Th´eor`eme d’irr´eductibilit´e de Hilbert

Pierre D` ebes

Chapitre 1: PR´ ELIMINAIRES D’ALG` EBRE COMMUTATIVE Chapitre 2: LA PROPRI´ ET´ E DE SP´ ECIALISATION DE HILBERT Chapitre 3: CORPS HILBERTIENS

Chapitre 4: APPLICATIONS DE LA PROPRI´ ET´ E DE HILBERT

Chapitre 5: PARTIES HILBERTIENNES DES CORPS DE NOMBRES

CHAPITRE 1

PR ´ ELIMINAIRES D’ALG ` EBRE COMMUTATIVE 1. Anneaux, id´ eaux: g´ en´ eralit´ es

1.1. Topologie de Zariski.

1.1.1. Les espaces affines Aⁿ. Soient k un corps et n≥ 1 un entier. On d´efinit l’espace affine Aⁿ(k) comme l’ensemble des n-uplets (a1, . . . , an) `a composantes dans k. Etant donn´e un sous-ensemble P de k[X₁, . . . , X_n], on note

Z(P) ={(a₁, . . . , a_n)∈Aⁿ(k)|P(a₁, . . . , a_n) = 0 pour tout P ∈ P}

On peut dans cette d´efinition remplacer P par l’id´eal engendr´e par P dans l’anneau k[X1, . . . , Xn]. Comme cet anneau est noeth´erien, on peut aussi trouver un sous- ensemble fini P_f ⊂k[X₁, . . . , X_n] tel que Z(P) =Z(P_f).

Les ensembles de la forme Z(P) sont appel´es les ensembles alg´ebriques de Aⁿ(k).

Si P ne consiste qu’en un seul polynˆome non nul, Z(P) est appel´ee unehypersurface de Aⁿ(k). On v´erifie sans peine que les ensembles alg´ebriques sont les ferm´es d’une topologie sur Aⁿ(k). Cette topologie est appel´ee la topologie de Zariski.

Remarques 1.1. (a) Pour n= 1, les ensembles alg´ebriques sont les parties finies de A¹(k) et l’ensemble A¹(k). Les ouverts de la topologie de Zariski de la droite affine A¹(k) sont donc les compl´ementaires de parties finies et l’ensemble vide.

(b) Les ensembles finis sont ferm´es pour la topologie de Zariski. En effet, tout singleton {(a₁, . . . , a_n)} s’´ecritZ(X₁−a₁, . . . , X_d−a_d). Cependant, la proposition 1.2 indique que, si k est infini, la topologie de Zariski n’est pas s´epar´ee. Cela n’est pas vrai si k fini: la topologie de Zariski sur Aⁿ(k) est dans ce cas la topologie discr`ete.

Un espace topologique non vide X est dit irr´eductible s’il satisfait les conditions

´equivalentes suivantes:

(i) Toute intersection de deux ouverts non vide est non vide.

(ii) Toute r´eunion de deux ferm´es propres de X est distincte deX. (iii) Tout ouvert non vide est dense.

(iv) Tout ferm´e propre est d’int´erieur vide.

(v) Tout ouvert est connexe.

Proposition 1.2 — Si k est infini, l’espace affine Aⁿ(k) est irr´eductible.

Preuve. Si la condition (ii) n’´etait pas satisfaite, on pourrait trouver deux hypersur- facesZ(P) etZ(Q) avecP, Q ∈k[X1, . . . , Xn] non nuls tels queAⁿ(k) =Z(P)∪Z(Q) (noter qu’un ferm´e est toujours inclus dans une hypersurface). Mais alors on aurait Aⁿ(k) =Z(P Q). Comme k est infini, cela entraˆıne classiquement queP Q= 0, ce qui contredit P 6= 0 et Q6= 0.

1.1.2. La topologie des sch´emas affines. Etant donn´e un anneau A, le spectre de Aest d´efini ensemblistement comme l’ensemble, not´e Spec(A) des id´eaux premiers de A. Siaest un id´eal quelconque deA, on d´efinit l’ensembleZ(a) comme l’ensemble des id´eaux premiers p ∈ Spec(A) qui contiennent a. On v´erifie sans peine les assertions suivantes.

Proposition 1.3 —(a) Sia etbsont deux id´eaux deA, alorsZ(ab) =Z(a)∪Z(b).

(b) Si (ai)i est une famille quelconque d’id´eaux de A, alors Z(P

iai) =T

iZ(ai).

(c) Si a et b sont deux id´eaux de A, Z(a)⊂Z(b) si et seulement si √ a⊃√

b.

Ci-dessus, √

I pour un id´eal donn´e I ⊂ A, d´esigne le radical de l’id´eal I, i.e., l’ensemble des ´el´ements x ∈A tels que xⁿ ∈I pour un entier n≥0.

Il r´esulte de la proposition 1.3 que les ensemblesZ(a), appel´es ensembles alg´ebri- ques, o`u a d´ecrit l’ensemble des id´eaux de A, sont les ferm´es d’une topologie sur Spec(A). On l’appelle la topologie de Zariski.

Pour toutI ∈Spec(A), l’adh´erence{I}est clairementZ(I). Les id´eaux maximaux de Spec(A) sont donc des ferm´es de Spec(A), appel´es les points ferm´es. Si A est int`egre, l’id´eal nul 0 est un id´eal premier, appel´e lepoint g´en´erique de Spec(A); il est dense dans Spec(A). En particulier Spec(A) est irr´eductible. Plus g´en´eralement, un ferm´e Z(I) est irr´eductible si et seulement si √

I est un id´eal premier de A.

Exemples 1.4. (1) Pour A = Z, Spec(A) est l’ensemble form´e des id´eaux premiers pZ, o`u p est un nombre premier, et de l’id´eal nul. Pour tout n∈ Z, le ferm´e Z(nZ) correspond `a l’ensemble des diviseurs premiers de n.

(2) Prenons A = k[X1, . . . , Xn] avec k alg´ebriquement clos. On sait, d’apr`es le th´eor`eme des z´eros de Hilbert, que les id´eaux maximaux de A, sont les id´eaux de la forme < X1 −a1, . . . , Xn − an > avec (a1, . . . , an) ∈ kⁿ. Les points ferm´es de Spec(A) correspondent donc aux points usuels de Aⁿ(k). De plus, dire qu’un id´eal a de A est contenu dans un tel id´eal maximal < X1−a1, . . . , Xn−an >revient `a dire que f(a<sub>1</sub>, . . . , a<sub>n</sub>) = 0 pour toutf ∈a. L’ensemble des points ferm´es dans Z(a) coin- cide donc avec la notion d’ensemble alg´ebrique Z(a) dans l’espace affine A<sup>n</sup>(k) d´efini plus haut. On note A<sup>n</sup>k le sch´ema affine Spec(k[X<sub>1</sub>, . . . , X<sub>n</sub>]) muni de la topologie de Zariski; sa restriction aux points ferm´es est l’espace affine A<sup>n</sup>(k). Il y a d’autres points dans A<sup>n</sup>k que ceux de A<sup>n</sup>(k): il y a par exemple le point g´en´erique, les points correspondants `a des id´eaux principaux engendr´es par des ´el´ementsf ∈k[X1, . . . , Xn] irr´eductibles, c’est-`a-dire, les hypersurfaces irr´eductibles f(x₁, . . . , x_n) = 0, etc.

Dans la suite, nous dirons parfois qu’une propri´et´e P(x1, . . . , xn) est vraie pour tout (x1, . . . , xn) ∈ Aⁿ(k) en dehors d’un ferm´e de Zariski. Cela signifie qu’il existe un ferm´epropre, qu’on peut prendre de la formeZ(f) avecf ∈k[X1, . . . , Xn] (f 6= 0), tel que la propri´et´e est vraie pour tout (x₁, . . . , x_n)∈Aⁿ(k) tel quef(x₁, . . . , x_n)6= 0.

Plus g´en´eralement, on pourra parler de propri´et´e vraie pour tout id´eal premier d’un anneauA sauf dans un ferm´e de Zariski.

1.2. Anneaux de fractions, anneaux locaux. [Sa;Ch.V§1], [Se1;p.21]. Soient A un anneau int`egre, de corps des fractions K et S une partie multiplicative (i.e., stable pour la multiplication, contenant 1 et ne contenant pas 0). L’ensemble des

´el´ements de la forme x/s, x ∈ A, s ∈ S est un anneau que l’on note S⁻¹A. La correspondance x → x/1 d´efinit un morphisme d’anneau injectif (on a suppos´e A int`egre), ce qui permet d’identifier A `a un sous-anneau de S⁻¹A.

Proposition 1.5 — Soit S une partie multiplicative d’un anneau int`egre A. Si I est un id´eal de A, l’ensemble S⁻¹I est un id´eal de S⁻¹A, engendr´e par I, vu comme partie de S⁻¹A.

L’application I →S⁻¹I induit

• une bijection de l’ensemble ordonn´e des id´eaux de A v´erifiant la condition

“sa∈I, s∈S, a ∈A⇒a ∈I” sur l’ensemble ordonn´e des id´eaux de S⁻¹A, et

•une bijection de l’ensemble ordonn´e des id´eaux premiers deA tels queI∩S =

∅ sur l’ensemble ordonn´e des id´eaux premiers de S⁻¹A.

Les bijections r´eciproques sont d´efinies par la correspondance I⁰ →I⁰∩A.

Exemple 1.6. Si A est un anneau et f ∈ A un ´el´ement non nilpotent, l’ensemble des puissances enti`eres fⁿ de f est une partie multiplicative. Nous noterons Af^∞

l’anneau de fractions correspondant. Par exemple, si A = Z et f = 10, A_f^∞ est l’ensemble des nombre d´ecimaux. D’apr`es la proposition 1.5, les id´eaux premiers de A_f^∞ sont en bijection avec les id´eaux premiers de A ne contenant pas f; autrement dit, Spec(Af^∞) est en bijection avec l’ouvert de Zariski Spec(A)−Z((f)) de Spec(A).

Si A = k[X₁, . . . , X_n] avec k alg´ebriquement clos, les points ferm´es de Spec(A_f^∞) correspondent aux points ferm´es (x1, . . . , xn)∈Aⁿk tels que f(x1, . . . , xn)6= 0.

Proposition/D´efinition 1.7 — SoitA un anneau. Les conditions suivantes sont

´equivalentes:

(i) A ne poss`ede qu’un id´eal maximal M.

(ii)Le compl´ementaire dans A de l’ensemble A^× des ´el´ements inversibles de A est un id´eal de A.

Un anneau satisfaisant ces conditions est appel´e anneau local. L’ensemble des in- versibles est le compl´ementaire de l’unique id´eal maximal de A.

Preuve. (i) ⇒(ii). Montrons que le compl´ementaire deA^× est l’id´eal M. Six ∈ M alorsx /∈A^×. R´eciproquement, six /∈ M, alorsxn’appartient `a aucun id´eal maximal de A. D’o`u Ax = A puisque d’apr`es le lemme de Zorn, tout id´eal propre peut ˆetre inclus dans un id´eal maximal. L’´egalit´eAx=A entraˆıne quex∈A^×.

(ii)⇒(i). Le compl´ementaireIdeA^×est un sous-ensemble propre deA(1∈/ I) qui contient n´ecessairement tout id´eal propreP deA(carP 6⊂I ⇒ P∩A^× 6=∅ ⇒ P =A).

Si I est un id´eal, il est donc n´ecessairement le plus grand id´eal propre de A, et en particulier le seul id´eal maximal de A.

Les localis´es d’anneau sont des exemples fondamentaux d’anneaux locaux. Etant donn´e un anneau int`egre A et p un id´eal premier de A, l’ensemble S = A−p est

une partie multiplicative. L’anneau S⁻¹A est un anneau local, qu’on note Ap: en effet, les inversibles de cet anneau sont les ´el´ements de S⁻¹S dont le compl´ementaire S⁻¹p = pAp est un id´eal, l’unique id´eal maximal de A. Les id´eaux premiers de Ap

correspondent aux id´eaux premiers de A contenus dans p.

1.3. Anneaux de valuation. ([Se1;p.17, p.43], [FrJa;pp.11–15, p.135], [P6- AlgCo; Ch.VIII]]). Un groupe ab´elien Γ muni d’une relation ≤ est appel´e groupe ordonn´esi≤est une relation d’ordre total compatible avec la loi de groupe de Γ (not´ee additivement). Etant donn´e un corps F, une valuation sur F est un homorphisme v: (K^×,×)→(Γ,+) v´erifiant v(x+y)≥min(v(x), v(y)). On convient g´en´eralement que v(0) = ∞. Le sous-groupe v(F^×) ⊂ Γ est appel´e groupe des valeurs de v.

L’ensemble Ov = {a ∈F|v(a) ≥0} est un anneau local appel´e anneau de valuation;

son id´eal maximal est M_v ={a ∈F|v(a)>0} et le groupe des inversibles de O_v est O^×_v ={a ∈F|v(a) = 0}. Le corps Ov/Mv est appel´e corps r´esiduel de v.

La valuation v est dite discr`ete si v(F<sup>×</sup>) est isomorphe `a Z (quitte `a multiplier v par un ´el´ement de Γ, on peut alors supposer que v(F^×) =Z). Dans ce cas l’anneau O_v est principal. Tout ´el´ement π de valuation 1 est un g´en´erateur de M_v, appel´e uniformisante de Ov. Les id´eaux de Ov sont les puissances Mⁿ_v = πⁿOⁿ_v de Mv

(n >0).

R´eciproquement, tout anneau A local principal qui n’est pas un corps est un anneau de valuation discr`ete. En effet, siπ est un g´en´erateur de l’id´eal maximal (non nul), les id´eaux de A sont les id´eaux principaux (π<sup>n</sup>) (n > 0). Tout ´el´ement x 6= 0 dans le corps des fractions F de A, s’´ecrit de fa¸con unique x =π<sup>n</sup>u avec n ∈Z et u inversible. L’entier n ne d´epend pas du choix de π; on le note v(x). On v´erifie sans peine que l’applicationv:K<sup>×</sup> →Zd´efinit une valuation discr`ete surF pour laquelle O_v =A et M_v = (π).

Remarques 1.8. (a) Plus g´en´eralement, un anneau A int`egre noeth´erien, local, qui n’est pas un corps et dont l’id´eal maximal est principal, est n´ecessairement un anneau de valuation discr`ete. En effet, si mest un g´en´erateur de l’id´eal maximal, on montre que tout ´el´ement z ∈A, z 6= 0, s’´ecrit de fa¸con uniquez =utⁿ, avecz ∈A^× etn∈N. L’unicit´e est imm´ediate (noter que l’int´egrit´e de A permet de simplifier par t). Pour l’existence, on note que si z /∈ A^×, alors z est dans l’id´eal maximal et s’´ecrit donc z = z1m avec z1 ∈A. Le probl`eme est termin´e si z1 ∈ A<sup>×</sup>. Sinon on peut raisonner de la mˆeme fa¸con sur z<sub>1</sub>: on a z<sub>1</sub> = z<sub>2</sub>m avec z<sub>2</sub> ∈ A. Il s’agit de montrer qu’apr`es un nombre fini nde r´ep´etitions de l’argument, len-i`eme ´element construitzn est une unit´e. Dans le cas contraire, on aurait une suite (z_n)_n>0 d’´el´ements de A tels que zn =mzn+1 (n >0). L’anneauA´etant noeth´erien, on auraitAzn =Azn+1 pour tout n assez grand. Mais alors on aurait z_n+1 = vz_n = vmz_n+1, et donc vm = 1, ce qui est absurde puisque m /∈A^×.

On peut mˆeme montrer que pour qu’un anneau A soit un anneau de valuation discr`ete, il suffit (et il faut) que A soit un anneau local noeth´erien, et que son id´eal maximal soit engendr´e par un ´el´ement non nilpotent [Se1;Ch.1 §2].

(b) Il r´esulte aussi de la d´ecomposition des id´eaux dans un anneau de Dedekind que tout anneau de Dedekind local (qui n’est pas un corps) est n´ecessairement principal

et donc aussi un anneau de valuation discr`ete: voir que siMest l’id´eal maximal, tout

´el´ement de M−M² est n´ecessairement un g´en´erateur de M.

Exemples 1.9. (a) Pour tout nombre premier p, la valuation p-adique est une valu- ation discr`ete surQ. L’anneau de valuation discr`ete correspondant est l’anneau local Z(p). Plus g´en´eralement, siLest un corps de nombres,A⁰_Ll’anneau de ses entiers, tout id´eal premier P d´etermine une valuation discr`ete sur L, appel´ee valuation P-adique.

L’anneau de valuation discr`ete correspondant est l’anneau local A⁰_P.

(b) Plus g´en´eralement, si A est un anneau de Dedekind qui n’est pas un corps, tout id´eal premierP d´etermine une valuation discr`ete sur le corps des fractionsL (appel´ee valuation P-adique). L’anneau de valuation discr`ete associ´e est l’anneau local A_P. (c) Un autre cas particulier important est celui o`u A = k[X] o`u k est un corps et P = (P(X)) avec P(X) ∈ k[X] polynˆome irr´eductible. Par exemple, la valuation (X−x_o)-adique not´ee v_X−xo ou ord_xo qui correspond `a P(X) =X−x_o avec x_o ∈k.

La valuation 1/X-adique v_1/X, not´ee aussi ord_∞, est un autre exemple de valuation discr`ete sur k(X): elle est d´efinie, pour tout f(X) ∈ k(X)^×, par v_∞(f(X)) =−n si et seulement si on peut ´ecrire f(X) =X^{n a}_b(1/x)^(1/X) avec a, b ∈k[T] premiers entre eux tels que a(0) 6= 0, b(0) 6= 0. Pour cette valuation, 1/X est une uniformisante (ainsi que tout ´el´ement du type 1/(X −x) avec x∈k).

(d) L’id´eal I = (X₁, . . . , X_n) de l’anneau A = k[X₁, . . . , X_n] (o`u k est un corps) est un id´eal maximal. Mais l’anneau local AI n’est pas un anneau de valuation discr`ete si n ≥ 2: en effet, les id´eaux (X₁) et (X₁, X₂) dans l’anneau A_I sont premiers, et (X1) ⊂

6= (X1, X2); il existe dans AI donc des id´eaux premiers non maximaux, au contraire des anneaux principaux. Notons cependant que I v´erifieT

n≥0Iⁿ ={0}.

Soit v une valuation discr`ete sur un corps K; plus g´en´eralement, la d´efinition suivante est valable si K est le corps des fractions d’un anneau A poss´edant un id´eal I v´erifiant T

n≥0Iⁿ ={0}. On d´efinit une valeur absolue | |_v et une distance d surK en posant

(|a|v = 2^−v(a), a ∈K d(a, b) =|a−b|_v, a, b∈K

Dans le cas plus g´en´eral,v(a) est d´efini comme le plus grand entier n tel que a∈Iⁿ. La valeur absolue | |v et la distance d sont ultram´etriques; c’est-`a-dire, l’in´egalit´e triangulaire prend la forme

|a+b|v ≤max(|a|v,|b|v)

Il en r´esulte des propri´et´es m´etriques particuli`eres (laiss´ees en exercice [Am;§2.2]):

- si |a|_v 6=|b|_v alors |a+b|_v = max(|a|_v,|b|_v), - tous les triangles sont isoc`eles,

- tout point d’une boule en est le centre,

- deux boules sont soit disjointes soit comparables (pour l’inclusion),

- toute boule est `a la fois ouverte et ferm´ee, en particulier l’anneau de valuation O_v (qui est la boule de rayon 1 centr´ee en 0),

- un espace m´etrique ultram´etrique est totalement discontinu,

- une suite (a_n)_n>0 est de Cauchy si et seulement sid(a_n, a_n+1) tend vers 0 quand n→+∞, etc.

On montre aussi sans peine [Am;§2.3] que le compl´et´e Ocv est un anneau de valu- ation d’id´eal maximal engendr´e par tout uniformisante de O_v. Le corps des fractions de Ov coincide avec le compl´et´e Kb de K. De plus, le groupe des valeur et le corps r´esiduel de la valuation sont les mˆemes pour K et K.b

Exemples 1.10.(a) L’anneauZ(p), le corpsQne sont pas complets pour la m´etrique p-adique. Leurs compl´et´es sont respectivement not´es Zp et Qp et appel´es l’anneau des entiers p-adiques et le corps des nombres p-adiques. De mˆeme, k[X] et k(X) ne sont pas complets pour la valeur absolue (X −x_o)-adique (x_o ∈ k). Les compl´et´es sont respectivement l’anneau k[[X − xo]] des s´eries formelles et le corps k((X − x_o)) des s´eries de Laurent formelles. Pour 1/X `a la place de X −x<sub>o</sub> (i.e., ∞ `a la place de xo), on obtient l’anneau k[[1/X]] et le corps k((1/X)). On montre sans difficult´es que l’anneau compl´et´e k[[X −x_o]] et son corps des fractions k((X −x_o)) sont respectivement isomorphes aux anneaux

( _∞ X

i=0

a_i(X−x_o)ⁱ | (a_i)_i≥0 ∈k^N )

( _∞ X

i=io

ai(X −xo)ⁱ | io ∈Z et (ai)i≥io ∈k^{Z∩[io,+∞]}

)

munis des lois ´evidentes. Une description similaire peut ˆetre donn´ee pour l’anneau Zp et le corps Qp des nombres p-adiques [Am;§1.3].

(b) On appelleanneau de s´eries formelles `anind´etermin´eessur un corpskle compl´et´e de l’anneau A = k[X1, . . . , Xn] pour la m´etrique associ´ee `a l’id´eal I = (X1, . . . , Xn) d´efinie ci-dessus; on note k[[X₁, . . . , X_n]] cet anneau. C’est un anneau local d’id´eal maximal engendr´e par (X1, . . . , Xn). Une description comme dans le (a) peut ˆetre donn´ee [P6-AlgCo].

Th´eor`eme 1.11 (lemme de Hensel) — Soit A un anneau de valuation discr`ete complet d’id´eal de valuation I, ou plus g´en´eralement un anneau A local dont l’id´eal maximal I v´erifie T

n≥0Iⁿ = {0} et qui est complet pour la m´etrique associ´ee `a I. Soit κ = A/I le corps r´esiduel. Soit f(X) ∈ A[X] un polynˆome tel que le polynˆome r´eduit f¯∈ κ[X] ait une racine simple λ ∈ κ. Alors il existe une racine x de f dans A, et une seule, telle que x¯=λ.

Preuve. L’unicit´e est facile. Pour l’existence, on utilise la m´ethode d’approximation de Newton. Soit x1 ∈A tel que ¯x1 =λ; on af(x1)≡0 [mod I].

Supposons avoir trouv´e xn ∈ A tel que ¯xn = λ et f(xn) ≡ 0 [mod Iⁿ]. Pour h∈Iⁿ, la formule de Taylor donne

f(xn+h) =f(xn) +f⁰(xn)h+yh² avec y ∈A

Commeyh² ∈I²ⁿ⊂Iⁿ⁺¹, on af(xn+h)≡0 [mod Iⁿ⁺¹] si et seulement si f(xn) +f⁰(xn)h≡0 [mod Iⁿ⁺¹]

Commeλ est racine simple de ¯f, on a ¯f⁰(λ)6= 0; cela donnef⁰(x_n)∈/ I et doncf⁰(x_n) est inversible dans l’anneau local A. Comme f(xn) et h sont dans Iⁿ, on en d´eduit que l’´equation ci-dessus a une solution (unique) h_n. Posons x_n+1 =x_n+h_n

Le proc´ed´e pr´ec´edent fournit une suite (x_n)_n>0d´el´ementsx_n∈Av´erifiant ¯x_n =λ, xn+1 ≡ xn [mod Iⁿ] et f(xn) ≡ 0 [mod Iⁿ]. Cette suite est clairement de Cauchy.

Dans l’espace m´etrique complet A, elle converge donc vers un ´el´ement x∈ A, lequel v´erifie f(x) = 0.

D´efinition 1.12 — Un anneau A muni d’un id´eal maximal I pour lequel la con- clusion du lemme de Hensel est vraie est dit hens´elien. Un corps est appel´e hens´elien si c’est le corps des fractions d’un anneau hens´elien.

2. Extensions int´ egrales

Proposition/D´efinition 2.1 — Soient A un sous-anneau d’un anneau B et x∈ B. Les conditions suivantes sont ´equivalentes:

(i) Il existe a₁, . . . , a_n ∈A tels que xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+· · ·+a_n= 0, (ii) Le sous-anneau A[x] de B est un A-module de type fini,

(iii) Il existe un sous-anneau C de B tel que A[x]⊂C et C est un A-module de type fini.

Un ´el´ement x ∈ B satisfaisant ces conditions est dit entier sur A et l’´equation dans (i) appel´ee une ´equation de d´ependance int´egrale satisfaite par x.

Preuve. (i)⇒ (ii). Par (i), on obtient que toute puissancex^r (r∈N) s’´ecrit comme combinaison A-lin´eaire de x, . . . , xⁿ⁻¹, ce qui donne (ii).

(ii) ⇒ (iii). Prendre C =A[x].

(iii) ⇒ (i). Par hypoth`ese, le A-module C poss`ede un syst`eme g´en´erateur fini y = (y<sub>1</sub>, . . . , y<sub>n</sub>). Pour i = 1, . . . , n, xy<sub>i</sub> ∈ C. Il existe donc une matrice A ∈ M<sub>n×n</sub>(A) tel que (xId − M)<sup>t</sup>y = 0. Les formules de Cramer conduisent alors `a det(xId−M)y_j = 0, j = 1, . . . , n, ce qui donne, en posantd= det(xId−M), l’´egalit´e dB = 0 et donc d = 0. En d´eveloppant le d´eterminant, on obtient une ´equation de d´ependance int´egrale pour x.

L’´enonc´e suivant se d´emontre ais´ement par r´ecurrence.

Corollaire 2.2 — Soient A un sous-anneau d’un anneau B et x1, . . . , xn ∈ B.

On supposex_i entier sur A[x₁, . . . , x_i−1],i = 1, . . . , n(e.g. x₁, . . . , x_n entiers sur A).

Alors A[x1, . . . , xd] est un A-module de type fini.

Corollaire 2.3 — Soit A un sous-anneau d’un anneau B. L’ensemble A⁰ des

´el´ements de B entiers sur A est un sous-anneau de B qui contient A.

Preuve. Pour tousx, y ∈B, l’anneauA[x, y] est unA-module de type fini (corollaire 2.2). Donc x±y, xy sont dans A⁰. Il est clair que A⊂A⁰.

D´efinition 2.4 — L’anneau A⁰ d´efini ci-dessus s’appelle fermeture ou clˆoture int´egrale de A dans B. Si A⁰ =B, on dit que B est entier sur A. Si A⁰ =A, on dit que A est int´egralement ferm´e dans B. Un anneau A int`egre est dit int´egralement clos si A est int´egralement ferm´e dans son corps des fractions.

Proposition 2.5 (Transitivit´e de l’int´egralit´e) — SoientA etB deux sous-anneaux d’un anneau C tels que A ⊂ B. Si C est entier sur B et B entier sur A, alors C est entier sur A.

Preuve. Soient x ∈ C et xⁿ +b₁xⁿ⁻¹ +· · ·+b_n = 0 une ´equation de d´ependance int´egrale pour x. L’anneauA[b1, . . . , bn, x] est un A-module de type fini contenant x.

Doncx est entier sur A.

Remarques 2.6. (a) Si B est un anneau entier sur un sous-anneau A et P un id´eal de B, alors B/P est entier sur A/(P ∩A).

(b) La clˆoture int´egraleA⁰ dans B d’un sous-anneauA est int´egralement ferm´ee dans B. Si A est int`egre, la clˆoture int´egrale A⁰ de A (dans son corps des fractions) est un anneau int´egralement clos.

(c) Tout anneau factoriel est int´egralement clos (exercice).

Proposition 2.7 — Soient B un anneau int`egre, A un sous-anneau de B, A⁰ la fermeture int´egrale de A dans B et S une partie multiplicative de A. Alors la fermeture int´egrale de S⁻¹A dans S⁻¹B est S⁻¹A⁰.

Preuve. Le sous-anneau S⁻¹A⁰ deS⁻¹B est entier surS⁻¹A et est donc inclus dans la fermeture int´egrale de S⁻¹A dans S⁻¹B. Inversement, soit x/s (x∈B, s∈S) un

´el´ement deS⁻¹B entier surS⁻¹A. En chassant les d´enominateurs dans une ´equation de d´ependance int´egrale pour x/s sur S⁻¹A, on obtient que, pour un certain t ∈ S, txest entier sur A et donc est dans A⁰, ce qui donne bien x/s∈S⁻¹A⁰. .

Corollaire 2.8 — Si A est un anneau int´egralement clos, alors tout anneau de fractions S⁻¹A est int´egralement clos.

2.2. Th´eor`eme de mont´ee (going-up theorem). [P6-AlgCo]

Th´eor`eme 2.9 — Soit B un anneau entier sur un sous-anneau A.

(a) Si p est un id´eal premier de A, alors il existe un id´eal premier P de B tel que P ∩A=p.

(b) Soit B est un id´eal de B. Pour tout id´eal premier p de A tel que B ∩A ⊂ p, il existe un id´eal premier P de B tel que B ⊂ P et P ∩A =p.

(c) Si de plus B est un A-module de type fini, alors l’ensemble des id´eaux premiers P de B au-dessus d’un id´eal premier p de A (i.e., tels que P ∩A=p) est fini.

Remarque 2.10. En termes g´eom´etriques, le th´eor`eme correspond au cas affine (et donc local) de l’´enonc´e suivant:

Sif :X →Y est un morphisme fini entre deux sch´emas X etY, alors f est surjectif, quasi-fini et ferm´e (cf. [Hart;Ex.3.5 p.91]).

Lemme 2.11 — Soit B un anneau entier sur un sous-anneau A.

(a) Si B est int`egre, alors B est un corps si et seulement si A est un corps.

(b)Si P un id´eal premier de B, alors P est maximal dans B si et seulement si P ∩A est un id´eal maximal de A.

Preuve. (a) (⇒): Soit a ∈ A, a 6= 0. Alors a⁻¹ ∈ B. Par hypoth`ese, il existe a1, . . . , ad ∈ A tels que a<sup>−d</sup> +a1a<sup>−(d−1)</sup>+· · ·+ad = 0. D’o`u a⁻¹ = −(a1 +· · ·+ a_da^d−1)∈A et A est un corps.

(⇐): Soit b ∈ B, b 6= 0. Par hypoth`ese, il existe a1, . . . , ad ∈ A tels que b<sup>d</sup> + a<sub>1</sub>b<sup>d−1</sup>+· · ·+a<sub>d</sub> = 0. On peut supposer que a<sub>d</sub> 6= 0 (grˆace `a l’hypoth`ese B int`egre).

L’identit´e pr´ec´edente montre que l’´el´ement −a⁻¹_d (b^d−1+a1b^d−2· · ·+ad−1) ∈ B est inverse de b dans B.

(b) Le morphisme naturel A/(P ∩A)→B/P est injectif. L’anneau int`egre B/P est entier sur A/(P ∩A). Il suffit d’appliquer (a) pour conclure.

Preuve du th´eor`eme 2.9. (a) Pour p id´eal premier de A, soit S la partie multi- plicative S = A−p. L’anneau S⁻¹B est entier sur S⁻¹A = A_p. On a le diagramme commutatif suivant

A ,→ B

i







 y







 y

j

Ap ,→ S⁻¹B

o`u les fl`eches sont les morphismes naturels. Soit Q un id´eal maximal de S⁻¹B (l’existence de Q est une cons´equence standard du Lemme de Zorn). D’apr`es le (b)

du lemme 2.11,Q ∩Ap est un id´eal maximal de l’anneau localAp; on a doncQ ∩Ap = S⁻¹p. Posons P =j⁻¹(Q). Alors P est premier et on a: P ∩A=i⁻¹(S⁻¹p) =p.

(b) La situation est r´esum´ee par le diagramme commutatif ci-dessous (o`u les fl`eches sont les morphismes naturels). L’anneauB/Best entier sur l’anneau A/(B ∩A). Soit pun id´eal premier deAtel queB ∩A ⊂p. L’imager(p) est un id´eal premier deA/(B ∩ A). D’apr`es le (a), il existe un id´eal premierP deB/Btel queP ∩(A/(B ∩A)) =r(p).

SoitP =s⁻¹(P). C’est un id´eal premier deBqui contientBetP ∩A =r⁻¹(r(p)) =p.

A ,→ B

r







 y







 y

s

A/(B ∩A) ,→ B/B

.

(c) Notons pB l’id´eal de B engendr´e par l’id´eal premier p donn´e de A. On a le diagramme commutatif suivant

A −−−−−→ⁱ B

α







 y







 y

β

A/p −−−−−→^j B/pB

o`u les fl`eches sont les morphismes naturels. Les id´eaux premiersP deB tels que P ∩ A=psont parmi ceux qui contiennent l’id´ealpB. Ces derniers sont en correspondance bijective avec les id´eaux premiers de l’anneau quotient B/pB (par l’application P → β(P) =P/pB). De plus, si P ∩A =p, alorsj⁻¹(β(P)) ={0}. En effet, soienta ∈A tel que α(a) ∈ j⁻¹(β(P)), c’est-`a-dire, (j ◦α)(a) = β(π) avec π ∈ P. On a donc aussi (β◦i)(a) =β(π). D’o`u i(a) =π+b avec b∈pB. En particulier i(a)∈ P, i.e., a∈i⁻¹(P) =p et donc α(a) = 0.

Il suffit donc de montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini d’id´eaux premiers P de B/pB tels que j⁻¹(P) ={0}. Si on note k le corps des fractions deA/p, ces derniers id´eaux correspondent `a des id´eaux premiers de l’anneau B/pB⊗_A/pk. Pour le voir, le point essentiel est le suivant:

Notons t : B/pB → B/pB ⊗_A/p k l’application canonique. Si P est un id´eal premier de B/pB tels que j⁻¹(P) ={0} et J un id´eal quelconque de B/pB et si les

id´eaux engendr´es par t(P) et t(J) dans B/pB⊗_A/pk, not´es respectivement P^∗ et J^∗, v´erifient J^∗ ⊂ P^∗, alors n´ecessairement J ⊂ P.

En effet, soit x ∈ J. La condition J^∗ ⊂ P^∗ donne qu’il existe d ∈ A/p tel que j(d)x ∈ P et d6= 0. Comme P est premier et que j(d)∈ P/ (puisque j⁻¹(P) ={0}), n´ecessairement x∈ P.

Cela montre en particulier queP^∗ est un id´eal propre deB/pB⊗_A/pk; la condition xy ∈ P^∗ ⇒ x ∈ P^∗ ou y ∈ P^∗ est ´egalement imm´ediate. Le fait g´en´eral ci-dessus montre aussi que la correspondance P → P^∗, qui envoie id´eaux premiers de B/pB tels que j⁻¹(P) = {0} sur des id´eaux premiers de B/pB ⊗_A/p k, est injective. Il suffit donc de montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini d’id´eaux premiers dans l’anneau B/pB⊗_A/pk

L’anneau C = B/pB ⊗_A/p k est un k-espace vectoriel de dimension finie. En particulier, c’est un anneau noeth´erien. On va lui appliquer le th´eor`eme ´enonc´e plus bas, pour l’id´eal I ={0}. D’apr`es ce th´eor`eme, l’id´eal {0} de C peut s’´ecrire {0} = J₁ ∩ · · · ∩J_n avec J₁, . . . , J_n id´eaux premiers de C. On en d´eduit que C = C/{0}

s’injecte dans l’anneau produit

C/J1× · · ·C/Jn

Cet anneau produit est un k-espace vectoriel de dimension finie. En cons´equence, il est donc entier sur k et donc sur C. Les id´eaux premiers distincts de C se rel`event en des id´eaux premiers (forc´ement distincts) de l’anneau produit (par le (a)). Il suffit donc de montrer que cet anneau produit n’a qu’un nombre fini d’id´eaux premiers.

Vu la structure produit, il s’agit en fait de montrer que chacun des facteurs C/J_i n’a qu’un nombre fini d’id´eaux premiers,j = 1, . . . , n. Or l’anneau C/Ji, ´etant int`egre et entier sur le corps k, est lui-mˆeme un corps (lemme 2.11); son seul id´eal premier est l’id´eal nul.

Th´eor`eme 2.12 — Soit Ω un anneau noeth´erien et I un id´eal propre tel que

√I = I. Alors il existe un nombre fini d’id´eaux premiers J₁, . . . , J_n de A tels que I =J1∩ · · · ∩Jn. Si on impose de plus aux id´eaux Ji de v´erifier Ji 6⊂Jj, i6= j, une telle d´ecomposition de I est unique `a l’ordre pr`es des facteurs.

En termes g´eom´etriques, cet ´enonc´e correspond `a l’´ecriture de tout ensemble ferm´e comme r´eunion de composantes irr´eductibles.

Preuve. Supposons que l’ensemble F des id´eaux J de Ω tels que J 6= Ω, √ J = J et J n’est pas intersection finie d’id´eaux premiers, est non vide. L’anneau Ω ´etant suppos´e noeth´erien, l’ensemble F poss`ede un ´el´ement maximal I. Comme I ∈ F, I n’est pas premier: il existe donc a, b∈Ω−I tel que ab∈I.

Consid´erons les id´eaux√

Ωa+I et √

Ωb+I. Ce sont des id´eaux propres deA: en effet, si par exemple 1∈√

Ωa+I, il existerait ω ∈Ω et i∈I tels que 1 =ωa+i, ce qui donnerait b=ωab+ib∈I. On a ensuite les inclusions suivantes









 I ⊂

6= Ωa+I ⊂√

Ωa+I = q√

Ωa+I I ⊂

6= Ωb+I ⊂√

Ωb+I = q√

Ωb+I qui permettent de conclure que les id´eaux √

Ωa+I et √

Ωb+I ne sont pas dans F, et qu’il existe des id´eaux premiers P₁, . . . ,P_s et Q₁, . . . ,Q_t tels que

(√

Ωa+I =P₁∩ · · · ∩ P_s

√

Ωb+I =Q1∩ · · · ∩ Qt

Montrons que I = √

Ωa+I ∩√

Ωb+I; cela fournira la contradiction cherch´ee.

L’inclusion “⊂” est claire. Inversement soit x ∈ √

Ωa+I ∩√

Ωb+I: il existe des entiers m, n ≥ 1 tel que x^m ∈ Ωa + I et xⁿ ∈ Ωb+ I. On en d´eduit x^m+n ∈ (Ωa+I)(Ωb+I)⊂Ωab+I ⊂I. D’o`u x∈I puisque I =√

I.

L’unicit´e de la d´ecomposition d´ecoule du fait suivant: un id´eal premier intervenant dans une d´ecomposition de I contient l’intersection et donc le produit de tous les id´eaux premiers de toute autre d´ecomposition; il en contient donc n´ecessairement l’un des facteurs.

D´efinition 2.13 — Etant donn´e un anneau A, on appelle dimension de A le supremum (´eventuellement infini) des longueurs d des chaˆınes

P_o ⊂

6= P₁ ⊂

6= · · · ⊂

6= P_d

d’id´eaux premiersP_o,P₁, . . .P_d de A. Un anneau int`egre de dimension0est un corps.

Un anneau int`egre de dimension 1 est un anneau o`u tout id´eal premier non nul est maximal.

Th´eor`eme 2.14 —SoitB un anneau entier sur un sous-anneauA. Si la dimension de A est finie ´egale `a d, la dimension de B est ´egale `a d.

Preuve. Consid´erons une suite strictement croissante P_o ⊂

6= P₁ ⊂

6= · · · ⊂

6= P_d

d’id´eaux premiers deA. D’apr`es le th´eor`eme 2.9 (a), il existe un id´eal premier Qo de B tel que Q_o∩A=P_o.

Posons A = A/Po et B = B/Qo; A est un sous-anneau de B sur lequel B est entier. On a le diagramme commutatif suivant

A −−−−−→ⁱ B

p







 y







 y

q

A −−−−−→ B

o`u les fl`eches sont les morphismes naturels. D’apr`es le th´eor`eme 2.9 (a), il existe un id´eal premier Q1 de B tel que Q1∩A =p(P1). Soit Q1 = q⁻¹(Q1); Q1 est un id´eal premier de B et Q_o ⊂ Q₁. De plus Q₁ ∩A = p⁻¹(Q₁ ∩A) = p⁻¹(p(P₁)) = P₁ (la derni`ere ´egalit´e provenant de Po ⊂ P1.

Ce que prouve l’argument ci-dessus est ´enonc´e plus g´en´eralement dans le lemme 2.15 (a). En it´erant cet argument, on arrive `a construire une suite, ´evidemment strictement croissante, d’id´eaux premiers de B

Qo ⊂

6= Q1 ⊂

6= · · · ⊂

6= Q`

de longueur` =det telle queQi∩A=Pi,i=o, . . . , d. Cela montre que la dimension de B est sup´erieure `a d.

D’autre part, il ne peut exister une suite comme ci-dessus, strictement croissante d’id´eaux premiers de B de longueur ` > d. Sinon on aurait Q<sub>i</sub>∩A=Q<sub>i+1</sub>∩A pour un indicei∈ {1, . . . , `−1}, ce qui contredirait le (b) du lemme suivant qui compl`ete le th´eor`eme 2.9.

Lemme 2.15 — Soit B un anneau entier sur un sous-anneau A.

(a) Si p et p⁰ sont deux id´eaux premiers de A tels que p ⊂ p⁰ et si P est un id´eal premier de B tel que P ∩A = p, alors il existe un id´eal premier P⁰ de B tel que P ⊂ P⁰ et P⁰∩A =p⁰.

(b) SiP et P⁰ sont deux id´eaux premiers de B tels que P ⊂ P⁰ et si P ∩A =P⁰∩A, alors P =P⁰.

Preuve. (b) Posons p = P ∩A = P⁰ ∩A et S = A−p. L’anneau A_p = S⁻¹A est local d’id´eal maximal S⁻¹p. Par construction S∩ P =Q∩ P⁰ = ∅; S⁻¹P et S⁻¹P⁰ sont donc des id´eaux premiers de l’anneau S⁻¹B. De p ⊂ P ⊂ P⁰ ⊂ B r´esultent S⁻¹p⊂S⁻¹P ⊂S⁻¹P⁰ ⊂S⁻¹B puis

S⁻¹p⊂S⁻¹P ∩Ap ⊂S⁻¹P⁰∩Ap ⊂Ap

De plus, comme P⁰ 6=B (i.e., 1∈ P/ ⁰), on a S⁻¹P⁰∩Ap 6=Ap. On d´eduit donc de la suite d’inclusions pr´ec´edente que S⁻¹p=S⁻¹P ∩A_p =S⁻¹P⁰∩A_p. Il d´ecoule alors du lemme 2.11 que S⁻¹P et S⁻¹P⁰ sont des id´eaux maximaux de S⁻¹B. Comme S⁻¹P ⊂S⁻¹P⁰, on a donc S⁻¹P =S⁻¹P⁰, ce qui entraˆıne P =P⁰.

3. Extensions alg´ ebriques

3.1. G´en´eralit´es. Etant donn´es un anneau R et un sous-corps K, un ´el´ement x ∈ R est dit alg´ebrique sur K s’il est entier sur K, i.e., s’il existe une ´equation de d´ependance x^d +a₁x^d−1 +· · ·+a_d = 0 `a coefficients a₁, . . . , a_d ∈ K, ou, de fa¸con

´equivalente, si la dimension [K[x] :K] (commeK espace vectoriel), appel´ee degr´e de x sur K, est finie. La th´eorie des extensions int´egrales pourra donc ˆetre appliqu´ee aux extensions alg´ebriques. Si x n’est pas alg´ebrique sur K, il est dit transcendant sur K.

L’anneauRest dit alg´ebrique sur K si tout ´el´ement x∈Rest alg´ebrique surK; si R est un corps on parle d’extension alg´ebrique L/K. La dimension [L : K] s’appelle le degr´e de L sur K. Par exemple, l’ensemble K⁰ des ´el´ements x ∈ R alg´ebriques sur K est un sous-anneau de R, contenant K et qui est alg´ebrique sur K; de plus si R est int`egre, K<sup>0</sup> est un corps (lemme 2.11). Une extension L/K de degr´e fini est n´ecessairement alg´ebrique; la r´eciproque est fausse (prendre par exemple K = Q et L=Q). Une extensionL de degr´e fini deQ est appel´ee corps de nombres. On v´erifie sans peine qu’il y a multiplicativit´e des degr´es, c’est-`a-dire, si L est une extension alg´ebrique de K et M une extension alg´ebrique de L, alors M est une extension alg´ebrique de K et [M :K] = [M :L][L :K].

Soit x ∈ R un ´el´ement alg´ebrique sur un corps K. L’ensemble des polynˆomes P(X)∈K[X] tels que P(x) = 0 est un id´eal de l’anneau principal K[X]; son unique g´en´erateur unitaire P(X) (i.e., de coefficient dominant ´egal `a 1 est appel´e polynˆome minimaldex surK. On a un isomorphisme d’anneauK[x]'K[X]/(P(X)). SiK[x]

est int`egre, c’est un corps (la r´eciproque “K[x] corps ⇒ x alg´ebrique” est ´egalement vraie) et donc le polynˆome minimalP(X) est irr´eductible.

Inversement, ´etant donn´e un polynˆome irr´eductibleP(X)∈K[X], l’anneau int`egre K[X]/(P(X)) est un corps (lemme 2.11), extension alg´ebrique de degr´e deg(P) de K, de la forme K[x] avec P(x) = 0 (prendre x ´egal `a la classe de X modulo P(X)). Un corps v´erifiant ces propri´et´es est appel´e corps de rupturedu polynˆome P(X).

En it´erant ce proc´ed´e, on obtient le fait suivant:

Il existe une extensionK⁰ de K de degr´e fini telle queP(X)est totalement d´ecompos´e dans K⁰ (i.e., P(X) se d´ecompose en facteurs lin´eaires dans K⁰[X]).

Une it´eration “transfinie” de ce fait conduit au th´eor`eme de Steinitz.

Th´eor`eme 3.1 — Tout corps K poss`ede une clˆoture alg´ebrique, c’est-`a-dire, une extension alg´ebrique Ke de K telle que Ke est un corps alg´ebriquement clos. De plus la clˆoture alg´ebrique est unique `a K-isomorphisme pr`es.

Etant donn´es deux corpsLetL⁰contenant un corpsK, on appelleK-isomorphisme de L sur L⁰ tout isomorphisme L→L⁰ induisant l’identit´e sur K. Si de plus L et L⁰ sont alg´ebriques sur K, les deux corps sont dits K-conjugu´es. Deux ´el´ements x et x⁰ (dans des anneaux contenantK) sont ditsK-conjugu´es s’il existe unK-isomorphisme K[x]→K[x⁰] envoyantx surx⁰. Six etx⁰ sont alg´ebriques, cela est ´equivalent `a dire que x et x⁰ ont le mˆeme polynˆome minimal sur K.

3.2. S´eparabilit´e.

D´efinition 3.2 — Etant donn´ee une extension alg´ebrique L/K, un ´el´ement x ∈ L est dit s´eparable sur K si son polynˆome minimal (sur K) n’a que des racines simples dans tout corpsKe o`u il est d´ecompos´e (e.g. dans un corps alg´ebriquement clos contenant K), ou, de fa¸con ´equivalente, si le nombre de K-isomorphismes distincts L→Ke est ´egal au degr´e de x sur K. L’extension L/K est dite s´eparable si tous les

´el´ements de L sont s´eparables sur K.

Proposition 3.3 — Si L/K est une extension alg´ebrique de degr´e fini d, alors L/K est s´eparable si et seulement si le nombre de K-isomorphismes distincts L→C dans un corps C alg´ebriquement clos contenant K vaut [L :K]. En toute g´en´eralit´e, i.e., sans l’hypoth`ese de s´eparabilit´e, ce nombre est ≤ [L : K]; plus g´en´eralement, cette majoration vaut pour le nombre d’isomorphismes distincts L → C prolongeant un isomorphisme donn´e χ:K →C.

La preuve repose sur le lemme suivant, que, pour des besoins ult´erieurs, nous allons d´emontrer sous des hypoth`eses plus g´en´erales que celles n´ecessaires ici.

Lemme 3.4 — Soient A un anneau int`egre de corps des fractions K, R un an- neau contenant K, y un ´el´ement de R alg´ebrique sur K de polynˆome minimal X<sup>d</sup>+ a1X<sup>d−1</sup> +· · ·+ad−1X+ad `a coefficients dans A ¹. Soit ϕ : A → C un morphisme d’anneau `a valeurs dans un corps C tel que le polynˆome ϕ(P) = X^d +f(a1)X^d−1+

· · ·+ f(ad−1)X + f(ad) soit totalement d´ecompos´e dans C. Alors, si α ∈ C est une racine de f(P), le morphisme ϕ se prolonge de fa¸con unique en un morphisme d’anneau ϕ:A[y]→C tel que ϕ(y) =α.

Preuve. Pour tout polynˆomeQ∈A[X], on pose ϕ(Q(y)) =f(Q)(α) (o`uf(Q) est le polynˆome obtenu en appliquant f aux coefficients de Q). Ce prolongement est bien d´efini: siQ(y) =R(y) pourR(X)∈A[X], alorsX<sup>d</sup>+a1X<sup>d−1</sup>+· · ·+a<sub>d−1</sub>X+ad divise P−Q,a priori dansK[X] mais en fait dans A[X] (car P−Q∈A[X] et le polynˆome minimal dey est unitaire); il en r´esulte quef(P)(α) =f(Q)(α). Autrement dit, sous les hypoth`eses consid´er´ees, l’ensemble des polynˆomes P ∈A[X] tels que P(y) = 0 est un id´eal principal de A[X]. Le prolongement ϕ ainsi d´efini v´erifie les conditions de l’´enonc´e; de plus un tel prolongement est d´etermin´e par la condition ϕ(y) =α.

Dans le cas o`uAest un corps (et doncA=K), le lemme fournit la conclusion suiv- ante (qui contient en particulier la proposition 3.3 dans le cas o`u Lest une extension monog`eneL =K(y)):

1 Cette hypoth`ese est satisfaite quandy est entier surAetAest int´egralement clos (et donc en particulier quandA est un corps). En effet, siy est entier surA, ses conjugu´es le sont aussi et donc les coefficients a₁,...,a_d∈K´egalement. SiAest int´egralement clos, ces coefficients a₁,...,a_dsont en fait dansA.

(*)Le nombre de prolongements d’un morphisme donn´e ϕ:K →C en un morphisme K(y) → C est ´egal au nombre de racines distinctes de P(Y) (dans un corps de d´ecomposition). En particulier, ce nombre vaut [K(y) :K] si y est s´eparable sur K. Remarque 3.5. (a) Pour d´eduire le fait (*) du lemme, il suffit d’observer que, le morphisme ϕ: K → C ´etant injectif, les polynˆomes P et ϕ(P) ont le mˆeme nombre de racines distinctes (dans un corps de d´ecomposition). Pour cela, il faut en fait montrer pr´ealablement que le nombre de racines distinctes ne d´epend pas du corps de d´ecomposition choisi. Pr´ecis´ement, il s’agit ´etablir l’´enonc´e suivant:

si σ : K → K⁰ est un isomorphisme de corps, P(X) ∈ K[X] un polynˆome, si x1, . . . , xn (resp. x⁰₁, . . . , x⁰_n0 sont les racines distinctes de P(X) (resp. σ(P)(X)) dans un corps o`u P(X) (resp. σ(P)(X)) est d´ecompos´e, alors il existe un isomor- phisme K(x1, . . . , xn) → K(x⁰₁, . . . , x⁰_n) prolongeant σ et envoyant {x1, . . . , xn} sur {x⁰₁, . . . , x⁰_n}.

Cela se d´emontre ais´ement par r´ecurrence sur deg(P) en utilisant le lemme 3.4.

(b) Classiquement, le lemme 3.4 permet ´egalement de montrer le fait g´en´eral suivant:

(**) ´etant donn´e une extension alg´ebrique L/K (non n´ecessairement de degr´e fini) et C une clˆoture alg´ebrique de L, tout isomorphisme K → C se prolonge en un isomorphisme L→C.

SiL/K est finie, cela se d´eduit facilement du lemme 3.4 par r´ecurrence. Si l’extension L/K est infinie, il faut utiliser le lemme de Zorn.

Preuve de la proposition 3.3. (⇒): ce sens s’obtient alors ais´ement par r´ecurrence sur [L : K] en ´ecrivant L =F(x) pour F un sous-corps propre de L contenant K et x∈L (et en utilisant le fait (*)).

On obtient de la mˆeme fa¸con qu’en toute g´en´eralit´e, le nombre deK-isomorphismes distincts L → C est ≤ [L : K], et que la mˆeme majoration vaut pour le nombre d’isomorphismes distinctsL →C prolongeant un isomorphisme donn´e χ :K →C.

(⇐): pour x ∈ L, soit n_x le nombre de K-isomorphismes K(x) → C et m_x,χ le nombre d’isomorphismes L→C prolongeant un isomorphisme donn´e χ:K(x)→C.

L’hypoth`ese s’´ecrit [L : K] = P

χm_x,χ o`u la sommation porte sur l’ensemble des K-isomorphismes K(x) → C. On sait de plus que nx ≤ [K(x) : K] et que mx,χ ≤ [L:K(x)]. Comme [L:K] = [L:K(x)][K(x) :K], l’´egalit´e pr´ec´edente n’est possible que si les in´egalit´es sont des ´egalit´es. On obtient donc nx = [K(x) :K], c’est-`a-dire, x est s´eparable sur K.

Proposition 3.6 —SoitK un corps parfait, c’est-`a-dire, ou bien de caract´eristique 0, ou bien de caract´eristique p > 0 et tel que l’application x → x<sup>p</sup> de K dans K est surjective sur K. Si P(X) ∈ K[X] est un polynˆome unitaire irr´eductible, alors P(X) n’a que des racines simples (dans tout corps C o`u P(X) est d´ecompos´e). En cons´equence, les extensions alg´ebriques d’un corps parfait sont s´eparables.

Preuve. Si P(X) a une racine multiple α ∈ C, alors P⁰(α) = 0. Mais alors P(X) divise P⁰(X), ce qui impose P⁰(X) = 0. Cela n’est pas possible en caract´eristique 0.

En caract´eristique p >0, cela n’est possible que si P(X) est de la forme Q(X^p) avec Q ∈ K[X]. Mais si K est parfait, chaque coefficient de Q est une puissance p-i`eme dansK, ce qui permet d’´ecrireP(X) =Q(X^p) = (R(X))^pet contredit l’irr´eductibilit´e de P.

Exemples 3.7. Les corps finis sont parfaits. Le corps F^p(T) n’est pas parfait.

3.3. Th´eor`eme de l’´el´ement primitif.

Th´eor`eme 3.8 (dit de l’´el´ement primitif)—Etant donn´ee une extensionLde degr´e fini et s´eparable d’un corps K, il existe un ´el´ement x∈L tel que L=K[x].

Preuve. Si K est fini, on a K ' F^q et L = F^qm pour une puissance q d’un nombre premier et m > 0 un entier. On sait que F^×q^m est un groupe cyclique. Le r´esultat souhait´e s’ensuit. Pour la suite, on peut donc supposer K infini. Nous allons donner deux arguments pour ce cas.

1er argument. Etant donn´es deuxK-isomorphismesσ,σ⁰distincts deLdans un corps alg´ebriquement closC contenant K, l’ensemble Vσ,σ⁰ des y∈L tels que σ(y) =σ⁰(y) est un K-sous-espace vectoriel propre de L. Comme de tels K-isomorphismes sont en nombre fini et queK est infini, L n’est pas ´egal `a la r´eunion desVσ,σ⁰ quand σ, σ⁰ varient dans l’ensemble {σ1, . . . , σn} des K-isomorphismes L → C. Il existe donc x∈L tels que tous les ´el´ements σ_i(x), i= 1, . . . , n, soient distincts. On obtient donc que [K(x) : K] ≥ n. Mais l’extension L/K ´etant s´eparable, on a aussi n = [L : K].

D’o`u K(x) =L.

2`eme argument. Il suffit de montrer que toute extension alg´ebrique du type K(α, β) avecαetβs´eparables poss`ede un ´el´ement primitif. Une r´ecurrence imm´ediate donnera ensuite la cas g´en´eral.

Soient P(X) etQ(X) les polynˆomes minimaux respectifs deα etβ surK. Notons α1, . . . , αn avec α1 = α (resp. β1, . . . , βn avec β1 = β) les racines de P(X) et Q(X) dans un corps alg´ebriquement clos C contenant K. Posons θ = α+cβ pour c ∈ K.

L’´el´ement β est racine du polynˆome Q(X) ∈ K[X] et du polynˆome P(θ −cX) ∈ K(θ)[X]. Notons ∆(X) le pgcd dans K(θ)[X] de Q(X) et de P(θ − cX); on a deg(∆) ≥ 1. D’autre part une autre racine commune ´eventuelle de Q(X) et de P(θ−cX) est un ´el´ementβ_i(1< i≤m) satisfaisantθ−cβ_i =α_j, soitα+cβ =α_j+cβ_i, pour un certain indice j ∈ {1, . . . , n}. Commeβ est s´eparable, cela n’est possible que pour un nombre fini de valeurs de c. Si c est choisi en dehors de ces valeurs, ce qui est possible puisque K est infini, on obtient que β est la seule racine commune dans C des polynˆomes Q(X) et de P(θ−cX). D’o`u ∆(X) = (X −β) et donc β ∈ K(θ), ce qui donne K(θ) =K(α, β).

3.4. Normes et traces. Etant donn´ee une extension L/K alg´ebrique de degr´e fini, on appelletrace, norme, polynˆome caract´eristique dex∈L, la trace, la norme, le polynˆome caract´eristique (respectivement) du K-endomorphismemx deL correspon- dant `a la multiplication parxdansL. On les note Tr_L/K(x), N_L/K(x), det(m_x−XId).

Si x est un ´el´ement primitif de L/K et X^d+a1X^d−1+· · ·+ad est son polynˆome minimal sur K, l’endomorphisme mx est repr´esent´e dans la base (1, x, . . . , xⁿ⁻¹) par une matrice compagnon de derni`ere colonne ^t[−ad, . . . ,−a1]. On en d´eduit que Tr_L/K(x) =−a₁, N_L/K(x) = (−1)^da_d et det(m_x−tId) = (−1)^d(X^d+a₁X^d−1+· · ·+ ad). Six1, . . . , xd sont lesdracines (´eventuellement r´ep´et´ees) deX^d+a1X^d−1+· · ·+a_d, on obtient alors les formules suivantes:















Tr_L/K(x) =x1+· · ·+xd

N_L/K(x) =x1· · ·xd

det(m_x−tId) =

d

Y

i=1

(x_i−X)

(On a des formules analogues pour les autres coefficients du polynˆome minimal dex).

Si x ∈ L n’est plus suppos´e primitif, les formules doivent ˆetre ajust´ees. Pour la trace, le terme de droite doit ˆetre multipli´e par [L :K(x)]; pour la norme, le terme de droite doit ˆetre ´elev´e `a la puissance [L:K(x)]-`eme. On obtient ces formules g´en´erales

`

a partir des pr´ec´edentes en repr´esentant l’endomorphisme mx dans une base (eifj)i,j

deL/K construite `a partir d’une base (e_i)_i de K(x)/K et une base (f_j)_j deL/K(x);

la matrice obtenue dans cette base est un tableau diagonal de [L/K(x)] fois la matrice M correspondant `a la multiplication m_x dans K(x) dans la base (e_i)_i.

Sous l’hypoth`ese suppl´ementaire L/K s´eparable, les formules se r´e´ecrivent



















TrL/K(x) =X

σ

σ(x) N_L/K(x) =Y

σ

σ(x) det(m_x−tId) =Y

σ

(σ(x)−X)

o`u la sommation et les produits portent sur l’ensemble desK-isomorphismes distincts de L dans une clˆoture alg´ebrique. Le r´esultat suivant se d´eduit de fa¸con imm´ediate de ces formules.

Proposition 3.9 — Soient A un anneau int`egre, K son corps des fractions et L/K une extension finie s´eparable. Soit x∈L entier sur A. Alors les coefficients du polynˆome minimal de x sur K, en particulier Tr_L/K(x) et N_L/K(x), sont entiers sur A. Si de plus, A est int´egralement clos, ces coefficients sont dans A.

3.5. Structures des extensions d’entiers.

Lemme de Dedekind 3.10 — Soient G un groupe, C un corps et σ1, . . . , σn des homomorphismes distincts de G dans le groupe mutliplicatif C^×. Alors les homomor- phismes σ1, . . . , σn sont lin´eairement ind´ependants sur C.

Preuve. Supposons queσ₁, . . . , σ_nsont lin´eairement d´ependants surC et consid´erons une relation non triviale P

i=1uiσi = 0 telle que le nombre s des coefficients ui non nuls soit minimal. Apr`es renum´erotation, on peut supposer que cette relation est

s

X

i=1

u_iσ_i(g) = 0 pour tout g∈G

Multiplions cette relation par σ1(h) pour h ∈ G et soustrayons ensuite la relation ci-dessus avec gh substitu´e `ag. En utilisant σ_i(gh) =σ_i(g)σ_i(h), on obtient

s

X

i=2

u_i(σ₁(h)−σ_i(h))σ_i(g) = 0 pour tout g∈G

La minimalit´e desdonneσ₁(h) =σ_i(h) pour touth∈G,i= 1, . . . , s, ce qui contredit l’hypoth`ese que les σi sont distincts.

SiL/K est une extension s´eparable de degr´e fini d,σ₁, . . . , σ_d les d-isomorphismes deL dans une clˆoture alg´ebrique C de K, et si (e1, . . . , ed) est une base du K-espace vectorielL, alors on appelleradiscriminantde la base (e₁, . . . , e_d) l’´el´ement deL, not´e

∆(e1, . . . , en) et d´efini par

∆(e1, . . . , en) = det (Tr_L/K(eiej))_1≤i,j≤d La formule Tr_L/K(e_ie_j) = Pd

k=1σ_k(e_i)σ_k(e_j) permet d’´ecrire la matrice des traces (Tr_L/K(eiej))i,j

comme produit des matrices [(σk(ei))i,k] et [(σk(ej))k,j], ce qui donne

∆(e₁, . . . , e_n) = det ((σ_i(e_j))_1≤i,j≤d)² D’apr`es le lemme de Dedekind, ∆(e₁, . . . , e_n)6= 0.

Th´eor`eme 3.11 — SoitA un anneau int´egralement clos, de corps des fractions K. Soient L/K une extension de corps s´eparable de degr´e d et A⁰_L la clˆoture int´egrale de A dans L. Alors A⁰_L est contenu dans unA-module libre de rang ≤d= [L:K]. Plus pr´ecis´ement, siy₁, . . . , y_d est une base deL/K avecy_i ∈A⁰_L,i= 1, . . . , d et∆∈Aest le discriminant de cette base, alors ∆A⁰_L est contenu dans le A-module libre engendr´e par y1, . . . , yd. En particulier, si ∆∈A^× (par exemple si A est remplac´e par A∆^∞), on a A⁰_L =Ay1⊕ · · · ⊕Ayd.

En cons´equence, si A est noeth´erien, alors A⁰_L est un A-module de type fini et un anneau noeth´erien. Si de plus A est principal, alorsA⁰_L est unA-module libre de rand d.

Preuve. Tout ´el´ement z ∈ A⁰_L s’´ecrit z = Pd

j=1cjyj avec c1, . . . , cd ∈ K. On en d´eduit le syst`eme de d ´equations

Tr_L/K(zy_i) =

d

X

j=1

c_jTr_L/K(y_jy_i) i= 1, . . . , d

Les ´el´ement z, y1, . . . , yd ´etant entiers et A int´egralement clos, on a Tr_L/K(zyi)∈ A, i= 1, . . . , d. Les formules de Cramer conduisent alors `a ∆c_i ∈A, i= 1, . . . , d.

Si A est noeth´erien, le A-module libre engendr´e par ^y_∆¹, . . . ,^y_∆^d est un A-module noeth´erien. Donc leA-moduleA⁰_Lest de type fini surAet est unA-module noeth´erien (comme sous-A-module d’un module noeth´erien). Tout id´eal de A⁰_L, ´etant un sous- A-module de A⁰_L, est de type fini sur A, et donc sur A⁰_L. L’anneau A⁰_L est donc noeth´erien.

D’apr`es un r´esultat classique, un sous-module d’un module libre de rang nsur un anneau principal est lui-mˆeme libre [Sa], de rang ≤ n. Donc si A est principal, A⁰_L est un A-module libre, de rang d.

4. Th´ eorie de Galois

Etant donn´ee un extension de corps L/K, l’ensemble des K-automorphismes de L est un groupe not´e Aut(L/K). Etant donn´e un corps L et G un ensemble d’automorphismes de L, l’ensemble desx ∈L tels que σ(x) =x pour tout σ(x) = x, est un sous-corps deL, appel´e sous-corps deLfix´eparG(ou sous-corps desinvariants de L sous G) et not´e L^G.

Th´eor`eme 4.1 — Etant donn´ee une extension L/K s´eparable de degr´e fini d, les conditions suivantes sont ´equivalentes:

(a) K est le sous-corps de L fix´e par Aut(L/K).

(b) Pour tout x∈L, le polynˆome minimal de x sur K a toutes ses racines dans L.

(c) Pour tout K-isomorphisme σ de L dans une clˆoture alg´ebriqueL, on aσ(L)⊂L.

(d) L est engendr´e par K et les racines d’un polynˆome P(X) ∈ K[X] sans racine multiple dans K.

Sous ces conditions, l’extensionL/K est dite galoisienne; le groupe Aut(L/K) a d

´el´ements, on l’appelle le groupe de Galois de l’extensionL/K et on le note Gal(L/K).

Si l’extension L/K n’est plus suppos´ee s´eparable mais qu’elle v´erifie les conditions

´equivalentes (b) et (c), elle est ditenormale.

Preuve du th´eor`eme 4.1. e.g. [Sa; §6.1, Th.1] ou [La1;VII,§3, Th.4].

Th´eor`eme 4.2 (Artin) — Si G est un groupe fini d’automorphismes d’un corps L, alors L/L^G est une extension galoisienne de groupe de Galois G.

Preuve. e.g. [La1;VIII,§1 Th.2] ou [Sa, §6.1 Cor.] (avec l’hypoth`ese suppl´ementaire L/L^G finie).