Universit´e P. & M. Curie

Universit´e P. & M. Curie

Ann´ee 2006-2007 des groupes

Examen du Mardi 30 Janvier 2007.

2^`eme session

(ni documents, ni appareils ´electroniques)

I Les questions 1) 2) et 3) sont ind´ependantes.

1) Soit Γ un groupe. Soientxetydeux ´el´ements de Γ d’ordre finisM etN respectivement.

On suppose que < x >∩< y >={e}et qu’il existe α∈N tel que yxy⁻¹ =x^α. (i) Calculer pour n, p ∈N, en fonction de x,yⁿxy⁻ⁿ puis yⁿx^py^−n..

(ii) Soient m, n, p, q ∈N, d´eterminer r, s∈N tels que x^myⁿx^py^q =x^ry^s.

(iii) Montrer que tout ´el´ement de G=< x, y > se met sous la forme x^myⁿ avecm, n∈N. A quelle condition a-t-on x^myⁿ =x^py^q?

(iv) En d´eduire que les donn´eesM, N, αet l’hypoth`ese< x >∩< y >={e}d´eterminent compl`etement l’ordre et la table de multiplication du groupe G.

2) Sachant que 223 est un nombre premier, d´eterminer `a isomorphisme pr`es, tous les groupes commutatifs d’ordre 2007. Trouver une propri´et´e qui les distingue.

3) On posek =Z/223Z.Montrer que le 3-Sylow du groupe multiplicatif k^∗ =k− {0}est de la forme R = {1, a, a²} avec a³ = 1 ( o`u a d´esigne la classe dans k d’un ´el´ement a de N).

4) Soit G un groupenon commutatif d’ordre 2007.

(i) Quels sont les ordres des sous-groupes de Sylow de G et les possibilit´es pour leur nombre ? Soit H un 223-Sylow de G et K un 3-Sylow. Montrer que H est cyclique. On pose H =< x > .

(ii) On suppose que K =< y > est cyclique ; quel est l’ordre de y? Montrer qu’il existe α ∈ N tel que yxy⁻¹ = x^α, puis montrer `a l’aide de 1 (i) et de (3) que α ∈ R− {1}.

Montrer que α = β =⇒ x^α = x^β et que, quitte `a modifier y, on peut toujours supposer que α=a. En d´eduire que la table de multiplication de G est enti`erement d´etermin´ee.

5) Soient u=e^2iπ223 et v =e^2iπ9 ; quels sont les ordres de u etv dans C^∗? Dans GL3(C), on pose X =





u 0 0

0 u^a 0 0 0 u^a2



 etS =





0 1 0 0 0 1 1 0 0





(i) D´eterminer les ordres deX et deS et calculer SXS⁻¹. (On pourra consid´erer l’image des vecteurs d’une base).

(ii) Montrer que le sous-groupe de GL₃(C) engendr´e par X etY =vS est un groupe non commutatif d’ordre 2007 dont les 3-Sylow sont cycliques.

1

2

II. Soient A et Gdes groupes finis, A´etant commutatif d’ordreN.

1) Combien A poss`ede-t-il de classes de conjugaison ? Combien a-t-il, `a isomorphisme pr`es, de repr´esentations irr´eductibles, et de quels degr´es ?

2) Soit U = {z ∈ C; |z| = 1}. Soit φ : A → C^∗ une repr´esentation de degr´e 1 de A.

Montrer que φ(A)⊂U.

Soit ρ:G→GL(V) une repr´esentation irr´eductible deG avecn_ρ= dim_C(V)<∞.

(i) On consid`ere le groupeA×G et l’application σ A×G→GL(V)

(x, y)7→σ(x, y) = φ(x)ρ(y).

Montrer que σ est une repr´esentation de A×G. Calculer son degr´e n_σ et son caract`ere χ_σ. Calculer < χ_σ, χ_σ >et en d´eduire que σ est irr´eductible.

(ii) Soient φ⁰ : A → C^∗ et ρ⁰ : G → GL(V⁰) deux autres repr´esentations irr´eductibles de A et G.On pose σ⁰(x, y) =φ⁰(x)ρ⁰(y). On suppose que χ_σ =χ_σ⁰.

En consid´erant les ´el´ements (e, y),o`u e est l<sup>0</sup>´el´ement neutre de A, montrer que χ<sub>ρ</sub>=χ<sub>ρ</sub><sup>0</sup>. Montrer que ρ est isomorphe `a ρ⁰, que n_ρ=n_ρ⁰ et que φ=φ⁰.