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Soient p un nombre premier et f ∈ Z[X] un polynˆome

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Th´eorie des Nombres, Maˆıtrise Math´ematiques Paris VI Michel Waldschmidt

Exercices - Feuille J 5 Mai 2004

Exercice J1. Soient n etd deux entiers satisfaisant

2d+1 >(d+ 1)n(n+1)/2.

Montrer qu’il existe un polynˆome non nul P ∈Z[X] de degr´e ≤d, dont les coefficients sont 0, 1 ou −1, qui v´erifie

P(1) =P0(1) =· · ·=P(n−1)(1) = 0.

Exercice J2. Soient p un nombre premier et f ∈ Z[X] un polynˆome. Montrer que les deux conditions suivantes sont ´equivalentes.

(i) Pour tout a∈Z, f(a)≡0 (mod n).

(ii) Il existe deux polynˆomes g eth dans Z[X] tels que

f(X) = (Xp−X)g(X) +ph(X).

Exercice J3. Montrer que le nombre de polynˆomes unitaires deZ[X] de degr´en sans facteur carr´e est

1 pour n= 0,

p pour n= 1, pn−pn−1 pour n≥2.

http://www.math.jussieu.fr/∼miw/enseignement.html 1

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