf au point d’abscisse 1.

6. Déterminer les limites def aux bornes de son ensemble de définition.

7. Dresser le tableau de variations complet def.

8. Tracer la courbe représentative de f ainsi que la tangente T. 9. Montrer que pour toutx≥0, on af(x) =^π₂ −2 arctan(√

x).

Exercice 3. 8 points.

On considère un jeu de 52 cartes réparties en 4 couleurs (trèfles, coeur, pique et carreau). Chacune de ces couleurs est constituée de 13 hauteurs : du 2 au 10, dame, roi, as, valet.

Dans un jeu de 52 cartes, on choisit simultanément 5 cartes. Ces cinq cartes sont appelées une « main ».

1. Déterminer le nombre de mains possibles.

2. Déterminer le nombre de mains qui contiennent au moins un trèfle.

On appelle

— « paire » un ensemble de deux cartes de la même hauteur

— « brelan » un ensemble de trois cartes de la même hauteur

— « carré » un ensemble de quatre cartes de la même hauteur 3. Déterminer le nombre de mains qui contiennent un carré.

4. Déterminer le nombre de mains qui contiennent un brelan d’as (sans contenir un carré).

5. Déterminer le nombre de mains qui contiennent un « full »(un brelan et une paire de deux hauteurs différentes).

6. Déterminer le nombre de mains qui contiennent une double paire (deux paires de hauteurs différentes, sans brelan).

7. Déterminer le nombre de « quintes »(5 cartes qui se suivent).

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8. Déterminer le nombres de « couleurs »(cinq cartes de la même couleur).

Exercice 4Soient n et p deux entiers naturels non nuls. Déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de [[1, p]] dans [[1, n]]

Exercice 5. 6 points.

Résoudre les équations suivantes : 1. sin²(4x) = ³₄

2. 3 sin²x−cos²(x) = 2 3. 2 cos²x= 6−9 sinx

Dans chaque cas, on donnera l’ensemble des solutions, puis on représentera les images solutions sur le cercle trigonométrique. Enfin on donnera les solutions appartenant à l’intervalle [0; 2π].

Exercice 6. 8 points. Un calcul de somme.

Soientn≥2 etf la fonction définie surRparf(x) = (1 +x)ⁿ.

1. Justifier quef est dérivable surRet déterminer l’expression algébrique de f⁰(x).

2. Soitx∈R. Développerf(x) en utilisant la formule du binôme de Newton. En dérivant chaque terme de la somme, en déduire une autre expression def⁰(x).

3. En prenantx= 1 dans les deux expressions montrer que

n

X

k=1

n k

k=n2ⁿ⁻¹

4. Montrer quef⁰ est dérivable surRet calculerf⁰⁰(x) pour toutx∈Rde deux manières différentes.

5. Déduire de la question précédente que

n

X

k=2

n k

k(k−1) =n(n−1)2ⁿ⁻² 6. En déduire que

n

X

k=1

n k

k²=n(n+ 1)2ⁿ⁻²

Indication : On pourra remarquer que

n

X

k=2

n k

k(k−1) =

n

X

k=1

n k

k(k−1) Exercice 7. 8 points.

On appelle exponentielle complexe dez=a+ib∈Cle nombre complexe, notée^z, et défini pare^z=e^ae^ib. 1. Montrer que, pour toutz∈C,e^z6= 0

2. Démontrer les propriétés suivantes : (a) Pour tousz, z⁰∈C, e^z+z0 =e^ze^z0 (b) Pour tousz, z⁰∈C, e^z−z0 = _e^e_z^z0

(c) Pour toutz∈C,e^z¯=e^z

3. Quel est le module dee^z? Donner un agument dee^z. 4. A quelle condition surz etz⁰ a-t-one^z=e^z0? 5. Résoudre dansCles équations suivantes :

(a) e^z=−4 (b) e^z= 2 + 2i

(c) e^z=i

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