Courbes alg´ebriques sur les corps finis version pr´eliminaire

Courbes alg´ebriques sur les corps finis version pr´eliminaire

Christian Pauly

avril 2006

Table des mati` eres

1 Introduction 5

2 Th´eorie de Galois 7

2.1 Extensions de corps . . . 7

2.2 Extensions galoisiennes . . . 9

2.3 Corps finis . . . 11

2.4 Extensions transcendantes . . . 12

2.5 Application de la th´eorie de Galois . . . 13

2.6 Exercices . . . 16

3 Vari´et´es alg´ebriques 19 3.1 Espace affine et vari´et´es affines . . . 19

3.2 Actions galoisiennes . . . 21

3.3 Espace projectif et vari´et´es projectives . . . 21

3.4 Exercices . . . 21

4 Courbes projectives 25 4.1 Anneau de valuation discr`ete . . . 25

4.2 Diviseurs et groupe de Picard . . . 25

4.3 Formes diff´erentielles . . . 26

4.4 Le th´eor`eme de Riemann-Roch . . . 26

4.5 Exercices . . . 26

5 Fonction zˆeta 29 5.1 Courbes projectives sur un corps fini . . . 29

5.2 D´efinition de la fonction zˆeta . . . 31

5.3 Analogie avec la fonction zˆeta de Riemann . . . 32

5.4 Rationalit´e de la fonction zˆeta . . . 33

5.5 Fonction zˆeta et points F^qm-rationnels . . . 33

5.6 Exercices . . . 33

6 Corrig´es des exercices 35

3

Chapitre 1 Introduction

Le but de ce cours est de pr´esenter la preuve de l’hypoth`ese de Riemann pour la fonction zˆeta associ´ee `a une courbe projective lisse d´efinie sur un corps fini. Ce r´esultat est un cas particulier des conjectures d’ Andr´e Weil, ´enonc´e en 1949 dans son article [We], et d´emontr´e dans un contexte beaucoup plus g´en´eral, par Pierre Deligne en 1973.

Pour les aspects cohomologiques des conjectures de Weil on pourra lire l’appendice C de [H]. Pour une introduction accessible au niveau M2 `a la g´eom´etrie diophantienne on lira le texte introductif de B. Mazur [Ma].

E-mail : [email protected]

5

Chapitre 2

Th´ eorie de Galois

Le but de ce chapitre est de rassembler tous les r´esultats de th´eorie de Galois, qui seront utilis´es dans la suite de ce cours. On ne donnera que quelques preuves faciles. Pour les autres on pourra consulter les livres de r´ef´erence, comme par exemple [C], [St], [Mal] ou [La]. Des cours en lignes sont ´egalement disponibles, par exemple [L] et [Mi].

Tous les corps apparaissant dans ce cours sont suppos´es commutatifs.

2.1 Extensions de corps

Soit k un corps et soit i : Z → k le homomorphisme d’anneau qui envoie l’entier n sur n·1. Sii n’est pas injectif, on observe que l’id´eal keriest un id´eal premier pZpour un nombre premier p

D´efinition 2.1.1 On dit que k est un corps de caract´eristique 0 si i est injectif. On dit que k est un corps de caract´eristique p si keri=pZ.

Soit K une extension de k, c’est-`a-direk ⊂K.

D´efinition 2.1.2 Un ´el´ement x ∈ K est alg´ebrique sur k s’il existe un polynˆome non nul P ∈k[X] tel que P(x) = 0. Dans le cas contraire on dit que x est transcendant.

Exemple.

Sik =Q, le nombre √

2 est alg´ebrique, mais e etπ sont transcendants.

D´efinition 2.1.3 L’extension K/k est alg´ebrique si tout ´el´ement x∈K est alg´ebrique sur k.

D´efinition 2.1.4 L’extensionK/k est finie si la dimension de K commek-espace vectoriel est finie. Dans ce cas on note [K :k] = dimkK.

Exemples.

1. Soit P ∈ k[X] un polynˆome irr´eductible. Alors (voir ex...) l’id´eal (P) est premier, donc maximal. Ainsi le quotient K :=k[X]/(P) est un corps, appel´e le corps de rupture de P. C’est une extension alg´ebrique finie de k. On a la relation

[K :k] = degP.

7

Si l’on notex la classe de l’ind´etermin´eeX modulo l’id´eal (P) on a K =k[x].

2. k=Fp(T^p) etK =Fp(T) o`uT est un ´el´ement transcendant sur le corps finiFp. AlorsK est une extension alg´ebrique de degr´ep surk.

3. Soient K/k une extension et soient x₁, x₂, . . . , x_n ∈ K. On note k[x₁, x₂, . . . , x_n] la k- alg`ebre engendr´ee par les x<sub>i</sub>. Si tous les ´el´ementsx<sub>i</sub> sont alg´ebriques sur k alors l’alg`ebre L=k[x₁, x₂, . . . , x_n] est un corps et on a [L:k]≤Q

i[k[x_i] :k] — exercice.

D´efinition 2.1.5 Soit K/k une extension et x ∈ K un ´el´ement alg´ebrique. On appelle po- lynˆome minimal de x sur k le g´en´erateur unitaire de l’id´eal des polynˆomes dans k[X] annula- teurs de x. On notera Mink(x) le polynˆome minimal de x sur k.

D´efinition 2.1.6 Une clˆoture alg´ebrique de k est une extension alg´ebrique K tel que tout polynˆome P ∈k[X] se scinde sur K, c’est-`a-dire

P(X) =

n

Y

i=1

(X−a_i) avec a_i ∈K.

Proposition 2.1.1 Tout corps k admet une clˆoture alg´ebrique.

Proposition 2.1.2 Deux clˆotures alg´ebriques de k sont k-isomorphes.

Soit k un corps et P ∈ k[X] un polynˆome (pas n´ecessairement irr´eductible). En fixant une clˆoture alg´ebrique k de k on peut ´ecrire P(X) = Qn

i=1(X−a_i) avec n = degP.

D´efinition 2.1.7 On appelle corps de d´ecomposition de P ou corps des racines de P le corps K_P :=k[a₁, a₂, . . . , a_n].

On v´erifiera que K_P est une extension finie de k et que K_P ne d´epend pas du choix de la clˆoture alg´ebrique k.

Exemples.

1. Soit k=Q etP =X⁵−2. Alors KP =Q[√⁵

2, e^2iπ5 ].

2. Soitk =Q etP = ^X_X^p₋₁⁻¹ = 1 +X+X²+. . .+X^p−1 pourppremier. Alors K_P =Q[e^2iπp ] D´efinition 2.1.8 Soit K/k une extension alg´ebrique finie. Un automorphisme de corps σ : K → K qui agit trivialement sur k, c’est-`a-dire σ(x) = x pour tout x ∈ k est appel´e un automorphisme de l’extension K/k. L’ensemble des automorphismes de l’extension K/k forme un groupe pour la composition, not´e Aut(K/k).

Remarques.

1. Soit P ∈ k[X] et soit K_P son corps de d´ecomposition. En g´en´eral les corps K_P et L :=

K[X]/(P) ne coincident pas ! Si l’on note a la classe de l’ind´etermin´ee X dans L le polynˆome P se factorise P(X) = (X −a)Q(X) dans L[X], mais en g´en´eral Q n’a pas toutes ses racines dansL

2.2. EXTENSIONS GALOISIENNES 9 2. SoitP ∈k[X] et soitK_P son corps de d´ecomposition. Six∈K_P est une racine deP, alors σ(x) est aussi une racine de P pour tout automorphisme σ ∈ Aut(K_P/k). Cela r´esulte du calcul suivant. On note P(X) =Pn

i=1a_iXⁱ aveca_i ∈k.

P(σ(x)) =

n

X

i=1

a_iσ(x)ⁱ =σ(

n

X

i=1

a_ixⁱ) =σ(P(x)) = 0.

Ainsi si l’on choisit un ordre sur les n racines deP (qu’on suppose toutes distinctes pour simplifier) on obtient un homomorphisme de groupe

Aut(KP/k),→Sn,

qui est injectif : en effet, comme K_P est engendr´e par les racines de P la permutation induite sur les racines de P d´etermine l’automorphisme de l’extension K_P/k.

2.2 Extensions galoisiennes

D´efinition 2.2.1 On dit qu’un polynˆomeP ∈k[X]est s´eparable si tous ses facteurs irr´eductibles n’ont que des racines simples dans une clˆoture alg´ebrique de k.

D´efinition 2.2.2 On dit qu’une extension alg´ebrique K/k est s´eparable si pour tout ´el´ement x∈K le polynˆome minimal Min_k(x)∈k[X] est s´eparable.

Exemples.

1. Si la caract´eristique de k est ´egale `a 0, toute extension de k est s´eparable. En effet soit P = Min_k(x) un polynˆome minimal. SiP a une racine double a, alors P(a) =P⁰(a) = 0.

Ceci implique que le pgcd de P et P⁰ n’est pas un polynˆome constant, donc P n’est pas irr´eductible, contradiction.

2. Soit k₀ un corps de caract´eristique p > 0 et soit T un ´el´ement transcendant sur k₀. On pose k = k₀(T^p) et K = k₀(T). Alors [K : k] = p et Min_k(T) = X^p −T^p ∈ k[X]. Ce polynˆome n’est pas s´eparable, car il s’´ecritX^p−T^p = (X−T)^p dansK[T]. Par cons´equent l’extension K/k n’est pas s´eparable.

D´efinition 2.2.3 On dit qu’un corps k est parfait si la caract´eristique de k est ´egale `a 0 ou bien si le morphisme de Frobenius F : k → k, F(x) = x<sup>p</sup> est un isomorphisme quand la caract´eristique du corps k est ´egale `a p > 0.

Exemple.

Le corps fini F^p est parfait. Le corps F^p(T) n’est pas parfait si T est transcendant.

Proposition 2.2.1 Un corps k est parfait si et seulement si toute extension alg´ebrique K/k est s´eparable.

D´efinition 2.2.4 On dit qu’une extension alg´ebrique K/k est normale si pour tout x ∈ K le polynˆome minimal Min_k(x) se scinde dans K[X], c’est-`a-dire si

Min_k(x) =

n

Y

i=1

(X−a_i) avec a_i ∈K.

Exemple.

L’extension Q[√⁵

2] n’est pas normale. En effet le polynˆome minimal P := Min_Q(√⁵ 2) = X⁵−2 n’a pas toutes ses racines dansQ[√⁵

2]. Posonsω =e^2iπ5 . Alors le corps de d´ecomposition K_P est ´egal `a Q[√⁵

2, ω]. C’est une extension normale de Q — voir plus loin.

D´efinition 2.2.5 On dit qu’une extension finie K/k est galoisienne si elle est normale et s´eparable.

Exemple.

Soit k = Q et K = Q[ζ] avec ζ^p = 1 et p premier. Alors Aut(K/k) = (Z/pZ)^∗. Si i ∈ (Z/pZ)^∗, l’automorphismeσ_i associ´e op`ere sur K en envoyant le g´en´erateurζ surζⁱ.

D´efinition 2.2.6 SoitK/k une extension finie avec groupe d’automorphismesG= Aut(K/k).

Soit H un sous-groupe de G. Le corps fix´e par H est le corps K^H :={x∈K | σ(x) =x ∀σ∈H}.

Bien entendu, on a les inclusions k ⊂K^H ⊂K.

Proposition 2.2.2 SoitK/k une extension finie avec groupe d’automorphismesG= Aut(K/k).

Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes.

1. L’extension K/k est galoisienne.

2. On a k =K^H pour un sous-groupe H ⊂G.

3. Le corps K est ´egal au corps de d´ecomposition KP d’un polynˆome s´eparable P ∈k[X].

D´efinition 2.2.7 Si l’extension finie K/k est galoisienne, on appelle Gle groupe de Galois — c’est un groupe fini. Parfois on le note aussi Gal(K/k).

Remarque.

Pour une extensionK/k finie et galoisienne, on a

|G|= [K :k] et k =K^G.

Proposition 2.2.3 Soit K/k une extension finie galoisienne et soit k ⊂L⊂K une extension interm´ediaire. Alors l’extension K/L est aussi galoisienne.

D´emonstration. Soitx∈K. Consid´erons les deux polynˆomes minimaux Min_k(x) et Min_L(x) comme des polynˆomes `a coefficients dansL. Par d´efinition du polynˆome minimal, Min_L(x) divise Min_k(x). Ainsi toutes les racines de Min_L(x) sont simples et contenues dans K.

Proposition 2.2.4 Soit L/k une extension finie et s´eparable. Alors il existe une extension K/L tel que K/k soit galoisienne, c’est-`a-dire toute extension finie et s´eparable est contenue dans une extension galoisienne.

D´emonstration. On sait que L admet un nombre fini de g´en´erateurs x₁, . . . , x_n, c’est-`a-dire L est de la forme L = k[x₁, . . . , x_n]. Posons P_i = Min_k(x_i) et P = Qn

i=1P_i. Alors P est un polynˆome s´eparable (carL est s´eparable) et on pose K =K_P. C’est une extension galoisienne dek (Proposition 2.2.2) et elle contient L.

2.3. CORPS FINIS 11 Th´eor`eme 2.2.1 (Th´eor`eme fondamental de la th´eorie de Galois) SoitK/kune exten- sion galoisienne finie et G son groupe de Galois. Alors on a une bijection entre les ensembles suivants

{k ⊂L⊂K} ←→ {H < G}

L −→ Gal(K/L) K^H ←− H

Ces bijections sont inverses l’une de l’autre. Etant donn´e un sous-groupeH < Gon a l’´equivalence K^H/k galoisienne ⇐⇒ H / G,

et dans ce cas Gal(K^H/k) =G/H.

2.3 Corps finis

Soit p un nombre premier et k un corps fini de caract´eristique p. Comme k est un Fp- espace vectoriel de dimension finie n on obtient que le cardinal de k est ´egal `a pⁿ. Le groupe multiplicatifk^∗ apⁿ−1 ´el´ements, donc pour toutx∈k^∗ on ax^pn−1 = 1. En rajoutant l’´el´ement 0 on voit que tout x∈k est racine du polynˆome

P_n :=X^pn−X ∈Fp[X].

Le polynˆome P_n est s´eparable : en effet une racine double deP_n annulerait la d´eriv´eeP_n⁰ =−1.

Soit KPn le corps de d´ecomposition du polynˆome Pn dans une clˆoture alg´ebrique fix´e F^p. On choisit un plongement de k dans Fp.

Proposition 2.3.1 On a les assertions suivantes.

1. Le corps fini k est isomorphe au corps de d´ecomposition K_Pn. On le notera Fpⁿ. 2. L’extension Fpⁿ/Fp est galoisienne et on a un isomorphisme

Z/nZ→Gal(Fpⁿ/Fp) 17→F o`u F d´esigne le Frobenius de Fpⁿ.

D´emonstration. D’apr`es ce qui pr´ec`ede il est clair que k ⊂ K_Pn. Pour montrer l’´egalit´e il suffit montrer que K_Pn `a p<sup>n</sup> ´el´ements. Par d´efinition K<sub>Pn</sub> est engendr´e comme Fp-alg`ebre par les pⁿ racines du polynˆome P_n. Il suffit donc de v´erifier que si x et y sont racines de P_n, alors x·y et x+y sont aussi racines deP_n. Ceci r´esulte directement de l’exercice 2.6.2.

D’apr`es la proposition 2.2.2 l’extensionF<sup>pn</sup>/F<sup>p</sup> est galoisienne. Il est clair que le morphisme de Frobenius F ∈Gal(Fp<sup>n</sup>/Fp) est un ´el´ement d’ordre n, ce qui prouve la deuxi`eme assertion.

Soitq=pⁿetmun entier. On noteF_qle morphisme d’´el´evation `a la puissanceq, c’est-`a-dire F_q(x) = x^q. On montre sans difficult´es la proposition suivante.

Proposition 2.3.2 L’extension Fq^m/Fq est une extension galoisienne et son groupe de Galois est isomorphe au groupe cyclique Z/mZ et est engendr´e par F_q.

On aura besoin du r´esultat suivant sur la factorisation des polynˆomes deFq[T].

Proposition 2.3.3 Soit P ∈Fq[T] un polynˆome irr´eductible de degr´e d. Soit n un entier et e le pgcd den et d. Alors le polynˆome P se factorise dans Fqⁿ[T] en e polynˆomes irr´eductibles de mˆeme degr´e ^d_e, c’est-`a-dire on a P =P1·P2· · ·Pe avec Pi ∈F^qn[T].

D´emonstration. Consid´erons un facteur irr´eductible P₁ ∈ Fqⁿ[T] de la d´ecomposition du polynˆome P dans Fqⁿ[T]. Le groupe de Galois Gal(Fqⁿ/Fq) op`ere sur les facteurs irr´eductibles et comme P est irr´eductible, on en d´eduit que la d´ecomposition de P est de la forme P = P<sub>1</sub>·P<sub>2</sub>· · ·P<sub>k</sub>, o`u l’ensemble des polynˆomes{P₁, P₂, . . . , P_k} est l’orbite du polynˆome P₁ sous le groupe Gal(Fqⁿ/Fq).

D´eterminons le degr´e deP₁. Pour cela consid´erons le corps de rupture du polynˆomeP : c’est une extension de degr´e d, donc isomorphe `a l’extension Fq^d/Fq, qui est galoisienne de groupe Z/dZ. Soit a une racine de P dans Fq^d. Alors le polynˆome P se scinde

P(T) = Y

σ∈Z/dZ

(T −σ(a)).

CommeP1 ∈F^qn[T] est irr´eductible le morphisme de Frobenius deF^qn op`ere transitivement sur les racines de P<sub>1</sub>. Ainsi on voit que la partition des racines en k sous-ensembles (= racines de P<sub>i</sub> pour i= 1, . . . , k) correspond aux orbites de l’automorphisme F<sub>q</sub><sup>n</sup> = (F<sub>q</sub>)<sup>n</sup> sur les d racines de P. Or ces d racines de P sont en bijection avec le groupe Gal(Fq<sup>d</sup>/F<sup>q</sup>) = Z/dZ. Sous cette bijection les racines de P<sub>1</sub> correspondent au sous-groupe cyclique engendr´e par la classe de n dans Z/dZ, c’est-`a-dire le groupe cyclique Z/mZ avec m = ^d_e, o`u e = pgcd(n, d). Il en r´esulte que degP1 = ^d_e et qu’il y a k=e facteurs irr´eductibles.

2.4 Extensions transcendantes

D´efinition 2.4.1 SoitK/k une extension etx₁, . . . , x_n ∈K. On dit que les ´el´ements x₁, . . . , x_n sont alg´ebriquement ind´ependants si l’homomorphisme d’alg`ebre

k[X₁, . . . , X_n]→K P 7→P(x₁, . . . , x_n)

est injectif, c’est-`a-dire s’il n’existe pas de polynˆome non nul P tel que P(x₁, . . . , x_n) = 0.

Exemple.Les r´eels e etπ sont alg´ebriquement ind´ependants.

D´efinition 2.4.2 Soit K/k une extension et x₁, . . . , x_n ∈ K des ´el´ements alg´ebriquement ind´ependants. Le corps de fraction de l’anneau k[x₁, . . . , x_n] est not´e

k(x₁, . . . , x_n) = Frac(k[x₁, . . . , x_n])⊂K.

On dit qu’une extensionL/kest transcendante pure si elle est isomorphe `a un corpsk(x1, . . . , xn) avec x₁, . . . , x_n alg´ebriquement ind´ependants sur k.

2.5. APPLICATION DE LA TH ´EORIE DE GALOIS 13 D´efinition 2.4.3 On dit que K est une extension de type fini de k si K est de la forme K = Frac(k[x₁, . . . , x_n]), c’est-`a-dire K admet un nombre fini de g´en´erateurs.

Remarque.Attention ! Il y a deux notions de finitude pour une extension K/k : finie et de type finie. Bien entendu ˆetre fini entraˆıne ˆetre de type fini.

Th´eor`eme 2.4.1 Soit K une extension de k de type fini. Alors il existe un sous-ensemble A ={x1, . . . , xn} d’´el´ements alg´ebriquement ind´ependants tel que

k⊂k(x₁, . . . , x_n)⊂K

et l’extension K/k(x₁, . . . x_n) est finie (donc alg´ebrique). De plus tous les sous-ensembles A = {x₁, . . . , x_n} d’´el´ements alg´ebriquement ind´ependants tel que K/k(x₁, . . . x_n) est finie ont le mˆeme cardinal, appel´e le degr´e de transcendance de K sur k et not´e degtr_k(K).

Exemples.

On a degtr_k(k(x)) = 1 si x est transcendant sur k et degtr_k(k(x)) = 0 si x est alg´ebrique sur k.

D´efinition 2.4.4 On dit qu’une base de transcendance {x₁, . . . , x_n} de K sur k est s´eparable si l’extension K/k(x₁, . . . , x_n) est s´eparable.

Th´eor`eme 2.4.2 Si k est parfait alors toute extension K/k de type fini admet une base de transcendance s´eparable.

D´efinition 2.4.5 On dit queK/k est un corps de fonctions (`a n variables) si K/k est de type fini et degtr_k(K) = 1.

D´efinition 2.4.6 SoitK/k un corps de fonctions. Le corps des ´el´ements deKqui sont alg´ebriques sur k est appel´e le corps des constantes de K.

2.5 Application de la th´ eorie de Galois

Th´eor`eme 2.5.1 (Ind´ependance lin´eaire des caract`eres de Dedekind) SoitK un corps et G un groupe. Alors toute famille {χ₁, . . . , χ_m} d’homomorphismes χ_i : G −→ K^∗ est lin´eairement ind´ependante, c’est-`a-dire si Pm

i=1a_iχ_i = 0 avec a_i ∈K, alors a_i = 0 pour tout i.

D´emonstration. On le d´emontre par r´ecurrence surm. Pourm= 1 c’est ´evident. Supposons que toute famille de m−1 caract`eres est lin´eairement ind´ependante. Consid´eronsm caract`eres χ₁, . . . , χ_m tous distincts. En particulierχ₁ 6=χ₂. Il existe donc ung ∈Gtel queχ₁(g)6=χ₂(g).

Consid´erons une relation lin´eaire `a coefficients dans K entre les m caract`eres, c’est-`a-dire

∀x∈G, a₁χ₁(x) +a₂χ₂(x) +. . .+a_mχ_m(x) = 0. (2.1) En rempla¸cant x par g·x on obtient la relation (notons queχ_i(g·x) = χ_i(g)χ_i(x))

∀x∈G, a₁χ₁(g)χ₁(x) +a₂χ₂(g)χ₂(x) +. . .+a_mχ_m(g)χ_m(x) = 0. (2.2)

On multiplie maintenant la relation (2.1) parχ₁(g) et on soustraie (2.2) :

∀x∈G, a2(χ1(g)−χ2(g))χ2(x) +. . .+am(χ1(g)−χm(g))χm(x) = 0.

Ceci est une relation lin´eaire sur m−1 caract`eres, donc d’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence on a a<sub>i</sub>(χ<sub>1</sub>(g)−χ<sub>i</sub>(g)) = 0 pour tout i = 2, . . . , m. Comme χ<sub>1</sub>(g)−χ<sub>2</sub>(g) 6= 0, on en d´eduit que a<sub>2</sub> = 0. Ainsi la relation (2.1) ne comporte que m−1 termes et on peut appliquer `a nouveau l’hypoth`ese de r´ecurrence. D’o`u ai = 0 pour tout i= 1, . . . , m.

Dans la suite on utilisera le cas particulier G=K^∗.

Proposition 2.5.1 Toute famille {σ₁, . . . , σ_m} d’homomorphismes de corps σ_i : K^∗ −→ K^∗ distincts est lin´eairement ind´ependante.

Corollaire 2.5.1 Soit K/k une extension galoisienne et {α1, . . . , αm} une k-base de K. On note les ´el´ements du groupe de GaloisGal(K/k) ={σ₁, . . . , σ_m}. Alors la matrice carr´ee d’ordre m M = (σ_i(α_j))_i,j est inversible.

D´emonstration. Supposons par l’absurde qu’il existe un vecteur non nul (c₁, . . . , c_m)∈K^m dans kerM, ce qui ´equivaut aux m´equations

m

X

i=1

c_iσ_i(α_j) = 0 j = 1, . . . , m.

Comme{α1, . . . , αm}est une base deK, on obtient une relationPm

i=1ciσi = 0, ce qui contredit l’ind´ependance lin´eaire des σ_i (Proposition 2.5.1).

D´efinition 2.5.1 Soit K/k une extension galoisienne de groupe G = Gal(K/k) et soit V un K-espace vectoriel de dimension finie. On dit que V est muni d’une action lin´eaire galoisienne de G s’il existe une repr´esentation lin´eaire ρ:G−→GL(V) tel que

σ(λv) =σ(λ)σ(v), ∀λ∈K, ∀v ∈V.

Pour simplifier la notation on ´ecrit σ au lieu de ρ(σ). En d’autres mots l’action lin´eaire ρ est galoisienne si l’action de G sur V est compatible avec l’action de G sur le corps des scalaires K.

Exemple.

L’espace vectoriel V =Kⁿ muni de l’action σ(x₁, . . . , x_n) = (σ(x₁), . . . , σ(x_n)).

Proposition 2.5.2 Soit K/k une extension galoisienne de groupe G = Gal(K/k). Soit V un K-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action galoisienne de G. Alors on a

1. L’ensemble des vecteurs G-invariants V^G ={v ∈V | σ(v) =v} est unk-espace vectoriel.

2. Il existe une K-base {v₁, v₂, . . . , v_n} de V tel que v_i ∈V^G pour tout i.

Remarques.

1. Noter que V^G n’est pas un K-sous-espace vectoriel. En effet on a pour v ∈V^G, σ(λv) = σ(λ)v 6=λv si λ n’appartient pas `a k.

2.5. APPLICATION DE LA TH ´EORIE DE GALOIS 15 2. On peut exprimer la deuxi`eme assertion en termes de produit tensoriel :

V =V^G⊗_kK.

D´emonstration. La premi`ere partie resulte imm´ediatement du fait que K^G =k.

Montrons maintenant qu’il existe une K-base {v₁, v₂, . . . , v_n}, o`u les vecteurs v_i sont dans l’espace G-invariant V^G. Choisissons unek-base{b₁, . . . , b_n} deV^G. Ceci est bien possible, car V est de dimension finie sur K et K est de dimension finie sur k, donc V^G ⊂ V est aussi de dimension finie sur k. Introduisions le k-sous-espace vectoriel Π⊂V

Π :=V^G⊗_kK ={v =

m

X

i=1

λ_ib_i | λ_i ∈K}.

Il va d’abord montrer que Π =V. Soit{α₁, . . . , α_m}unek-base deK. On notera les ´el´ements du groupe de Galois Gal(K/k) = {σ₁ = id, . . . , σ_m}. Choisissons un vecteur v ∈V et introduisons les m vecteurs pour j = 1, . . . , m

w_j =

m

X

i=1

σ_i(α_jv) =

m

X

i=1

σ_i(α_j)σ_i(v) On peut exprimer ces ´egalit´es sous forme matricielle



 w₁ . . . w_m



=





σ₁(α₁) . . . σ_m(α₁) . . . . σ₁(α_m) . . . σ_m(α_m)



·



 σ₁(v)

. . . σ_m(v)





D’apr`es le corollaire 2.5.1 la matriceM = (σ_i(α_j))_i,jest inversible. Donc en particulierσ₁(v) =v s’´ecrit comme combinaison lin´eaire des vecteursw_j. V´erifions que w_j ∈V^G. En effet pour tout k etj on a les ´egalit´es

σ_k(w_j) =

m

X

i=1

σ_k[σ_i(α_jv)] =

m

X

i=1

(σ_kσ_i)(α_jv)

=

m

X

i=1

σi(αjv) = wj.

Ce raisonnement montre que lak-base{b₁, . . . , b_n}deV^Gest un famille g´en´eratrice duK-espace vectoriel V. Pour conclure il faut encore v´erifier que la famille {b1, . . . , bn} est K-lin´eairement ind´ependante. Pour cela consid´erons l’application K-lin´eaire

Φ :Kⁿ −→V, (λ_i)_i 7→

n

X

i=1

λ_ib_i.

On remarque que Φ est G-´equivariant, donc le noyau ker Φ est un sous-espace vectoriel de Kⁿ qui est stable par l’action de G, donc muni d’une action galoisienne de G. On peut donc

appliquer ce qu’on a montr´e pr´ec´edemment : leK-espace vectoriel ker Φ est engendr´e surK par les vecteursG-invariants. Or (ker Φ)^G = ker Φ∩kⁿ. Ainsi ker Φ∩kⁿ={0}entraine ker Φ = {0}, ce qui prouve l’ind´ependance lin´eaire de la famille {b₁, . . . , b_n}.

Remarque.

De mani`ere plus g´en´erale on peut montrer sans hypoth`ese sur l’extensionK/kqu’une famille de vecteurs libre sur k reste libre sur K. En termes savants ceci s’exprime par l’exactitude du foncteurT :k−ev→K−ev d´efini par T(V) =V ⊗_kK.

2.6 Exercices

Exercice 2.6.1 Montrer qu’un morphisme de corpsφ :k→K est injectif.

Exercice 2.6.2 Soit k un corps de caract´eristique p > 0 et soit F l’application d’´el´evation `a la puissancep, c’est-`a-dire F(x) = x^p pour toutx∈k.

1. Montrer que le coefficient binomial _n^p

est divisible par ppour 0 < n < p.

2. En d´eduire que l’applicationF est un morphisme de corps qui estF^p-lin´eaire, c’est-`a-dire F(xy) =F(x)·F(y), F(x+y) =F(x) +F(y), F(λx) =λF(x)

pourx, y ∈k etλ∈Fp.

On appelle F lemorphisme de Frobenius dek.

Exercice 2.6.3 SoitAun anneau principal, c’est-`a-dire tous ses id´eaux sont engendr´es par un

´el´ement — par exemple l’anneau de polynˆomesA=k[X] est principal. On note (a)⊂A l’id´eal engendr´e par l’´el´ement a∈A. Montrer que les trois assertions suivantes sont ´equivalentes.

1. L’´el´ement a est irr´eductible.

2. L’id´eal (a) est premier.

3. L’id´eal (a) est maximal.

Exercice 2.6.4 SoitP un polynˆome irr´eductible de k[X] de degr´e n. Montrer qu’il existe une extensionK de k tel que P soit scind´e dans K, c’est-`a-dire

P(X) =

n

Y

i=1

(X−a_i) aveca_i ∈K et tel que [K :k]≤n!.

Indication : consid´erer le corps de rupture de P et faire une r´ecurrence sur le degr´e de P. Exercice 2.6.5 SoitK une extension dek etx∈K. Montrer que les assertions suivantes sont

´equivalentes.

1. L’´el´ement x est alg´ebrique sur k.

2. L’alg`ebre k[x] est de dimension finie sur k.

3. L’alg`ebre k[x] est un corps.

2.6. EXERCICES 17 Exercice 2.6.6 SoitK une extension dek. Montrer que l’ensemble des ´el´ements deK qui sont alg´ebriques sur k est un corps. On appelle ce corps la clˆoture alg´ebrique de k dans K.

Exercice 2.6.7 On consid`ere les extensions Q(√

2) et Q(√³

2) sur Q. 1. D´eterminer leurs degr´es.

2. Est-ce que ces extensions sont galoisiennes ? Si oui, d´eterminer le groupe de Galois.

Exercice 2.6.8 Calculer le degr´e de Q(√ 3,√

2) sur Q. ComparerQ(√ 3,√

2) et Q(√ 2 +√

3).

D´eterminer le polynˆome minimal de √ 3 +√

2 sur Q. Montrer que l’extension Q(√ 2 +√

3) de Q est galoisienne et en d´eterminer le groupe de Galois.

Exercice 2.6.9 Montrer que l’extension K := Q[√³

2, e^2iπ3 ] de Q est galoisienne de groupe de Galois S₃, le groupe sym´etrique sur 3 lettres. D´eterminer toutes les extensions interm´ediaires Q⊂L⊂K.

Exercice 2.6.10 Soit k un corps et K =k(T) l’extension transcendante pure en une variable de k. D´eterminer la clˆoture alg´ebrique dek dans K.

Chapitre 3

Vari´ et´ es alg´ ebriques

Le but de ce chapitre est de pr´esenter les notions ´el´ementaires de la th´eorie des vari´et´es alg´ebriques sur un corps quelconque. Pour une introduction plus d´etaill´e on pourra lire les chapitres 1 et 2 de [P] ou bien [H].

Dans ce chapitre k d´esigne un corps parfait et k une clˆoture alg´ebrique.

3.1 Espace affine et vari´ et´ es affines

D´efinition 3.1.1 Soit k un corps et n∈N^∗. L’ensemble des n-uplets dans k not´e Aⁿ(k) = {(a₁, . . . , a_n) | a_i ∈k}

est appel´e l’ensemble des points k-rationnels de l’espace affine de dimension n.

Remarques.

1. Pour toute extension de corps K/k on a une inclusion ensembliste Aⁿ(k)⊂Aⁿ(K).

2. La d´efinition pr´ec´edente ne d´efinit pas l’espace affine Aⁿ, mais seulement la notion de point k-rationnel de l’espace affine. La d´efinition deAⁿ sera donn´ee plus tard.

Consid´erons un point P = (a1, . . . , an)∈Aⁿ(k). On peut associer `a P un homomorphisme de k-alg`ebres appel´e l’´evaluation au pointP

ev_P :k[X₁, . . . X_n]→k, f 7→f(P) := f(a₁, . . . , a_n).

Soit I un id´eal de k[X₁, . . . X_n]. On associe `a I le sous-ensemble de Aⁿ(k) d´efini par V(I) ={P ∈Aⁿ(k) |f(P) = 0, ∀f ∈I}.

Remarquons que l’anneauk[X1, . . . Xn] est noeth´erien (th´eor`eme de Hilbert) et que par cons´equent tout id´ealI admet un nombre fini de g´en´erateursf₁, . . . , f_m. Ainsi on voit que l’ensembleV(I) est d´efini par lesm ´equations f_i(P) = 0.

D´efinition 3.1.2 On dit qu’un sous-ensemble V ⊂ Aⁿ(k) est alg´ebrique, s’il existe un id´eal I ⊂k[X₁, . . . X_n] tel que V =V(I).

19

On peut d´efinir une topologie sur l’ensembleAⁿ(k), la topologie de Zariski : les ferm´es pour cette topologie sont par d´efinition les sous-ensembles alg´ebriques. On v´erifie que cela donne effectivement un topologie sur Aⁿ(k), c’est-`a-dire l’intersection quelconque de ferm´es est un ferm´e et une r´eunion finie de ferm´es est un ferm´e.

Exemple.

La droite affine A¹(k). On sait que l’anneau k[X] est principal, donc tout id´eal I est de la forme I = (P), o`uP est un polynˆome de degr´e d enX. Comme k est alg´ebriquement clos, P se scinde etV(I) est une r´eunion d’au plusd points k-rationnels.

Remarque.

La topologie de Zariski n’est pas s´epar´ee : l’intersection de deux ouverts deAⁿ(k) est toujours non vide.

D´efinition 3.1.3 Soit Y ⊂X un sous-ensemble d’un espace topologique X. On dit que Y est irr´eductible si Y n’est pas la r´eunion Y₁∪Y₂ de deux ferm´es Y₁ et Y₂ de X.

Proposition 3.1.1 Soit I ⊂k[X₁, . . . , X_n] un id´eal. Alors on a une ´equivalence I premier ⇐⇒ V(I) irr´eductible.

Remarque.

Attention ! Il est important de consid´erer les id´eaux dans k[X₁, . . . , X_n], mˆeme s’il sont d´efinis sur un corps plus petit. Consid´erons l’exemple suivant : k = Q et I = (X₁² −2X₂²) ⊂ Q[X₁, X₂] ⊂ Q[X₁, X₂]. On constate que I est premier en tant qu’id´eal dans Q[X₁, X₂], mais se factorise I = (X₁ +√

2X₂)(X₁ − √

2X₂) dans Q[X₁, X₂]. Ainsi V(I) ⊂ A²(Q) n’est pas irr´eductible.

D´efinition 3.1.4 Une vari´et´e affineV est un ferm´e irr´eductible deAⁿ(k). De mani`ere ´equivalente une vari´et´e affine un sous-ensemble alg´ebrique V(I), o`uI est un id´eal premier dek[X₁, . . . , X_n] Exemples.

On consid`ere l’id´eal I = (X₁X₂) ⊂ k[X₁, X₂]. Alors V(I) est la r´eunion de deux droites D₁ =V(X₁) et D₂ =V(X₂) dansA²(k).

Soit S un sous-ensemble de Aⁿ(k). On associe `aS un id´eal I(S)⊂k[X₁, . . . , X_n] d´efini par I(S) = {f ∈k[X₁, . . . , X_n]| f(P) = 0 ∀P ∈S}.

Le th´eor`eme suivant montre que l’application d´efinie par I est en fait l’inverse de celle d´eterin´e par Z si l’on se restreint aux vari´et´es affines.

Th´eor`eme 3.1.1 (Th´eor`eme des z´eros de Hilbert) Pour tout id´eal I ⊂k[X1, . . . , Xn] on a l’´egalit´e suivante dans k[X₁, . . . , X_n]

I(V(I)) = Rad(I),

o`u l’id´eal Rad(I) ={f ∈k[X₁, . . . , X_n] |fⁿ∈I} est appel´e le radical de I.

En particulier, si I est premier on a I(V(I)) =I.

3.2. ACTIONS GALOISIENNES 21 Corollaire 3.1.1 On a une bijection entre l’ensemble des vari´et´es affines V ⊂ Aⁿ(k) et l’en- semble des id´eaux premiers de k[X₁, . . . , X_n].

Remarque.

Le th´eor`eme des z´eros de Hilbert n’est plus vrai sur un corpsk qui n’est pas alg´ebriquement clos. Par exemple si l’on prend I = (X₁² +X₂²+ 1)⊂ R[X₁, X₂], on a V(I) = ∅ et I(V(I)) = R[X₁, X₂]. Par contre Rad(I) =I, car X₁+X₂+ 1 est irr´eductible sur R.

3.2 Actions galoisiennes

D´efinition 3.2.1 Soit V = V(I) ⊂ Aⁿ(k) une vari´et´e affine. On dit que V est d´efini sur le corps k si l’id´eal I = I(V) ⊂ k[X1, . . . Xn] peut ˆetre engendr´e par des ´el´ements dans k[X₁, . . . X₂]. Dans ce cas on note V /k au lieu de V.

Remarques.

1. Comme k[X1, . . . Xn] est un anneau neoth´erien, tout id´eal I ⊂k[X1, . . . Xn] est engendr´e par un nombre fini de g´en´erateursI = (f₁, . . . , f_m) avec f_i ∈k[X₁, . . . X_n]· Les polnˆomes f_i n’ont qu’un nombre fini de coefficients a_ij ∈ k. Tous les a_ij sont alg´ebriques, donc L = k[aij] est une extension finie de k. Toute vari´et´e affine V d´efinie sur k est en fait d´efinie sur une extension finie L dek.

2. Par le mˆeme raisonnement on montre que tout point k-rationnel P ∈ Aⁿ(k) est d´efinie sur une extension finie L de k, c’est-`a-dire P ∈Aⁿ(L).

Soit V ⊂ Aⁿ(k) une vari´et´e affine. On d´efinit pour tout corps K tel que k ⊂ K ⊂ k l’id´eal de K[X₁, . . . X_n]

I_K(V) = {f ∈K[X₁, . . . X_n] | f(P) = 0 ∀P ∈V}.

Remarquons que dans ce cas le morphisme d’´evaluation en P ∈Aⁿ(k) d´etermine un homomor- phisme de K-alg`ebres ev_P :K[X₁, . . . X_n]→k.

Proposition 3.2.1 Soit V ⊂ Aⁿ(k) une vari´et´e affine. Alors on a une ´equivalence entre les assertions suivantes.

1. La vari´et´e affine V est d´efinie sur k.

2. On a une ´egalit´e I_k(V) = I_k(V)·k[X₁, . . . X_n].

D´emonstration.

3.3 Espace projectif et vari´ et´ es projectives 3.4 Exercices

Exercice 3.4.1 D´eterminer le lieu singulier des courbes affines suivantes C₁ : Y² =X³ C₂ : 4X²Y² = (X²+Y²)³.

Exercice 3.4.2 On consid`ere les deux courbes projectives suivantes C₁ : X²+Y² =Z² C₂ : X²+Y² = 3Z². 1. Montrer queC₂(Q) =∅. Indication : R´eduire modulo 3.

2. On consid`ere les deux applications

ψ :C₁ −→P¹, ψ([X, Y, Z]) = [X+Z, Y], φ:P¹ −→C₁, φ([S, T]) = [S²−T²,2ST, S²+T²].

Montrer que l’applicationψ est r´eguli`ere en tout point de C₁. 3. Montrer queψ et φ sont inverses l’une de l’autre.

4. En d´eduire que C₁(Q) =P¹(Q) et que C₁ n’est pas isomorphe `aC₂ surQ. 5. Montrer qu’il existe un isomorphisme d´efini sur Q[√

3] entre C₁ etC₂.

6. Pour quels corps finis k existe-t-il un isomorphisme entre C₁ et C₂ qui est d´efini sur k? Indication :utiliser la loi de r´eciprocit´e quadratique.

Exercice 3.4.3 Soit C/Q la courbe projective plane d´efinie par l’´equation homog`ene 5X² + 6XY + 2Y² = 2Y Z+Z².

Montrer que C(Q) = ∅.

Indication :Ecrire l’´equation comme somme de carr´es et r´eduire modulo un nombre premier.

Exercice 3.4.4 Soit C/Q la courbe projective d´efinie par l’´equation affine Y² =X³+ 17.

1. Soient P1 = (x1, y1) et P2 = (x2, y2) des points distincts de C=C(Q) et soitD la droite passant par P₁ et P₂. Montrer que

C∩D={P₁, P₂, P₃} et exprimer P₃ = (x₃, y₃) en fonction de P₁ etP₂. 2. Calculer P₃ pourP₁ = (−1,4) et P₂ = (2,5).

3. Montrer que si P₁, P₂ ∈C(Q), alors P₃ ∈C(Q).

Exercice 3.4.5 Soit p un nombre premier ≥ 3 et soit C_p/Q la conique dans P² d´efinie par l’´equation

X²+Y² =pZ².

1. Montrer queC_p(Q)6=∅ si et seulement si p≡1 mod 4.

Indication :Si p≡1 mod 4, utiliser le fait que p s’´ecrit comme somme de deux carr´es d’entiers. Si p≡3 mod 4, r´eduire modulop.

2. Si p≡1 mod 4, montrer qu’il existe un isomorphisme φ d´efini surQ φ:P¹ −→C_p.

Donner les ´equations de φ.

Indication :Projeter `a partir d’un point P ∈C_p(Q).

3.4. EXERCICES 23 Exercice 3.4.6 D´eterminer pour tout entierm≥1 le nombre|C(Fp^m)|de pointsFp^m-rationnels pour les courbes projectives C suivantes

1. la droite projective P¹,

2. la conique d´efinie par X² +Y² =Z², 3. la cubique plane d´efinie par ZY² =X³.

Exercice 3.4.7 Soitnun entier≥2 et soitCnla courbe projective plane donn´ee par l’´equation homog`ene (dite courbe de Fermat)

xⁿ+yⁿ+zⁿ = 0.

1. Pour quels couples (n, p) la courbe C_n consid´er´ee comme courbe surF^p est-elle lisse ? 2. Montrer que pour n=p−1 on a|C_n(Fp)|= 0.

Exercice 3.4.8 Soit V ⊂Pⁿ une vari´et´e projective d´efinie sur le corps fini Fq. 1. Montrer que l’application

ϕ :Pⁿ →Pⁿ, [x₀, . . . , x_n]7→[x^q₀, . . . x^q_n] d´efinit un morphisme ϕ :V →V, appel´e le morphisme de Frobenius.

2. Montrer queϕ induit une bijectionϕ_K :V(K)→V(K) pour toute extension K/Fq. 3. SoitF^q(V) le corps de fonctions de la vari´et´eV. On note i:F^q(V)→F^q(V) l’application

d´efinie par i(f) =f ◦ϕ. Calculer le degr´e [Fq(V) :i(Fq(V))]. En d´eduire queϕ n’est pas un isomorphisme.

4. Montrer queV(Fq) ={P ∈V | ϕ(P) =P}.

Chapitre 4

Courbes projectives

4.1 Anneau de valuation discr` ete 4.2 Diviseurs et groupe de Picard

d´efinir Div(C) et Div₊(C).

d´efinir le nombre δ ∈N^∗ comme ´etant l’entier δ tel que l’image de l’homomorphisme deg : Pic(C)→Z soit ´egal `aδZ.

Proposition 4.2.1 Soit D∈Div(C). Alors on a les assertions suivantes 1. L’ensemble L_k(D) est un k-espace vecoriel.

2. Si D1 ∼D2, alors Lk(D1)∼=Lk(D2).

3. Si degD <0, alors L_k(D) ={0}.

4. Si degD≥0, alors dimL_k(D)≤degD+ 1.

En particulier L_k(D) est un k-espace vectoriel de dimension finie. On notera cette dimension l(D).

D´emonstration. Montrons d’abord que Lk(D) est un k-espace vectoriel. Prenons ϕ, ϕ⁰ ∈ L_k(D)⊂k(C). On a donc les deux relations div(ϕ) +D≥0 et div(ϕ⁰) +D≥0. EcrivonsD = P

P n_PP avecn_P ∈ Z. Pour tout point ferm´e P ∈ C on sait que la fonction ord_P :k(C)^∗ →Z est une valuation, c’est-`a-dire

ord_P(ϕ+ϕ⁰)≥min(ord_P(ϕ),ord_P(ϕ⁰)).

Or comme ord_P(ϕ)≥ −n_P et ord_P(ϕ⁰)≥ −n_P, on obtient par cons´equent que ord_P(ϕ+ϕ⁰)≥

−n_P pour tout P ∈ C, c’est-`a-dire ϕ +ϕ⁰ ∈ L_k(D). De plus comme div(λϕ) = div(ϕ) pour tout λ ∈k^∗, on en d´eduit (1).

Si D1 ∼ D2, il existe ϕ0 ∈ k(C)^∗ tel que D2 = D1 + divϕ0. Consid´erons l’application k- lin´eaire µ:k(C)→k(C) d´efinie par la multiplication parϕ₀, c’est-`a-dire µ(ϕ) =ϕϕ₀. Alors µ induit un isomorphisme

µ:L_k(D₂)→ L_k(D₁) µ(ϕ) = ϕϕ₀. 25

En effet pourϕ ∈ L_k(D₂) on a les ´egalit´es

div(µ(ϕ) +D₁) = divϕ+ divϕ₀ +D₁ = divϕ+D₂ ≥0, c’est-`a-direµ(ϕ)∈ Lk(D1). Il est clair queµ est un isomorphisme.

Supposons qu’il existe un ´el´ement non nul ϕ ∈ L_k(D). Alors div(ϕ) + D est un diviseur effectif, donc deg(div(ϕ) +D) ≥ 0. Or d’apr`es la proposition ?? on sait que deg div(ϕ) = 0.

D’o`u degD≥0. Ceci prouve l’assertion (3).

Montrons l’implication (4). SiL_k(D) = {0} il n’y a rien `a montrer. On peut donc supposer qu’il existe un diviseur effectif ∆ avec ∆ ∼ D. D’apr`es (2) on a un isomorphisme L_k(D) ∼= L_k(∆). Ecrivons ∆ = P

P n_PP et choisissons une uniformisante t_P ∈ O_P ⊂ k(C) pour tout point ferm´eP du support de ∆. Soitϕ ∈ L_k(∆). Par d´efinition deL_k(∆) on a donc ord_P(ϕ)≥

−n_P et de mani`ere ´equivalent ord<sub>P</sub>(ϕt<sup>n</sup><sub>P</sub><sup>P</sup>)≥0, c’est-`a-direϕtⁿ_P^P ∈ O_P. On peut donc consid´erer l’applicationk-lin´eaire

ev_∆:L_k(∆) −→M

P

O_P/Mⁿ_P^P ϕ7→(ϕtⁿ_P^P mod Mⁿ_P^P)

D’apr`es?? on sait queO<sub>P</sub>/M<sup>n</sup><sub>P</sub><sup>P</sup> est unk<sub>P</sub>-espace vectoriel de dimension n<sub>P</sub>, donc un k-espace vectoriel de dimensionnP degP. Le noyau de ev∆est alors le sous-espace vectoriel des fonctions rationnellesϕ qui v´erifient ord<sub>P</sub>div(ϕt<sup>n</sup><sub>P</sub><sup>P</sup>)≥n<sub>P</sub>, ou de mani`ere ´equivalent ord_P divϕ ≥0 pour tout point ferm´e P. Ainsi on obtient queϕ est une fonction rationnelle sans pˆoles et d’apr`es la prop ??ev∆=Lk(0) =k. Le th´eor`eme du rang donne alors l’in´egalit´e annonc´ee.

4.3 Formes diff´ erentielles

4.4 Le th´ eor` eme de Riemann-Roch

Th´eor`eme 4.4.1 (Riemann-Roch) Soit C une courbe projective lisse et soit ω un diviseur canonique de C. On note g le genre de C. Alors pour tout diviseur D∈Div(C)on a la relation

l(D)−l(ω−D) = degD+ 1−g.

4.5 Exercices

Exercice 4.5.1 D´eterminer tous les points ferm´es de degr´e 1, 2 et 3 de la droite projective P¹_F2 d´efinie sur le corps F². Pour chaque point de P¹_F2 donner l’orbite sous le groupe de Galois Gal(F2) dans la droite projectiveP¹_F

2 d´efinie sur la clˆoture alg´ebrique F2.

R´eponse :D’apr`es le cours les points ferm´es de degr´eddeP<sup>1</sup><sub>F2</sub> correspondent aux polynˆomes irr´eductible de degr´eddeF2[t]. On rajoute le point∞qui est de degr´e 1. On obtient ainsi : degr´e 1 :T etT+1 ; degr´e 2 :T<sup>2</sup>+T+1, l’orbite associ´ee dansP<sup>1</sup><sub>F2</sub> est ´egale `a{(x,1); (x+1,1)} ⊂P¹(F⁴) o`u l’on utilise F4 =F2[x] avecx une racine deT²+T + 1 ; degr´e 3 : T³+T + 1 et T³+T²+ 1.

Il y a trois points dans chaque orbite.

4.5. EXERCICES 27 Exercice 4.5.2 (diviseurs sur la droite projective) On introduit des coordonn´ees homog`enes [x, y] sur la droite projectiveP¹d´efinie sur un corpsk. On note 0 = [0,1], 1 = [1,1] et∞= [1,0].

1. Montrer que le corps de fonctions k(P¹) est isomorphe `a l’extension transcendante pure k(t), o`ut d´esigne la fonction rationnelle t= ^x_y.

2. D´eterminer les anneaux locaux O₀,O₁, O_∞ (⊂k(P¹)) aux points 0,1 et∞ et donner des uniformisantes t₀, t₁ ett∞ en fonction de t.

3. Calculer les diviseurs principaux div(t₀),div(t₁),div(t∞).

4. Montrer que tout diviseur de degr´e 0 surP¹ est principal.

5. En d´eduire que Pic(P¹) = Z.

Exercice 4.5.3 D´eterminer le diviseur principal div(ϕ)∈Div(P¹k) avec ϕ(T) = T³ −2

T² −3 ∈k(T) = k(P¹) dans les cas suivants k=Q, k =Q etk =F⁵.

Exercice 4.5.4 Soitk un corps eta₁, a₂, a₃ ∈ktrois ´el´ements distincts. On introduit la courbe projective C/k d’´equation affine

y² = (x−a₁)(x−a₂)(x−a₃).

1. Donner l’´equation homog`ene de la courbe projective C ⊂P<sup>2</sup>. On notera les coordonn´ees homog`enes [x, y, z].

2. Montrer qu’il existe un seul point de C sur la droite `a l’infini, donn´ee par l’´equation homog`ene z = 0. On notera ce point P∞. Donner les coordonn´ees deP∞ et son degr´e sur k.

3. Montrer que la courbe C est lisse.

4. On noteP_i = [a_i,0,1]∈P²(k) pouri= 1,2,3. D´eterminer les anneaux locauxO_Pi ⊂k(C) et donner des uniformisantes. Donner le degr´e du point P_i.

5. D´eterminer l’anneau localOP∞ et donner une uniformisante.

6. Montrer les ´egalit´es suivantes

div(y) = div(dx) = P₁+P₂+P₃−3P∞. 7. En d´eduire le degr´e de la classe canonique et le genre de C.

Exercice 4.5.5 On consid`ere le point ferm´e P de la droite projective P¹_Q d´etermin´e par le polynˆome

p(T) = 1 +T +T²+. . .+T^p−1.

1. V´erifier que le polynˆome p est irr´eductible surQ.

2. Donner la dimension du Q-espace vectoriel L_Q(P). Donner une base de cet espacce vec- toriel.

Exercice 4.5.6 Soit P ∈ k[T] un polynˆome irr´eductible de degr´e d et soit φ_P : P¹ −→ P¹ l’application rationnelle d´efinie par les ´equations φ_P(x, y) = (y^dP(^x_y), y^d)

1. Montrer queφ_P est un morphisme et d´eterminer son degr´e.

2. Soit Q∈P¹. D´eterminer l’ensembleφ⁻¹_P (Q) = {R∈P¹ | φ_P(R) = Q}.

Chapitre 5 Fonction zˆ eta

Dans ce chapitre k d´esigne un corps fini.

5.1 Courbes projectives sur un corps fini

Soit C une courbe projective lisse d´efinie sur k=Fq. Parfois on notera aussi C_k au lieu de C s’il faut pr´eciser le corps des constantes de la courbe C.

Proposition 5.1.1 Soit d₀ ∈ N. Il n’existe qu’un nombre fini de points ferm´es P ∈ C avec degP ≤d0.

D´emonstration.Choisissons une fonction rationnelleϕ∈k(C)^∗ et consid´erons le morphisme (d´efini surk) associ´e

π_ϕ :C −→P¹.

Soit Q∈C un point ayant un degr´e ≤d₀. Notons P =π_ϕ(Q)∈P¹. Alors d’apr`es le lemme??

degP ≤degQ≤d₀. On a vu dans ? ? ? que les points ferm´es de degr´e d de la droite projective P¹ correspondent aux polynˆomes irr´eductibles dek[t] de degr´ed(si l’on omet le point `a l’infini !).

Or comme k est fini, il n’y a qu’un nombre fini de polynˆomes de degr´e ≤d₀, et par cons´equent il n’y a qu’un nombre fin de points ferm´es de degr´e ≤ d₀. De plus d’apr`es la proposition ?? il y a au plus [k(C) : k(ϕ)] points Q qui dominent P. Ainsi il n’y a qu’un nombre fini de points Q de C de degr´e≤d₀.

Remarque.

Fixons un entier d ∈ N. Il est imm´ediat de voir que le nombre de points Fq^d-rationnels de C est fini. En effet l’ensembleC(Fq^d) est contenu dansPⁿ(Fq^d), qui est fini. Voir la proposition 5.1.1 pour le calcul de |Pⁿ(Fq^d)|.

On renvoie `a la section 4.2 pour la d´efinition du groupe de Picard deC.

Proposition 5.1.2 On a les assertions suivantes

1. La composante de degr´e 0 du groupe de Picard Pic⁰(C) est un groupe ab´elien fini.

2. Les ensembles Pic^d(C), pour d∈Z, sont finis et de mˆeme cardinal, not´e h(C).

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D´emonstration. On va d’abord montrer que les ensembles Pic^d(C) sont finis si d > g−1.

Consid´erons D ∈ Pic^d(C). D’apr`es le th´eor`eme de Riemann-Roch (Th´eor`eme 4.4.1) on a l(D) =l(K− D) +d+ 1−g >0.

Donc il existe un diviseur effectifD∈Div^d₊(C) qui est dans la classe D. En ´ecrivant D=X

P

n_PP et degD =X

n_PdegP

on constate que pour tout point ferm´e P du support de D on a l’in´egalit´e ´evidente degP ≤ degD = d. Comme il n’y a qu’un nombre fini de points P ∈ C de degr´e ≤ d, il n’y a qu’un nombre fini de diviseurs effectifs de degr´e ≤d. On en d´eduit que Pic^d(C) est fini.

Montrons maintenant que le cardinal de Pic^d(C) ne d´epend pas ded. Rappelons que l’image de l’homomorphisme deg : Pic(C) → Z est un sous-groupe δZ ⊂ Z avec δ ∈ N^∗. Consid´erons deux entiers d₁, d₂ ∈ δZ et choisissons D₁ ∈ Pic^d1(C) et D₂ ∈ Pic^d2(C). On v´erifie alors facilement que l’application

Pic^d1(C)−→Pic^d2(C), D 7→ D+D₂− D₁ est une bijection entre Pic^d1(C) et Pic^d2(C).

On vient de montrer aussi la

Proposition 5.1.3 Pour tout d∈N l’ensemble Div^d₊(C) est fini.

Remarque.

Les ensembles Pic^d(C) pour d 6= 0 ne sont pas des sous-groupes de Pic(C). Cependant il existe pour toutd ∈Zdes bijections (qui sont non-canoniques)

φ: Pic^d(C)−→^∼= Pic⁰(C)

qui induisent une structure de groupe sur Pic^d(C). La bijection est en fait d´etermin´ee par le choix d’un ´el´ement D ∈ Pic^d(C), qui est envoy´e par φ sur la classe du diviseur nul.

Lemme 5.1.1 SoitD∈Div(C). Le nombre de diviseurs effectifs lin´eairement ´equivalents `aD est ´egal `a

q^l(D)−1

q−1 =|P^l(D)−1(Fq)|.

D´emonstration. Soit ∆ un diviseur effectif lin´eairement ´equivalent `aD. Alors ∆−D= divϕ avecϕ ∈ L_k(D). Invers´ement soient ϕ, ψ∈ L_k(D) tel que

∆ =D+ divϕ =D+ divψ.

Alors divϕ −divψ = 0, ce qui implique div_ψ^ϕ = 0. D’apr`es la proposition ?? cette relation entraine <sub>ψ</sub><sup>ϕ</sup> ∈ k(C)∩k =k. Il existe donc c∈k tel que ϕ =cψ. Ainsi l’ensemble des diviseurs effectifs lin´eairement ´equivalents `a D est ´egal `a l’ensemble des points de l’espace projectif PL_k(D). Comme cet espace est de dimensionl(D)−1 on calcule ais´ement le nombre de points Fq-rationnels. Voir aussi exercice ??.