Résolution Analyse z ' où : z un nombre complexe. Déterminer le module et l’argument du nombre complexe Soit

(1)

PanaMaths

[1 - 4]

Janvier 2010

Soit z un nombre complexe.

Déterminer le module et l’argument du nombre complexe ' z où :

' cos sin

3 3

z z

^⎛

π i π

^⎞

z

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − +

Analyse

On peut procéder de diverses façons (après avoir rapidement traité le cas évident z=0) : soit en travaillant avec la forme trigonométrique du complexe z, soit en utilisant sa forme

exponentielle. Nous développons ces deux approches, la seconde étant moins calculatoire mais requérant une certaine aisance dans la manipulation des exponentielles complexes.

Résolution

Si z est le complexe nul, on a immédiatement 'z =0 et, de fait z' =0, l’argument de z' n’étant, par ailleurs, pas défini.

Nous supposons désormais 'z ≠0.

Pour « alléger » un peu les écritures, nous allons poser : ρ= z et θ =argz.

1

^ère

approche : utilisation de la forme trigonométrique de z.

Ici, on a : ^z⁼^ρ

(

^cos^θ⁺ⁱ^sin^θ

)

et il vient :

( ) ( )

( )

' cos sin cos sin cos sin

3 3

cos sin cos sin cos sin

3 3

cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos

3 3 3 3

cos sin cos sin

3 3

z i i i

i i i

i i

π π

ρ θ θ ρ θ θ

π π

ρ θ θ θ θ

π π π π

ρ θ θ θ θ θ θ

π π

ρ θ θ θ θ

⎛ ⎞

= + −⎜⎝ + ⎟⎠ −

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

= ⎢⎣ + −⎜⎝ + ⎟⎠ − ⎥⎦

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤

= ⎢⎣ + −⎜⎝ + ⎟⎠− −⎜⎝ + ⎟⎠⎥⎦

⎛ ⎞ ⎛

= + − ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎝ −

cos cos sin sin

3 i 3

π π

ρ θ θ θ θ

⎡ ⎛ ⎞⎞⎤

⎢ ⎜⎝ ⎜ ⎟⎠⎟⎠⎥

⎣ ⎦

⎡⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞⎤

= ⎢⎣⎜⎝ − ⎜⎝ − ⎟⎠⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎜⎝ − ⎟⎠⎟⎠⎥⎦

(2)

PanaMaths

[2 - 4]

Janvier 2010

On utilise alors les deux relations trigonométriques :

cos cos 2 sin sin

2 2

p q p q

p− q= − + −

Et :

sin sin 2 cos sin

2 2

p q p q

p− q= + −

Il vient :

' cos cos sin sin

3 3

3 3 3 3

2sin sin 2 cos sin

2 2 2 2

2sin sin 2 cos sin

6 6 6 6

2 sin

z i

i

π π

ρ θ θ θ θ

π π π π

θ θ θ θ θ θ θ θ

ρ

π π π π

ρ θ θ

ρ θ

⎡⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞⎤

= ⎢⎣⎜⎝ − ⎜⎝ − ⎟⎠⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎜⎝ − ⎟⎠⎟⎠⎥⎦

⎡ +⎛⎜ − ⎞⎟ −⎛⎜ − ⎞⎟ +⎛⎜ − ⎞⎟ −⎛⎜ − ⎞⎟⎤

⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥

⎢ ⎥

= − +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤

= ⎢⎣− ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠⎥⎦

= − sin cos

6 6 6

2 sin cos sin

6 6 2 6 2

2 2

2 sin cos sin

6 3 3

i

π π π

π π π π π

ρ θ

π π π

ρ θ

⎛ ⎞ ⎡− + ⎤

⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠⎢⎣ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠⎥⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎜⎠⎝ + ⎟⎠

A ce stade, il serait tentant de conclure … Mais il convient de ne pas se précipiter ! En effet, il convient de discuter suivant le signe de sin

6 θ π

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠.

1^er cas : sin 0 6 θ π

⎛ − ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

On a donc :

6 k

θ− =π π avec k∈]. Soit : arg

z= +π6 kπ avec k∈]. Dans ce cas, 'z =0. Son module est nul et son argument n’est pas défini.

2^ème cas : sin 0 6 θ π

⎛ − ⎞>

⎜ ⎟

⎝ ⎠

On a donc : ² ^{; 2}

(

¹

)

6 k k

θ− ∈π ⎤⎦ π + π⎡⎣ avec k∈]. Soit : ^arg ² ^;

(

² ¹

)

6 6

z∈⎤⎥⎦π + kπ π + k+ π⎡⎢⎣ avec k∈].

(3)

PanaMaths

[3 - 4]

Janvier 2010

Dans ce cas, on a : 2

arg '

z = 3π et ' 2 sin arg

z = z ⎛⎜⎝ z−π6⎞⎟⎠.

3^ème cas : sin 0 6 θ π

⎛ − ⎞<

⎜ ⎟

⎝ ⎠

On a donc :

(

² ¹

)

^{; 2}

6 k k

θ− ∈π ⎤⎦ − π π⎡⎣ avec k∈]. Soit : ^arg

(

² ¹

)

^; ²

6 6

z∈^⎤⎥⎦π + k− π π + kπ^⎡⎢⎣ avec k∈].

Dans ce cas, on a :

2 2

' 2 sin cos sin

6 3 3

2 2

2 sin cos sin

6 3 3

5 5

2 sin cos sin

6 3 3

z i

i

π π π

ρ θ

π π π

ρ θ π π

π π π

ρ θ

⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⎜⎝ − ⎟⎜⎠⎝− − ⎟⎠

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⎜⎝ − ⎟⎠⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠⎟⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⎜⎝ − ⎟⎜⎠⎝ + ⎟⎠

D’où : 5

arg ' z ₌ 3π

et ' 2 sin arg z _{= −} z _⎛ z₋π6_⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠.

2

^ème

approche : utilisation de la forme exponentielle de z.

On pose donc cette fois : z=ρeⁱ^θ. En tenant compte de : cos sin ³

3 3

i ei

π ₊ π ₌ π

, il vient :

3 3 3

' cos sin

3 3

i i i

i i i i i

z z i z e e e e e e e e

π π π θ

θ θ θ θ θ

π π ρ ρ ⁻ ρ^⎛ ⁻ ^⎞ ρ^⎛ ^⎛^⎜^⎝ ⁻ ^⎞^⎟^⎠^⎞

⎛ ⎞

= −⎜⎝ + ⎟⎠ = − = ⎜⎝ − ⎟⎠= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠

L’expression entre parenthèses est une différence d’exponentielles complexes et permet

« classiquement » de faire apparaître un sinus en mettant en facteur l’exponentielle complexe dont l’argument est égal à la moyenne des deux arguments, soit ici : 1

2 3 6

π π

θ θ

⎡ +⎛⎜ − ⎞⎟⎤=

⎢ ⎝ ⎠⎥

⎣ ⎦ .

(4)

PanaMaths

[4 - 4]

Janvier 2010

Il vient alors :

3 6 6 3 6 6 6 3 6

6 6 6 6

6 6 6

'

2 si

i i i i i i i i

i i

i i i i

i i i

z e e e e e e e e e e

e e e e e e e i

π θ π π π θ π π θ π π θ π

θ θ

π π π π

π θ θ π θ θ π

ρ ρ ρ

⎛ − ⎞ − ⎛ − ⎞ − ⎛ − ⎞ ⎛ − − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ −⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠= ×

4

6 6 2 6

2 3

n 6

2 sin 2 sin 2 sin

6 6 6

2 sin 6

i i i i

i

e i e e e

e

π π π π

π

θ π

π π π

ρ θ ρ θ ρ θ

ρ θ π

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠ × = ⎜⎝ − ⎟⎠ × = ⎜⎝ − ⎟⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠

On retrouve l’expression précédente de z' avec

2 i3

e

π

en lieu et place de 2 2

cos sin

3π ₊i 3π . La suite est identique à ce que nous avons fait plus haut.

Résultat final

Pour tout complexe z, on a, en posant ' cos sin

3 3

z _{= −}z _⎛ π ₊i π _⎞z

⎜ ⎟

⎝ ⎠ :

• Si z=0 ou arg

z= +π6 kπ (avec k∈]), alors 'z =0 et z' =0.

• Si ^arg ² ^;

(

² ¹

)

6 6

z∈^⎤⎥⎦π + kπ π + k+ π^⎡⎢⎣ (avec k∈]), alors 2 arg '

z ₌ 3π et ' 2 sin arg

z = z ⎛⎜⎝ z−π6⎞⎟⎠.

• Si ^arg

(

² ¹

)

^; ²

6 6

z∈^⎤⎥⎦π + k− π π + kπ^⎡⎢⎣ (avec k∈]), alors 5 arg '

z ₌ 3π et ' 2 sin arg

z = − z ⎛⎜⎝ z−π6⎞⎟⎠.