Universit´e P. & M. Curie

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Math´ ematiques

L3-325

Examen du 17 D´ ecembre 2007 Introduction ` a la Th´ eorie des groupes.

(ni documents, ni appareils ´electroniques) Exercice 1 Soit G un groupe ab´elien fini.

On consid`ere les relations d’´equivalence suivantes, entre les ´el´ements de G.

(il est ´evident que ce sont des relations d’´equivalence; inutile de le d´emontrer)

• aR₁b⇐⇒a et b ont mˆeme ordre.

• aR₂b⇐⇒a et b engendrent le mˆeme sous-groupe.

• aR3b⇐⇒ il existe un automorphisme σ deG tel que σ(a) = b.

1) Indiquer les implications imm´ediates concernantR₁, R₂,R₃. Donner un exemple d’un groupe G o`uR₁ ;R₂.

2) Si C₂ etC₄ sont deux groupes cycliques d’ordre respectivement 2 et 4,on consid`ere le groupe G = C₂ ⊕C₄. On notera x₂ un g´en´erateur de C₂ et x₄ un g´en´erateur de C₄. La loi de groupe sera not´ee additivement.

a) D´eterminer les classes de G pour la relation R₁, c’est `a dire l’ensemble des parties T<sub>1</sub>(x) = {y;xR<sub>1</sub>y}, o`u x∈G.

b) Soitσun automorphisme deG, montrer queσ(x₂)∈T₁(x₂) et σ(x₄)∈T₁(x₄).Inverse- ment si α∈T₁(x₂) et β ∈T₁(x₄) d´efinir un morphisme f deG dans Gtel que f(x₂) =α et f(x₄) = β.Montrer que dans ce cas si y∈T₁(x₄) alors f(y)∈T₁(x₄).

Comment choisir α pour que f soit injective? Combien a-t-on d’automorphismes?.

c) D´eterminer tous les automorphismes de G. Chaque automorphisme d´efinit une per- mutation de G, on ´ecrira cette permutation en la repr´esentant par sa d´ecomposition en cycles (On choisira une bijectionF entreG etX ={1,2,3..8}telle que F(1) = 1, F(2) = x₂, F(3) =x₂+ 2x₄, F(4) =x₄, F(5) =x₄+x₂, F(6) = 3x₄, F(7) = 3x₄+x₂, F(8) = 2x₄) d) Le groupe A des automorphismes de G op`ere sur G par

σ·x=σ(x)

quelles sont les orbites, quels sont les stabilisateurs de x₂ et x₄, sont-ils distingu´es dans A. Combien a-t-on de sous-groupes cycliques d’ordre 4 dans A?

3) Donner un exemple de groupe Go`u R₁ ;R₃.

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Exercice 2 Soit S₃ le groupe des permutations de 3 ´el´ements etC₃ un groupe cyclique d’ordre 3.On notera c un g´en´erateur de C₃ etG le groupeS₃×C₃.

1/ D´eterminer les classes de conjugaison deGainsi que le nombre d’´el´ements dans chaque classe.

2/ Sin ∈Z on notera ¯nsa classe dansZ/7Z.Montrer que le groupe multiplicatif (Z/7Z)^∗ est cyclique et en trouver un g´en´erateur. Si ε est la signature de S3 et si g = σ, c^k

∈G on pose φ(g) = ε(σ).2^k. Montrer que φ est un morphisme surjectif de G dans (Z/7Z)^∗. Quel est son noyau?

3/ En d´eduire 6 repr´esentations deG de degr´e 1.

4/ Montrer que le groupe G op`ere sur Z/7Z.par · G×Z/7Z→Z/7Z

g,n¯ 7→g·n¯=ε(σ).2^kn D´eterminer les orbites pour cette op´eration.

5/ A l’op´eration deGsurZ/7Zd´efinie en 4/, on associe une repr´esentation de permutation en posant

ρ(g)(e_n¯) = eg·¯n

( les ´el´ements en¯ repr´esentent une base d’un espace de dimension 7).

Montrer que ρ n’est pas irr´eductible. Calculer le caract`ere χ<sub>ρ</sub> de ρ. Montrer que χ<sub>ρ</sub> est somme de 7 caract`eres irr´eductibles dont 2 fois le caract`ere trivial. (On remarquera que

−j est une racine 6´eme de 1, o`u j = exp(2iπ/3))

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