UNIVERSIT ´E PARIS 6 LM260. 2010-2011 Examen de Math´ematiques du 25 Janvier 2011

UNIVERSIT ´E PARIS 6 LM260. 2010-2011 Examen de Math´ematiques du 25 Janvier 2011

Dur´ee : 3 heures

Les documents ne sont pas autoris´es. Les exercices sont ind´ependants.

Exercice 1

Soit f :R→R la fonction d´efinie par

x∈R, f(x) = argshx (1 +x²)^1/2

1. V´erifier que la fonction f est solution de l’´equation diff´erentielle : (1) (1 +x²)y^′(x) +xy(x) = 1 , y(0) = 0.

2. Montrer que l’´equation diff´erentielle (1) admet une et une seule solutionx7→s(x), d´efinie et d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0. Quel est le rayon de convergence r >0 de cette s´erie ?

3. Montrer soigneusement que la fonction x7→k(x) =f(x)−s(x) est nulle sur l’intervalle ]−r, r[.

En d´eduire que la fonctionf est d´eveloppable en s´erie enti`ere sur ]−r, r[ et ´ecrire son d´eveloppement de Taylor.

Exercice 2

Soit β un r´eel strictement positif. On consid`ere la s´erie de fonctions sur [0,+∞[ de terme g´en´eral

n ∈N^⋆, u_n(t) =n t^nβe^−tn.

1. Etudier les variations de la fonction f(t) = t^βe^−t sur [0,+∞[ et trouver son maximum.

2. En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante sur β pour que la s´erie de fonctions de terme g´en´eral u_n(t) = n t^nβe^−tn converge simple- ment sur [0,+∞[.

Montrer que, si cette condition est v´erifi´ee, la s´erie de fonctions con- verge normalement sur [0,+∞[.

3. Dans cette question, on suppose 0< β < e. On notes: [0,+∞[→R la somme de la s´erie de fonctions de terme g´en´eral u_n (n ≥1).

a) Montrer que la fonction s est continue sur [0,+∞[

1

2

b) Montrer que s(t) tend vers 0 lorsquet →+∞. c) Montrer que la fonction s est d´erivable sur ]0,+∞[.

Exercice 3

Soit f :R→R la fonction p´eriodique de p´eriode 2π d´efinie par : t ∈[0,2π[, f(t) = 3t²−6πt+ 2π²

12 .

On note a+P+∞

n=1(ancos nt+b_nsin nt) la s´erie de Fourier de f. 1. Montrer que la fonction f est paire.

2. Calculer ses coefficients de Fourier: a= 1 2π

Z 2π

0

f(t)dtet, sin≥1,

a_n= 1 π

Z 2π

0

f(t) cosnt dt, b_n = 1 π

Z 2π

0

f(t) sinnt dt.

Montrer que la s´erie de Fourier de f converge uniform´ement sur R. 3. Montrer que f v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme de Dirichlet.

En d´eduire la valeur de

∞

X

n=1

1 n².

4. On d´efinit la fonction L:]0,+∞[→R par :

(2) p >0, L(p) =

Z ^+∞

0

e^−ptf(t)dt.

En utilisant le d´eveloppement def en s´erie de Fourier, montrer qu’on a L(p) = 1

p

∞

X

n=1

1

n² − 1 n²+p²

.

(Pour simplifier les calculs on pourra ´ecrire cosnt= Re (e^int).)