(b) Montrer que U est une bijection

S3 MIMP 2008-2009

M202.MIMP ´El´ements de calcul diff´erentiel Responsable: S. De Bi`evre

Feuille d’exercices 6 Diff´erentielles et d´eriv´ees partielles secondes

Exercice 1

Calculer les diff´erentielles suivantes, sans calculer des d´eriv´ees partielles, en utilisant les propri´et´es des diff´erentielles de sommes, produits et compos´ees:

(a) d (ln(xy)) (b) d¡

sin(x²y)e^x−y¢

(c) d (xyz(1 + sinh(yz)))

Exercice 2

(a) Y a-t-il une fonctiong:R²→R telle que dg=x²y²dx+x³ydy?

(b) Trouver les fonctionsb:R²→Rtelle qu’il existeg:R² →Rsatisfaisant dg=x²y²dx+b(x, y)dy.

D´eterminer, pour chaque telle fonctionb la fonctiong.

Exercice 3

Soit g : R^+∗ ×R^+∗ → R² une fonction telle que g(0) = 0 et dont la diff´erentielle vaut

dg= (2xy+y²)dx+ (x²+ 2xy)dy. (1) SoitU : (x, y)∈R^+∗×R^+∗ →(U₁(x, y), U₂(x, y)))∈R^+∗×R^+∗ avec

U₁(x, y) =x²y, U₂(x, y) =xy². (a) Calculer dU₁+ dU₂.

(b) Montrer que U est une bijection. (On pourra calculer explicitement U⁻¹.)

(c) Montrer sans autre calcul `a partir de (a) et (1) que (g◦U⁻¹)(u, v) =u+v.

(d) D´eterminer explicitement d(g◦U⁻¹), puisg.

Exercice 4

Calculer les matrices Hessiennes des fonctionsf d´efinies par les expressions suivantes sur leur domaine de d´efinition naturel:

sin(xyz), sin²(y/x).

Exercice 5

Le but de cet exercice est de calculer “le Laplacien en coordonn´ees polaires.”

Mˆeme si vous ne comprenez pas cette phrase, vous pourrez tout de mˆeme faire l’exercice.

Soit f : (x, y) ∈R²\ {(0,0)} →f(x, y) ∈R de classe C². On d´efinit, pour toutr ∈]0,+∞[, θ∈]0,2π[,

F(r, θ) =f(rcosθ, rsinθ).

On pourra dire que F est l’expression de f en coordonn´ees polaires. Nous allons montrer que

∂²f

∂x²(x, y) + ∂²f

∂y²(x, y) = ∂²F

∂r² (r, θ) +1 r

∂F

∂r(r, θ) + 1 r²

∂²F

∂θ²(r, θ).

Pour y arriver, suivez le guide:

(a) Montrer que

∂²F

∂r² +1 r

∂F

∂r = 1 r

∂

∂rr ∂

∂rF.

(b) Montrer que

r∂F

∂r =x∂f

∂x+y∂f

∂y. (c) Montrer que

∂F

∂θ =x∂f

∂y −y∂f

∂x

(d) Utiliser ces r´esultats, puis calculer encore un peu pour obtenir le r´esultat souhait´ee.

Exercice 6

On souhaite trouver la solution g´en´erale de “l’´equation des ondes”, `a savoir

∂²f

∂x²(x, t)−∂²f

∂t²(x, t) = 0, ∀(x, t)∈R². (2) On veut donc trouver toutes les fonctionsf :R²→R² qui satisfont (2).

(a) Consid´eronsF(u, v) =f(^u−v₂ ,^u+v₂ ).Montrer que f est solution de (2) si et seulement si

∂²F

∂u∂v(u, v) = 0, (3)

pour tout (u, v)∈R².

(b) Montrer que, siF satisfait (3), alors il existe deux fonctionsg₁, g₂ :R→ Rtelles que

F(u, v) =g₁(u) +g₂(v).

(c) ´Ecrire la solution g´en´erale de (2) et expliquer la phrase: “En une di- mension d’espace, toute solution de l’´equation des ondes s’´ecrit comme la somme d’une onde qui se d´eplace vers la droite et une qui se d´eplace vers la gauche.”

(d) Trouver l’unique solution de l’´equation des ondes satisfaisant les condi- tions initiales

f(x,0) = sinx,∂f

∂t(x,0) =−cosx.