ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 7 18 mars 2013
Exercice I.
On considère la fonction dénie surR parf(x) = 1 5 +e−2x.
1. Montrer que f est une bijection deRsur un intervalleJ à déterminer, et exprimerf−1. 2. Calculer f−10
. Exercice II.
On considère la fonction f dénie sur Rpar f(x) =
1
2x2+x3 si x≥0 e1x si x <0 1. Calculer f(0).
2. Justier brièvement la continuité de f surR∗+ etR∗−. 3. Montrer que f est continue en0.
4. Quel est le plus grand entier ktel que f soit de classe Ck surR? Justier.
5. Sur quel ensemble f est-elle de classeC∞? Justier.
6. Montrer que f est convexe surR+. 7. Etudier la convexité de f sur R−. Questions supplémentaires.
1. Une fonction convexe sur un intervalle]a;b[est-elle nécessairement dérivable sur ]a;b[? Développer.
2. Une fonction convexe sur un intervalle]a;b[est-elle nécessairement continue sur]a;b[? Développer.
Comme d'habitude, si vous pensez que la réponse est négative, un contre-exemple est susant, alors que si la réponse est armative, il faut le démontrer dans le cas général.
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