UNIVERSITE PARIS 6 2010-2011
LM261
Examen du 30 juin 2011
Les documents,calculatrices et téléphones portables sont interdits.
Exercice 1 Soitf :R→Rla fonction définie par :
f(t) =
½ 1−|t| sit∈[−1,1]
0 sinon Calculer la transformée de Fourier def.
Exercice 2
a) Montrer que, pour tout x ∈]0,+∞[, l’intégraleF(x) = R+∞ 0
sint t e−txdt est convergente.
b) Montrer que l’intégrale F(0) =R+∞ 0
sint
t dt est convergente (On pourra effectuer une intégration par parties).
c) Montrer que la fonctionF : [0,+∞[→Rest continue.
d) Montrer que F est de classe C1 sur ]0,+∞[ et exprimer F0(x) sous la forme d’une intégrale.
e)Montrer quelimx→+∞F(x) = 0.
f )Calculer l’intégrale R+∞
0 e−txsint dt.
g) En déduireF(x).
h) En déduire la valeur deR+∞ 0
sint t dt
Exercice 3
On considère la série de terme généralun(x) = 1+ne−nx2
a) Montrer que la série converge pourx≥0et diverge pourx <0.
b). Pourx≥0on posef(x) =P∞
n=0un(x).
i) Montrer quef et continue sur[0,+∞[ ii) Montrer quef est de classeC1sur]0,+∞[.
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