Master 1 EADM Capes Externe
2011 - 2012 Epreuve sur dossier
DOSSIER Alg 8
Thème : Nombres complexes
L’exercice proposé au candidat
On considère l’application f qui à tout nombre complexe z associe le nombre complexe f (z) défini par : f (z) = ey
(
cos( x) + i sin( x) , où x et y désignent respectivement la partie réelle et)
la partie imaginaire de z.
1) Placer dans le plan muni d’un repère orthonormé les points d’affixes f (i), f (1 + i) et f (1 − i).
2) Démontrer que pour tout couple (z, z′) ∈ IC2 et pour tout entier n ∈ Z, on a : f (z + z′) = f (z) f (z′) et f (n z) =
(
f (z))
n.3) Démontrer que, pour tout nombre complexe z, le nombre complexe f (z) est non nul, puis déterminer le module et un argument de f (z).
4) Résoudre l’équation f (z) = i, puis l’équation f (z) = Z, où Z est un complexe donné.
5) a) Déterminer et construire l’ensemble
E
des points M du plan dont l’affixe z = x + i y vérifie les conditions |x| ≤ 12 et |y| 1.
b) Déterminer et construire l’ensemble des points d’affixe f (z) quand le point M d’affixe z parcourt l’ensemble
E
.La réponse d’un élève à la question 4
f (z) = i ey cos (x) + ey sin (x) = i, donc ey cos (x) = 0 et ey sin ( x) = 1, en égalant les parties réelles et imaginaires.
La première équation donne y = 0 et x =
2 , donc x = 1
2 et y = 0.
Quand on remplace dans l’autre équation, on trouve : 1 sin
2 = 1 : c’est vrai, donc la solution est z = 1
2 + i 0 = 1 2 .
f(z) = Z ey cos (x) + ey sin (x) = a + i b, si Z = a + i b.
Donc ey cos (x) = a et ey sin ( x) = b
ey cos (x) = a ey = a et x = 0, donc y = ln a et x = 0.
En reportant, on a : elna sin 0 = b, ce qui donne 0 = b.
Donc b est nul et la solution de l’équation est z = (ln a) i.
Le travail à exposer devant le jury
1. Quelles sont les connaissances et les compétences mises en jeu dans cet exercice ? 2. Analyser la réponse de l’élève à la question 4.
3. Présenter une correction de la question 5, comme vous le feriez devant une classe de Terminale S.
4. Proposer plusieurs exercices sur le thème « Nombres complexes ».
