Universit´e P. & M. Curie Math´ematiques
Th´eorie des groupes
Licence LM 325
Examen du 9 janvier 2007 2 heures
L’utilisation de calculatrices, t´el´ephones portables et documents est interdite.
Exercice 1. .
1/ Rappeler la d´efinition et les propri´et´es du centre d’un groupe, dans le cas g´en´eral et dans le cas d’un p-groupe.
2/ Si ν est le nombre de classes de conjugaison d’un groupe d’ordre 12 dont le centre a deux ´el´ements montrer que 4 ≤ν≤7. Donner les valeurs possibles pour ν.
Exercice 2 (Les questions 8 et 3 (en partie) sont ind´ependantes).
1/ On consid`ere les deux permutations
σ = ( 1 2 3 4 5 6 )( 7 8 9 10 11 12 ) τ = 1 7 4 10
2 12 5 9
3 11 6 8 Quel est l’ordre de σ et de τ.Calculer τ2, σ3. Calculer τ−1 et τ−1στ.
2/ On noteGle sous-groupe deS12engendr´e parσetτetH le sous-groupe deGengendr´e par σ. Dans la suite de l’exercice on utilisera les relations σ3 =τ2 etτ−1στ =σ−1. a/ Calculer les signatures de σ et τ et en d´eduire deux repr´esentations de degr´e 1 de G.
b/ Montrer que H est distingu´e dans G et que G est un groupe non ab´elien d’ordre 12.
3/ a/ Quels sont les ordres des ´el´ements de A4. En d´eduire que G n’est pas isomorphe `a A4.
b/ D´eterminer (`a isomorphisme pr`es) tous les groupes ab´eliens d’ordre 12 et en d´eduire qu’il y a au moins 4 groupes d’ordre 12 non isomorphes.
4/ Montrer que le centre de Gnot´eZ(G) est le groupe < σ3 > .
5/ Montrer que le sous-groupe engendr´e par σ2 est distingu´e et donner 4 repr´esentations irr´eductibles non isomorphes deG.
6/ Etudier les 2−Sylow de G.En comptant les ´el´ements deG suivant leur ordre montrer que σ3 est le seul ´el´ement d’ordre 2.
( Facultatif : En d´eduire que G a 6 classes de conjugaison en utilisant l’exercice 1) 7/ a/ Soit Γ le sous-groupe de Gl2(C) engendr´e par les deux matrices U et V :
U =
0 1
−1 0
V =
j 0
0 j2
o`uj = exp 2iπ/3. Utiliser les propri´et´es de U2 pour calculer l’ordre deU2V. Montrer que Γ a un ´el´ement d’ordre 6 not´eW tel queU−1W U =W−1.En d´eduire queGest isomorphe
`
a Γ et construire une repr´esentationρ de degr´e 2 deG.
b/ On admettra que les classes de conjugaison des ´el´ements qui n’appartiennent pas au centre de Γ sont
C1 ={V, V2}, C2 ={V U2, V2U2}, C3 ={U, V U, V2U}, C4 ={U3, V U3, V2U3}
1
2
en d´eduire le caract`ereχdeρet calculer< χ, χ > .La repr´esentationρest-elle irr´eductible ? 8/ Siρ0 est un repr´esentation irr´eductible de degr´edd’un groupe Γ0etαune repr´esentation de degr´e 1 de Γ0 montrer que l’application θ : g 7→ α(g)ρ(g) est une repr´esentation irr´eductible de Γ0. Calculer le degr´e et le caract`ere de θ.
9/ Indiquer comment construire la table des caract`eres irr´eductibles deG.
Exercice 3. .
Soit p un nombre premier et G unp−groupe d’ordrepk.
2/ On utilisera sans le d´emontrer le r´esultat suivant : si Z(Γ) est le centre d’un groupe Γ non ab´elien alors le groupe Γ/Z(Γ) n’est pas cyclique.
a/ Si k = 2 montrer queG est ab´elien.
b/ Sik = 3 que peut-on dire du centreZ(G) et du quotientG/Z(G) d’un groupe d’ordre p3.
c/ Comparer les classes de conjugaison de G et de G/Z(G); en d´eduire une minoration du nombre ν3 de classes de conjugaison d’un groupe d’ordrep3. Peut-on calculerν3?
