Universit´e P. & M. Curie

Universit´e P. & M. Curie

Math´ ematiques

L3-325

Examen du 15 D´ecembre 2008

(ni documents, ni appareils ´electroniques) Probl`eme

On se propose d’´etudier le sous-groupe G de S₇, groupe des permutations de 7 ´el´ements, en- gendr´e par les deux permutations

α= (1,2,5) (3,4,6) et

β = (1,7) (2,6)

La premi`ere partie I du probl`eme est form´ee dequestions ind´ependantesqui seront utilis´ees dans la partie II pour montrer que Gest un groupe simple d’ordre 168.Les questions II/ 3) et II/ 6) comportent des calculs ´el´ementaires mais longs. On peut admettre le r´esultat de II /3) pour faire les questions suivantes.

I

A/ a) Montrer que G est un sous-groupe de A₇, groupe altern´e. Quel est l’ordre de α, de β.

Calculer αβα⁻¹ puis u=αβα⁻¹β⁻¹. Montrer que u est d’ordre 4.

b) On noteraK le sous-groupe deGengendr´e paruetβ.Montrer que< u >est un sous-groupe distingu´e de K. Montrer que K/ < u > est d’ordre 2 et en d´eduire l’ordre deK.

Montrer que K n’est pas un sous-groupe distingu´e de G.

B/ D´eterminer les ´el´ements d’ordre 7 de S₇. Combien a-t-on d’´el´ements d’ordre 7 dans A₇. Combien a-t-on de 7-sous-groupes de Sylow dans A₇. Calculer l’ordre du normalisateur dans A₇ d’un 7-sous-groupe de Sylow deA₇.

C/ Soit P un groupe et H un sous-groupe distingu´e de P. On suppose que H contient T_p un p-sous-groupe de Sylow de P, montrer qu’alors il contient tous les p-sous-groupes de Sylow de P.

D/ On pose v =αβ. Quel est l’ordre de v. Montrer que < v >=<(1,2,4,5,7,3,6)> .

Montrer que les deux groupes < (1,2,7,5,4,6,3) > et < (1,2,4,5,7,3,6) > sont diff´erents.

Montrer que ce sont deux sous-groupes de G (on pourra calculerαvα⁻¹).

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II 1/ Montrer que 168 divise l’ordre de G.

2/ On admettra qu’il existe un ensemble de 8 sous-groupes de G d’ordre 7 contenant < v >, stables par conjugaison parα etβ,ce qui montre queGposs`ede exactement 8 sous-groupes de Sylow d’ordre 7. Quel peut-ˆetre l’ordre du normalisateur de < v > . En utilisant la question I B/ en d´eduire que G est d’ordre 168.

3/ Pour 0 ≤ i ≤ 6, en consid´erant les points fixes de vⁱαv⁻ⁱ montrer que G a au moins 7 sous-groupes de Sylow d’ordre 3. Comparerv⁻¹αv etuαu⁻¹.Montrer que le nombre de 3-sous- groupes de Sylow deG est 28.

4/ SoitH un sous-groupe distingu´e deG; montrer, en utilisant C/, que siH contient un ´el´ement d’ordre 3 alors 7 divise |H| etH =G.

5/ Montrer que siH 6=Gest un sous-groupe distingu´e deGet s’il contient un ´el´ement d’ordre 7 alors |H| = 56. Combien H a-t-il de 2-sous-groupes de Sylow? En utilisant A/ b) montrer qu’un tel groupe n’existe pas.

6/ Montrer queG est simple.

Exercice 1 .

Un groupe G poss`ede 4 classes de conjugaison C₁, C₂, C₃, C₄ d’ordre respectivement 1,6,14 et 21.

1/ Quel est l’ordre de G et combien G poss`ede-t-il de repr´esentations irr´eductibles. On sup- pose que G a une repr´esentation irr´eductible de degr´e 6. Quels sont les degr´es des autres repr´esentations irr´eductibles deG.

2/ Si x₇ ∈ G est d’ordre 7 d´eterminer l’ordre de sa classe de conjugaison. On pourra utiliser les th´eor`emes de Sylow.

Montrer que x₇ etx⁻¹₇ sont dans la mˆeme classe de conjugaison.

3/ Sip,nombre premier, divise |G| et six_p ∈G est d’ordrep,montrer que x_p etx⁻¹_p sont dans la mˆeme classe de conjugaison. Pr´eciser cette classe suivant la valeur de p (on pourra ´etudier le stabilisateur dex_p pour la conjugaison).

4/ Si χ est le caract`ere d’une repr´esentation donner une relation entre χ(x) et χ(x⁻¹) et en d´eduire que χ(x) est un nombre r´eel.

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