Universit´e Pierre et Marie Curie-Paris 6 LM 260 Examen de Math´ematiques du 15 Janvier 2013
Dur´ee 3h. Les documents sont interdits. Les exercices sont ind´ependants.
Exercice I On consid`ere la s´erie enti`ere P+∞
n=1antn d´efinie par an= sin(1/√ n).
1) Quel est le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere ? 2) Etudier sa convergence pour t= 1 et pour t=−1.
3)Montrer que la s´erie enti`ereP+∞
n=2(an−an−1)tnconverge normalement sur le segment [−1,1].
4) Pour t∈]−1,1[, on note S(t) = P+∞
n=1antn.
A l’aide de la question pr´ec´edente, montrer qu’on a : (1` −t)S(t)−−−→
t→1− 0.
Exercice II On pose :
t∈[0,+∞[, f(t) = X+∞
n=0
e−nt 1 +n2.
1)Montrer que cette formule d´efinit une fonctionf continue sur [0,+∞[.
Calculer la limite de f en +∞.
2) Montrer que f est de classe C2 sur l’intervalle ouvert ]0,+∞[.
Calculer f00+f.
3) Trouver un ´equivalent simple de f00(t) quand t→0+. 4) Montrer que f0(t)−−−→
t→0+ −∞.
1
2
Exercice III
On note E l’espace des fonctions continues f : [0,+∞[→ IR v´erifiant la condition suivante :
∀n∈IN, tnf(t)−−−−→t→+∞ 0.
Si f ∈E et x≥0, on consid`ere l’int´egrale g´en´eralis´ee Tf(x) =
Z +∞
0
f(t)e−xtdt.
1) Soit f ∈ E. Montrer que, quel que soit x ≥ 0, l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞
0 f(t)e−xtdt est convergente.
On a donc d´efini une fonction Tf : [0,+∞[→IR.
2) Montrer que la fonction Tf est continue sur [0,+∞[.
3) Montrer que la fonction Tf est de classe C1 sur [0,+∞[.
4) Montrer que la fonction Tf est de classe C∞ sur [0,+∞[.
Pour n∈IN, exprimer sa d´eriv´ee n-i`eme sous la forme Tgn o`ugn ∈E est une fonction que l’on pr´ecisera.
5)On suppose de plus que la fonctionf ∈E est de classeC1 sur [0,+∞[ et que sa d´eriv´ee f0 appartient `a l’espace E.
D´emontrer la formule
x∈[0,+∞[, Tf0(x) =xTf(x)−f(0).
