Composantes irr´ eductibles

Travaux dirig´ es 6, Introduction aux sch´ emas affines.

Sources : Livre de Atiyah Mac Donald, le livre de D. Eisenbud, de Liu, de Lang (Algebra)

Composantes irr´ eductibles

1. Soient A un anneau, B, C deux A-alg` ebres, X = Spec B, X

= Spec C ⊗

B.

a) Soit Z = V (I) un ferm´ e de X, o` u I est un id´ eal de B. On rappelle que Z est hom´ eomorphe ` a Spec B/I. On d´ efinit Z

= Spec C ⊗

B/I. Montrer que Z

est hom´ eomorphe ` a un ferm´ e de X

qu’on pr´ ecisera.

b) Soient B = A, C = A[T ]. On applique la construction pr´ ec´ edente ` a un ferm´ e irr´ eductible Z de X. Montrer que Z

est un ferm´ e irr´ eductible.

c) Soient f ∈ A, B = A, C = A[1/f ], et Z = V (f) ⊂ X. Montrer que les composantes irr´ eductibles de Z sont en bijection avec les id´ eaux premiers minimaux de A contenant f. Soit Z

une telle composante irr´ eductible, montrer que Z

= ∅.

2. Soient K un corps, K , → L une extension de corps, A une K-alg` ebre de type fini, A

= L ⊗

A, X = Spec A, X

= Spec A

. Si Z = V (I) ⊂ X, on pose Z

= Spec (A

⊗

A/I) qu’on identifie ` a V (IA

) ⊂ X

.

a) On prend K = R , L = C , A = R [T ]. Montrer que Z = V (X

+ X + 1) est un ferm´ e irr´ eductible de X = A

, puis donner les composantes irr´ eductibles de Z

.

b) Montrer que A/I , → A

⊗

A/I. En d´ eduire que si Z est non vide, Z

est non vide.

c) Soient L une clˆ oture alg´ ebrique de L, et X

= Spec (L⊗

A). Soient n, n

, n

le nombre de composantes irr´ eductibles de X, X

, X

respectivement. Mon- trer que n ≤ n

≤ n

.

3. Soit K un corps. Montrer que X = Spec K [x, y]/(xy) est connexe et que X a deux composantes irr´ eductibles qui sont des droites affines.

4. Soit K un corps. Quelles sont les composantes irr´ eductibles de a) X = Spec B o` u B = K[x, y, z]/(xz, z(z

− y

)),

b) X = Spec B o` u B = K[x, y, z]/(xzy − 1),

c) X = Spec B o` u B = K[x, y, z]/(xyz − 1, z(z

− y

)). Pour traiter cette question, on pourra ´ etudier les id´ eaux premiers minimaux de l’alg` ebre C/z(z

− y

) o` u C = K [x, y, z]/(xyz − 1). On pourra aussi remarquer que C est isomorphe ` a K[y, y

, z, z

] et que C est valu´ e par le degr´ e en y (ou en z).

d) Reprendre la question pr´ ec´ edente et montrer que X est hom´ eomorphe ` a D(yz ) T

V (z

− y

) ⊂ A

(o` u A

= Spec K[y, z]). Si on suppose K =

1

C , utiliser les r´ esultats du cours sur les courbes alg´ ebriques et montrer que X( C ), l’ensemble des points ferm´ es de X, est une courbe alg´ ebrique complexe non singuli` ere.

5. Soient K un corps, f(x, y) = x

+ y

− 5, g(x, y) = x

+ y

− 5, h(x, y ) = x

+ y

+ 1. Dans tous les cas suivants, d´ ecrire les composantes irr´ eductibles de X = Spec K[x, y]/(f), Y = Spec K [x, y]/(g), Z = Spec K [x, y]/(h), S = Spec K [x, y]/(f, g), T = Spec K[x, y]/(g, h). Pour chaque composante irr´ eductible donner son point g´ en´ erique.

a) K = Q , b) K = Q [i],

c) K = C . En ce cas donner le cardinal des points ferm´ es de X( C ), Y ( C ), Z( C ), S( C ) et T ( C ).

d) K = Z /2 Z , e) K = F

.

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