par Michel Waldschmidt Universit ´e P. et M. Curie (Paris VI)

(1)

http ://www.cimpa-icpam.org/Francais/Cooperations/Ragaad.html

“Alg `ebre commutative -Codes correcteurs et Cryptographie”

RAGAAD Bamako, 23 novembre 2005

M ´ ETHODES DIOPHANTIENNES ET ALGORITHMES EFFECTIFS

par Michel Waldschmidt Universit ´e P. et M. Curie (Paris VI)

http ://www.math.jussieu.fr/∼miw

Equations Diophantiennes ´

Exemple : y

²

− x

³

= 1 Diophante : x = 2, y = 3

Fermat : chercher toutes les solutions

Euler : la seule solution (x, y) de l’ ´equation y

²

− x

³

= ± 1 est (3, 2).

Avant 1900 : Hilbert et Hurwitz, Poincar ´e.

D ébut du XX è si ècle : Thue. Lien avec l’approximation diophantienne.

XX `e si `ecle : Gel’fond. Lien avec la transcendance.

Soit κ dans l’intervalle 0 < κ ≤ 3.

Les deux conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) Il existe c

1

> 0 tel que

! !

³

√ 2 − p q

! !

! ! ≥ c

1

q

^κ

pour tout p/q ∈ Q.

(ii) Il existe c

2

> 0 tel que

| x

³

− 2y

³

| ≥ c

2

x

³⁻^κ

pour tout (x, y) ∈ Z

²

avec x > 0.

M. Bennett : vrai avec κ = 2, 5 : Pour tout p/q ∈ Q,

! !

³

√ 2 − p q

! !

! ! ≥ 1 4 q

^2,5

· Pour tout (x, y) ∈ Z

²

avec x > 0,

| x

³

− 2y

³

| ≥ √ x.

R ´esultats ant ´erieurs :

Baker, Chudnovskii, Easton, Rickert, Voutier,. . .

(2)

Cas g én éral : soit α un nombre alg ébrique r éel de degr é d ≥ 3 et de polyn ôme minimal f ∈ Z[X], et soit F (X, Y ) = Y

^d

f (X/Y ) ∈ Z[X, Y ] le polyn ôme homog ène associ é. Soit 0 < κ ≤ d. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe c

1

> 0 tel que, pour tout p/q ∈ Q,

! !

! ! α − p q

! !

! ! ≥ c

1

q

^κ

· (ii) Il existe c

2

> 0 tel que, pour tout (x, y) ∈ Z

²

avec x > 0,

| F (x, y) | ≥ c

₂

x

^d⁻^κ

.

Questions d’effectivit ´e

J. Liouville, 1844 : c(α) > 0 explicite pour lequel

! !

! ! α − p q

! !

! ! ≥ c(α) q

^d

· A. Thue, 1910’s : existence de κ < d et de c(α) > 0 avec ! ! ! ! α − p

q

! !

! ! ≥ c(α) q

^κ

· Corollaire : nombre fini de solutions (x, y) ∈ Z

²

de l’ ´equation de Thue F (x, y) = k.

Majoration du nombre de solutions.

Finitude du nombre de solutions C.L. Siegel (1929) :

nombre fini de points entiers sur une courbe de genre

≥ 1 sur un corps de nombres.

Conjecture de Mordell, r ´esolue par G. Faltings (1983) :

nombre fini de points rationnels sur une courbe de genre ≥ 2 sur un corps de nombres.

Majoration explicite du nombre de solutions : G. R ´emond (2000).

Probl `eme ouvert : points entiers sur une courbe de genre2.

Transcendance de α

^β

1934. Solution par A.O. Gel’fond et Th. Schneider du septi `eme probl `eme de Hilbert.

A.O. Gel’fond : minorations de | α

^β₁

− α

2

| . Cas β ∈ Q : minorations de

| α

⁻₁^b¹^/b²

− α

2

|

| α

^b₁¹

− α

⁻₂^b²

|

| α

^b₁¹

α

^b₂²

− 1 | .

(3)

Liouville :

| α

^b₁¹

α

^b₂²

− 1 | ≥ exp {− c(α

1

, α

2

)B } avec B = max {| b

1

| , | b

2

|} .

Gel’fond :

| α

^b₁¹

α

^b₂²

− 1 | ≥ exp {− c(α

1

, α

2

)(log B)

²

} .

Liouville :

Soient α

1

, . . . , α

n

des nombres alg ´ebriques non nuls.

Il existe c = c(α

1

, . . . , α

n

) > 0 tel que, si b

1

, . . . , b

n

sont des entiers rationnels v ´erifiant α

^b₁¹

· · · α

^b_nⁿ

' = 1 et si B = max {| b

1

| , . . . , | b

n

|} , alors

! ! α

^b₁¹

· · · α

^b_nⁿ

− 1 ! ! ≥ e

⁻^cB

.

A.O. Gel’fond :

Soient α

1

, . . . , α

n

des nombres alg ´ebriques non nuls et soit $ > 0.

Il existe B

0

= B

0

(α

1

, . . . , α

n

, $) > 0 tel que, si b

1

, . . . , b

n

sont des entiers rationnels v ´erifiant α

^b₁¹

· · · α

^b_nⁿ

' = 1 et si B = max {| b

1

| , . . . , | b

n

| , B

0

} , alors

! ! α

^b₁¹

· · · α

^b_nⁿ

− 1 ! ! ≥ e

⁻^#B

.

D émonstration : utilise le th éor ème d’approximation de Thue-Siegel (+Roth-Schmidt) : non effectif.

Remarque de M. Mignotte.

A. Baker, N.I. Fel’dman :

Soient α

1

, . . . , α

n

des nombres alg ´ebriques non nuls.

Il existe c = c(α

₁

, . . . , α

n

) > 0 tel que, si b

1

, . . . , b

n

sont des entiers rationnels v ´erifiant α

^b₁¹

· · · α

^b_nⁿ

' = 1 et si B = max {| b

1

| , . . . , | b

n

| , 2 } ,

alors !

!α

^b₁¹

· · · α

^b_nⁿ

− 1 !

! ≥ B

⁻^c

.

La constante c est effective (et m ˆeme explicite dans

les travaux r ´ecents).

(4)

Application de la m ´ethode de Gel’fond-Baker

`a l’ ´equation de Siegel

Th ´eor `eme. Soient K un corps de nombres, Z

_K

son anneau d’entiers, Z

^×_K

son groupe des unit és, a et b deux él éments non nuls de K. Alors l’ équation

au + bv = 1

n’a qu’un nombre fini de solutions (u, v) dans (Z

^×_K

)

²

, et ces solutions peuvent être effectivement d étermin ées.

Corollaire. Soient K un corps de nombres, α

1

, . . . , α

m

des él éments de K, trois au moins d’entre eux étant distincts et soit k ∈ K

^×

. Alors il n’existe qu’un nombre fini de solutions (x, y) dans Z

²_K

de l’ ´equation

(x − α

₁

y) · · · (x − α

_m

y) = k,

et ces solutions peuvent être effectivement d étermin ées.

Autres équations diophantiennes r ésolues par cette m éthode : points entiers sur une courbe de genre 1 (Baker-Coates),

´equations elliptiques, hyperelliptiques, superelliptiques, . . .

Equation de Mordell : ´ (M) y

²

= x

³

+ k Equation elliptique ´

(E) y

²

= f(x), deg f = 3 Equation hyperelliptique : ´

(HE) y

²

= f (x), deg f ≥ 3 Equation superelliptique : ´

(SE) y

^m

= f (x), m ≥ 3, deg f ≥ 2 Equation de Thue : ´

(T) F (x, y) = k, F homog `ene Equation de Siegel : ´

(S) au + bv = 1

Conjecture de Pillai (1945) : pour tout k ∈ Z \ { 0 } , l’ ´equation x

^p

− y

^q

= k n’a qu’un nombre fini de solutions (x, y, p, q) en entiers x ≥ 1, y ≥ 1, p ≥ 2, q ≥ 2.

Enonc é équivalent à la conjecture de Pillai´ : dans la suite des puissances parfaitesa^b,b≥2,

1, 4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,81,100,121,125, . . . ,

la diff ´erence entre deux termes cons ´ecutifs tend vers l’infini.

Conjecture de Catalan (1844) r ´esolue par P. Mih ˘ailescu

en 2002 : l’ ´equation x

^p

− y

^q

= 1 a pour seule solu-

tion 3

²

− 2

³

= 1.

(5)

Conjecture de Hall (1971) :

| x

³

− y

²

| ≥ c max { x

³

, y

²

}

^1/6

.

Raffinement des conjectures de Hall et Pillai (avec S. Lang, 1978) :

| x

^p

− y

^q

| ≥ c($) max { x

^p

, y

^q

}

^κ⁻^#

avec

κ = 1 − 1 p − 1

q ·

Lien avec l’informatique th ´eorique : questions d’arrondis

M ´ethode de Gel’fond-Baker : minorations de

| e

^β⁰

α

^β₁¹

· · · α

^β_nⁿ

− 1 | . Cas particulier :

| e

^β

− α | avec α et β alg ´ebriques.

Cas α et β rationnels, ou m ˆeme entiers

| e

^b

− a |

Probl `eme de Mahler : pour a et b entiers positifs,

| e

^b

− a | > a

⁻^c

? Conjecture plus forte :

| e

^b

− a | > b

⁻^c

?

K. Mahler (1953, 1967), M. Mignotte (1974), Yu.V. Neste- renko+W (1996), F. Wielonsky (1997), S. Khemira (2005) :

| e

^b

− a | ≥ exp {− 1, 3 · 10

⁵

(log A)(log B) } o `u A = max { H(a), A

₀

} , B = max { H (b), 2 } .

Muller, J-M. ; Tisserand, A. –

Towards exact rounding of the elementary functions.

Alefeld, Goetz (ed.) et al.,

Scientific computing and validated numerics.

Proceedings of the international symposium on scientific computing, computer arithmetic and validated numerics SCAN-95, Wuppertal, Germany, September 26-29, 1995.

Berlin : Akademie Verlag. Math. Res. 90, 59-71 (1996).

Arithm ´etique des Ordinateurs,

Laboratoire de l’Informatique du Parall ´elisme Computer Arithmetic — Ar ´enaire project

http ://www.ens-lyon.fr/LIP/Arenaire/

(6)

Autres aspects de l’effectivit ´e en analyse Diophantienne

• Alg `ebre lin ´eaire : lemme de Siegel

• Analyse : lemme de Schwarz, approximants de Pad ´e

• Arithm étique : th éor ème de Dirichlet

• Alg èbre commutative : tests d’appartenance, th éor ème des z éros de Hilbert

• Topologie : densit ´e

• Courbes elliptiques : th ´eor `eme de Mordell-Weil