Triangulation des ensembles semi-alg´ebriques p-adiques

(1)

Triangulation des ensembles semi-alg´ ebriques p-adiques

(2)

1 Introduction

Corps p-adiquement clos Ensembles semi-alg´ebriques Elimination des quantificateurs´ Quelle triangulation ?

Une triangulation pour quoi faire ?

(3)

Exemples

Toute extension finie K0 deQp.

La clôture algébrique relative de QdansK0 (pas complet). Le complété pour la valuationt-adique du corpsS

n>1K₀((t^1/n)) des s´eries de Puiseux sur K0 (groupe de valeurs Z×Q).

K est p-adiquement clos s’il admet une valuationv telle que :

1 (K,v) est hens´elien, de caract´eristique nulle.

2 Le corps r´esiduel de (K,v) est fini, de caract´eristiquep.

3 Le groupe des valeurs Z=v(K^×) est unZ-groupe : i) Z a un plus petit élément >0 (noté 1) ;

ii) Z/nZ 'Z/nZ pour toutn∈N^∗.

7 %

(4)

Exemples

La clˆoture alg´ebrique relative de QdansK0 (pas complet).

Le compl´et´e pour la valuationt-adique du corpsS

(5)

Exemples

7 %

(6)

Exemples

3 Le groupe des valeurs Z=v(K^×) est unZ-groupe: i) Z a un plus petit élément >0 (noté 1) ;

(7)

1 Introduction

9 %

(8)

Soit K un corps quelconque.

P_N^×:={y^N/ y ∈K^×}

A⊆K^m estsemi-algébriques’il est réunion finie d’ensembles définis par : f1 =· · ·=fr = 0 etg1 ∈P_N^×

1 et · · · et gs ∈P_N^×

s

avec fi,gi ∈K[X1, . . . ,Xm].

Remarque

Si K est alg´ebriquement clos, g_i ∈P_N^× ⇐⇒ g_i 6= 0. Si K est r´eel clos,

g_i ∈P_2n+1^× ⇐⇒ g_i 6= 0, g_i ∈P_2n^× ⇐⇒ g_i >0.

(9)

P_N^×:={y^N/ y ∈K^×}

1 et · · · et gs ∈P_N^×

s

Remarque

Si K est alg´ebriquement clos, g_i ∈P_N^× ⇐⇒ g_i 6= 0.

Si K est r´eel clos,

g_i ∈P_2n+1^× ⇐⇒ g_i 6= 0, g_i ∈P_2n^× ⇐⇒ g_i >0.

11 %

(10)

P_N^×:={y^N/ y ∈K^×}

1 et · · · et gs ∈P_N^×

s

Remarque

Si K est alg´ebriquement clos, g_i ∈P_N^× ⇐⇒ g_i 6= 0.

Si K est r´eel clos,

g_i ∈P_2n+1^× ⇐⇒ g_i 6= 0, g_i ∈P_2n^× ⇐⇒ g_i >0.

(11)

1 Introduction

13 %

(12)

Théorème (Chevalley (19 ? ?), Tarski (1948), Macintyre (1976)) Si K est algébriquement clos, réel clos ou p-adiquement clos, alors la projection sur K^m de tout ensemble semi-algébrique A⊆K^m+n est encore semi-algébrique.

Autrement dit, pour les corps K de ce type :

En partant des ensembles algébriques (définis parf = 0 avecf pol.) et en stabilisant par combinaisons booléennes et projections, on obtient exactementles ensembles semi-algébriques.

A⊆K^m est semi-alg´ebrique ⇐⇒ A est d´efinissable (dans le langage des anneaux).

(13)

Théorème (Chevalley (19 ? ?), Tarski (1948), Macintyre (1976)) Si K est algébriquement clos, réel clos ou p-adiquement clos, alors la projection sur K^m de tout ensemble semi-algébrique A⊆K^m+n est encore semi-algébrique.

Autrement dit, pour les corps K de ce type :

En partant des ensembles algébriques (définis parf = 0 avecf pol.) et en stabilisant par combinaisons booléennes et projections, on obtient exactementles ensembles semi-algébriques.

A⊆K^m est semi-alg´ebrique ⇐⇒ A est d´efinissable (dans le langage des anneaux).

15 %

(14)

1 Introduction

(15)

Une applicationϕ:A⊆K^m →Kⁿ est semi-alg´ebrique si son graphe est semi-alg´ebrique.

Théorème (Triangulation des ensembles semi-algébriques réels) Soit K un corps réel clos. Tout ensemble semi-algébrique A⊆K^m est semi-algébriquement homéomorphe à la réunion d’un complexe simplicial.

Objectif

Obtenir le même résultat pour un corpsp-adiquement clos. Ingrédients

D´ecomposition cellulaire. Lemme debonne direction. Simplexes (faces, d´ecoupage. . .).

20 %

(16)

Objectif

Obtenir le même résultat pour un corpsp-adiquement clos. Ingrédients

(17)

Objectif

Obtenir le mˆeme r´esultat pour un corpsp-adiquement clos.

Ingr´edients

20 %

(18)

Objectif

Ingr´edients

D´ecomposition cellulaire.

Lemme debonne direction. Simplexes (faces, d´ecoupage. . .).

(19)

Objectif

Ingr´edients

Lemme debonne direction.

Simplexes (faces, d´ecoupage. . .).

20 %

(20)

Objectif

Ingr´edients

Lemme debonne direction. Simplexes (faces, d´ecoupage. . .).

(21)

1 Introduction

22 %

(22)

Classifier les ensembles s.a. p-adique à homéomorphismes s.a. près ? Il faudrait déja classer les simplexesp-adiques à homéomorphismes s.a.

pr`es.

Th´eor`eme

Le nombre α(K) de classes d’ensembles semi-algébriques à homéomorphismes semi-algébriques près est 6Cardv(K^×). Conjecture : α(K) =ℵ₀.

(23)

Classifier les ensembles s.a. p-adique à homéomorphismes s.a. près ? Il faudrait déja classer les simplexesp-adiques à homéomorphismes s.a.

pr`es.

Th´eor`eme

Le nombre α(K) de classes d’ensembles semi-algébriques à homéomorphismes semi-algébriques près est 6Cardv(K^×).

Conjecture : α(K) =ℵ₀.

24 %

(24)

Analogue p-adique du th´eor`eme de Hardt ?

Le fait que le théorème de triangulation p-adique soit démontré sur les corps p-adiquement clos donne (par la théorie des modèles) des résultats d’uniformité.

Mais. . . il reste le même problème de classifier les simplexesp-adiques à homéomorphisme près.

(25)

Analogue p-adique du th´eor`eme de Hardt ?

Le fait que le théorème de triangulation p-adique soit démontré sur les corps p-adiquement clos donne (par la théorie des modèles) des résultats d’uniformité.

Mais. . . il reste le même problème de classifier les simplexesp-adiques à homéomorphisme près.

26 %

(26)

R´etractions/prolongements ?

Une r´etractiondeA⊆K^m non vide surB⊆Aest une application continue ρ:A→B telle queρ(x) =x pour toutx ∈B.

NB1 : Une telle r´etraction existe ⇒B est ferm´e dansA.

NB2 : Dans le cas réel, obstructions contrôlées par l’homotopie.

(27)

NB₂ : Dans le cas réel, obstructions contrôlées par l’homotopie.

28 %

(28)

Soit R la boule unit´e deK (i.e. l’anneau de la valuation). SoitX ⊆K^m un ensemble semi-alg´ebrique non vide, et soita∈X.

Pour tout lacet(application continue γ :R→X telle que γ(0) =γ(1)) l’application Φ :X ×R →X d´efinie par

Φ(x,t) =

x siv(t) = 0 a siv(t)>1

d´eforme continˆument γ en un point :X est contractile.

(29)

Théorème (Rétraction)

Soit B ⊆A⊆K^m des ensembles semi-algébriques. Il existe une rétraction semi-algébrique de A sur B ⇔B est fermé dans A.

28 %

(30)

Théorème (Rétraction)

Soit B ⊆A⊆K^m des ensembles semi-algébriques. Il existe une rétraction semi-algébrique de A sur B ⇔B est fermé dans A.

Corollaire (Prolongement `a la Tietze-Urysohn)

Soit A⊆K^m un ensemble semi-algébrique. Toute fonction semi-algébrique f :B→K continue sur une partie B fermée dans A se prolonge en une fonction semi-algébrique continue fe:A→K telle que f(A) =f(B).

(31)

Th´eorie (ensembliste) de l’intersection ?

Soit X une partie semi-algébrique de K^m. SoitL(X) := le treillis des ensembles semi-algébriques fermés dans X.

Th´eor`eme (Grzegorczyk 1951)

Si K est algébriquement clos ou réel clos et si dimX >2alors la théorie de L(X) est indécidable.

NB : L’existence de composantes irr´eductibles ou de composantes connexes joue un rˆole crucial dans la preuve.

Théorème (Théorie de l’intersection)

Si K est p-adiquement clos alors la théorie de L(X) est décidable (et modèle-complète, et élimine les quanteurs dans un certain langage, etc).

30 %

(32)

Th´eorie (ensembliste) de l’intersection ?

Soit X une partie semi-algébrique de K^m. SoitL(X) := le treillis des ensembles semi-algébriques fermés dans X.

Th´eor`eme (Grzegorczyk 1951)

Si K est algébriquement clos ou réel clos et si dimX >2alors la théorie de L(X) est indécidable.

NB : L’existence de composantes irr´eductibles ou de composantes connexes joue un rˆole crucial dans la preuve.

Théorème (Théorie de l’intersection)

Si K est p-adiquement clos alors la théorie de L(X) est décidable (et modèle-complète, et élimine les quanteurs dans un certain langage, etc).

(33)

L’axiomatisaton des treillis L(X) a conduit à conjecturer le résultat suivant, qui à la fois se déduit et joue un rôle clé dans la preuve de la triangulation.

Théorème (Découpage)

Soit A⊆K^m une partie semi-algébrique relativement ouverte sans point isolé. Soient X₁, . . . ,X_r des fermés semi-algébriques tels que

X₁∪ · · · ∪X_r =∂A.

Il existe une partition de A en parties semi-alg´ebriques A1, . . . ,Ar tels que

∂A_k =X_k pour 16k6r .

33 %

(34)

2 Complexes simpliciaux Complexes généraux Le cas réel

Le cas discret Le cas p-adique

D´ecoupage monotopique

(35)

Soit X un espace topologique, et Aune famille finie de parties de X.A est complexe de parties de X si :

1 les éléments de A sont deux-à-deux disjoints ;

2 tout A∈ Aest relativement ouvert (i.e. A\Aest ferm´e) et A=[

B ∈ A/B 6A . Ici B6Apour l’ordre de sp´ecialisation, d´efini par

B 6A ⇐⇒ B ⊆A.

C’est un complexe simplicialsi les A∈ Asont des simplexes.

37 %

(36)

B 6A ⇐⇒ B ⊆A.

(37)

B 6A ⇐⇒ B ⊆A.

37 %

(38)

(39)

Un polytope r´eel Aest l’enveloppe convexestricte d’une partie finie A₀ ⊆R^q (points de la fronti`ere ∂Aexclus).

C’est un simplexesi on peut prendre pourA₀ un ensemble de points affinement ind´ependants.

41 %

(40)

Propri´et´es

Soit A⊆R^q un polytope r´eel.

1 A est relativement ouvert et pr´ecompact.

2 A peut être défini par un nombre fini d’inégalités linéaires.

3 Les faces de A sont des polytopes.

4 Les faces de A forment un complexe et une partition de A.

(41)

Les facettes d’un polytope sont ses faces propres maximales (pour l’ordre de sp´ecialisation).

Th´eor`eme

Soit A⊆R^q un polytope r´eel de dimension d .

1 A poss`ede au moins d+ 1facettes.

2 Il en a exactement d+ 1 ⇐⇒ c’est un simplexe.

41 %

(42)

Les faces propres deAforment un complexe.

(43)

Tout complexe simplicial

qui raffine le complexe des faces propres deA

43 %

(44)

Tout complexe simplicial

qui raffine le complexe des faces propres deA peut s’´etendre par “D´ecoupage Barycentrique”

en un complexe simplicial qui partitionneA.

(45)

46 %

(46)

Pour cet expos´e on prendZ =Z, mais toutZ-groupe conviendrait.

On poseΓ:=Z∪ {+∞}.

F_{1}(Γ²)

F_{2}(Γ²)

•

F∅(Γ²)

Le pointa= (x,y)∈Γ² est repr´esent´e par (1−2^−x,1−2^−y).

Pour tout a∈Γ^q,Suppa:=

i ∈ {1, . . . ,q}/ai <+∞ . Pour tout I ⊆ {1, . . . ,q},F_I(Γ^q):={a∈Γ^q/ Suppa=I}.

π_I := la projection de Γ^q sur{a∈Γ^q/ Suppa⊆I}.

(47)

F{1}(Γ²)

F_{2}(Γ²)

•

F∅(Γ²)

48 %

(48)

F{1}(Γ²)

F_{2}(Γ²)

•

F∅(Γ²)

π{1}

(49)

F_{1}(Γ²)

F_{2}(Γ²)

•

F∅(Γ²)

π{2}

48 %

(50)

F_{1}(Γ²)

F_{2}(Γ²)

•

F∅(Γ²)

π∅

(51)

Pour tous a,b ∈Γ^q,δ(a,b):= max

16i6q|2^−aⁱ −2^−bⁱ|.

NB1 : Toute partie de Γ^q bornée inférieurement est précompacte.

Pour tout A⊆Γ^q et toutI ⊆ {1, . . . ,q}: F_I(A):=

a∈A/ Suppa=I =A∩F_I(Γ^q). S’il est non vide, FI(A) est appel´e face deAde support I.

•

A₁ : 06y 6x F_∅(A₁) F_{2}(A₁)

•F_∅(A₂)

A₂ : 06x6y 62x NB₂ : Les faces de A⊆Z³ ne forment pas toujours un complexe !

50 %

(52)

16i6q|2^−aⁱ −2^−bⁱ|.

Pour tout A⊆Γ^q et toutI ⊆ {1, . . . ,q} : F_I(A):=

a∈A/ Suppa=I =A∩F_I(Γ^q).

S’il est non vide, F_I(A) est appel´e face deAde support I.

•

A₁ : 06y 6x F_∅(A₁) F_{2}(A₁)

•F_∅(A₂)

A₂ : 06x6y 62x

NB₂ : Les faces de A⊆Z³ ne forment pas toujours un complexe !

(53)

16i6q|2^−aⁱ −2^−bⁱ|.

Pour tout A⊆Γ^q et toutI ⊆ {1, . . . ,q} : F_I(A):=

a∈A/ Suppa=I =A∩F_I(Γ^q).

S’il est non vide, F_I(A) est appel´e face deAde support I.

•

A₁ : 06y 6x F_∅(A₁) F_{2}(A₁)

•F_∅(A₂)

A₂ : 06x6y 62x NB₂ : Les faces de A⊆Z³ ne forment pas toujours un complexe !

50 %

(54)

A⊆Z^q est semi-affine mod N s’il est d´efini par

f1(x)>0 et · · · et fr(x)>0 etg1(x)∈NZ etgs(x)∈NZ avec fi,gj des applicationsZ-affines.

A est semi-affinesi N = 1 (congruences triviales).

Mêmes définitions pour A⊆F_I(Γ^q), après identification F_I(Γ^q)'Z^CardÎ. Exemple

Les conditions suivantes :

06x 6y 62x et z = 2x−2y. d´efinissent une partie semi-affine AdeZ³.

N´eanmoins F_{3}(A) ={+∞} × {+∞} ×2Nn’est que semi-affine mod2.

(55)

52 %

(56)

Mêmes définitions pour A⊆F_I(Γ^q), après identification F_I(Γ^q)'Z^CardÎ.

Exemple

(57)

52 %

(58)

N´eanmoins F_{3}(A) ={+∞} × {+∞} ×2N n’est que semi-affine mod2.

(59)

Proposition

Soit A⊆Z^q une partie semi-affine mod N. Soient I,J ⊆ {1, . . . ,q}tels que F_I(A) et F_J(A) sont non vides.

1 FI(A) =πI(A) est le projet´e de A sur FI(Γ^q).

2 FJ(A)6FI(A) ⇐⇒ J⊆I . Dans ce cas FJ(A) =FJ(FI(A)).

3 F_I∩J(A)6=∅.

L’ensemble des faces propres de A forme donc un demi-treillis inf´erieur distributif et un complexe qui partitionne ∂A.

Probl`emes

Les faces d’une partie semi-affine (mod N) ne sont passemi-affines (mod N⁰) en g´en´eral. Ce sont juste des parties de Presburger(= unions finiesde semi-affines mod N⁰).

Si A⊆Z^q est seulement de Presburger, la proposition devient fausse.

54 %

(60)

Proposition

3 F_I∩J(A)6=∅.

Probl`emes

Les faces d’une partie semi-affine (mod N) ne sont passemi-affines (mod N⁰) en g´en´eral.

Ce sont juste des parties de Presburger(= unions finiesde semi-affines mod N⁰).

(61)

Proposition

3 F_I∩J(A)6=∅.

Probl`emes

Les faces d’une partie semi-affine (mod N) ne sont passemi-affines (mod N⁰) en g´en´eral. Ce sont juste des parties de Presburger(=

unions finiesde semi-affines mod N⁰).

54 %

(62)

Proposition

3 F_I∩J(A)6=∅.

Probl`emes

Les faces d’une partie semi-affine (mod N) ne sont passemi-affines (mod N⁰) en g´en´eral. Ce sont juste des parties de Presburger(=

unions finiesde semi-affines mod N⁰).

(63)

La distanceδ : Γ→R+ se prolonge surΩ:=Q∪ {+∞}.

f :X ⊆Γ^q →Ω estlargement continuesi elle se prolonge en une fonction continue surX.

Example

Sur X =Z² la fonctionf(x,y) =x−y est continue mais pas largement continue : elle n’a pas de limite en (+∞,+∞).

57 %

(64)

La distanceδ : Γ→R+ se prolonge surΩ:=Q∪ {+∞}.

f :X ⊆Γ^q →Ω estlargement continuesi elle se prolonge en une fonction continue surX.

Example

Sur X =Z² la fonctionf(x,y) =x−y est continue mais pas largement continue : elle n’a pas de limite en (+∞,+∞).

(65)

Le soclede A⊆Γ^q+1 est son projet´e Absur Γ^q.

A⊆Z^q est unpolytope discret siA=Z⁰ ouq >1 etAbest un polytope discret de Z^q−1 et

(x,t)∈A ⇐⇒ x∈Ab et µ(x)6t 6ν(x),

o`uµ, ν :Ab→Ω sontQ-affines (ou +∞), largement continuesetpositive.

Un tel couple (µ, ν) s’appelle unepr´esentationdeA.

Ceci se generalise à A⊆F_I(Γ^q), en identifiant F_I(Γ^q)'Z^CardÎ. NB : Tout polytope discret est précompact et semi-affine.

En particulier les faces deA forment un complexe, et pour toute face B =F_J(A) on aB =π_J(A).

On notera alors π_B :=π_J laprojection de A sur B.

59 %

(66)

Ceci se generalise `aA⊆F_I(Γ^q), en identifiant F_I(Γ^q)'Z^Card^I.

NB : Tout polytope discret est pr´ecompact et semi-affine.

(67)

Ceci se generalise àA⊆F_I(Γ^q), en identifiant F_I(Γ^q)'Z^CardÎ. NB : Tout polytope discret est précompact et semi-affine.

59 %

(68)

Ceci se generalise àA⊆F_I(Γ^q), en identifiant F_I(Γ^q)'Z^CardÎ. NB : Tout polytope discret est précompact et semi-affine.

(69)

Proposition

Soit A⊆F_I(Γ^q) un polytope et B =F_J(A) une face de A.

1 Si q>1alors Bb=F

Jb(A)b avec Jb:=J\ {q}.

2 Soit (µ, ν) une pr´esentation de A. Alors (x,t)∈F_J(Γ^q) appartient `a B ssi :

x ∈B etb µ(x)¯ 6t 6ν(x).¯

Pour en conclure que B est un polytope, de pr´esentation (¯µ,ν)¯ _|

Bb, il reste `a s’assurer que (¯µ,ν)¯ _|b_B sont encoreQ-affines (ou +∞).

61 %

(70)

Proposition (Dichotomie)

Soit S ⊆FI(Γ^q)une partie semi-affine mod N. Soit T une face propre de S , et soit f :S∪T →Γune fonction continue sur S∪T etQ-affine sur S .

•

S T

Si f(t) = +∞ en un point t ∈T alors f_|T = +∞. Sinon, f_|T est Q-affine et f_|S =f_|T ◦π_T.

En particulier, vu ce qui pr´ec`ede : toute face d’un polytope discret est un polytope discret.

(71)

•

S T

Si f(t) = +∞ en un point t ∈T alors f_|T = +∞.

Sinon, f_|T est Q-affine et f_|S =f_|T ◦π_T.

63 %

(72)

•

S T

Si f(t) = +∞ en un point t ∈T alors f_|T = +∞.

Sinon, f_|T est Q-affine et f_|S =f_|T ◦π_T.

(73)

Rappel

Les simplexes r´eels sont, parmi les polytopes de dimension d >1 donn´ee, ceux dont le nombre de facettes est minimal (=d + 1).

Un polytope discret est un simplexes’il poss`edeau plus une facette, qui est elle-mˆeme un simplexe. Autrement dit c’est un simplexe ssi ses faces forment unechaˆıne.

•

A1 : 06y 6x F_∅(A₁) F{2}(A1)

•F_∅(A₂)

A2 : 06x6y 62x

65 %

(74)

Rappel

Les simplexes r´eels sont, parmi les polytopes de dimension d >1 donn´ee, ceux dont le nombre de facettes est minimal (=d + 1).

Un polytope discret est un simplexes’il poss`edeau plus une facette, qui est elle-mˆeme un simplexe. Autrement dit c’est un simplexe ssi ses faces forment unechaˆıne.

•

A1 : 06y 6x F_∅(A₁) F_{2}(A1)

•F_∅(A₂)

A2 : 06x6y 62x

(75)

67 %

(76)

On fixe d´esormais un corpsp-adiquement closK. Pour simplifier on suppose v(K) = Γ =Z∪ {+∞}.

R := l’anneau de la valuationp-adique.

π := un générateur de l’idéal maximal deR.

Pour tout x∈K^q,kxk:= max

16i6q2^−v(xⁱ⁾. B(x,r):={y ∈K^q/ kx−yk6krk}.

Q_N,M :=S

k∈Γπ^Nk(1 +π^MR) =S

k∈ΓB(π^Nk, π^Nk+M).

• • • • • •

π^−N 1 π^N π^2N π^3N 0

(77)

{π^k}_k∈_Z n’est pas semi-alg´ebrique.

Q_1,M^× est un voisinage semi-alg´ebrique de {π^k}_k∈_Z. Il est d’autant plus fin que M est plus grand.

NB : Q_1,M^× est aussi un sous-groupe deK^× d’indice fini, donc ouvert-ferm´e dans K^×.

• • • • • •

π⁻¹ 1 π π² π³ 0

D^MR :=Q_1,M ∩R.

Un polytopep-adiqueest la pr´e-image, par la valuation p-adique restreinte `a D^MR^q, d’un polytope discret (dans Γ^q). Idem pour les simplexes p-adiques.

NB : Les polytopes p-adiques héritent des polytopes discrets toutes leurs bonnes propriétés : faces, projections, présentation, et. . .

72 %

(78)

{π^k}_k∈_Z n’est pas semi-alg´ebrique. Q_1,M^× est un voisinage semi-alg´ebrique de {π^k}_k∈_Z. Il est d’autant plus fin que M est plus grand.

• • • • • •

π⁻¹ 1 π π² π³ 0

D^MR :=Q_1,M ∩R.

(79)

• • • • • •

π⁻¹ 1 π π² π³ 0

D^MR :=Q_1,M ∩R.

72 %

(80)

• • • • • •

π⁻¹ 1 π π² π³ 0

D^MR :=Q_1,M ∩R.

(81)

74 %

(82)

A= un polytope.

(83)

T = un complexe simplicial

qui raffine le complexe des faces propres de A.

76 %

(84)

ε:∂A→K^× contrˆole la distance au bord :

∀T ∈ T, VT(ε) :=

a∈A/ ka−πT(a)k6kε(π_T(a))k est unvoisinage deT dansA.

(85)

T ∈ T peut ˆetre´etendudans V_T(ε) en un simplexe S_T de facette T.

76 %

(86)

Ce qui reste de Ase d´ecoupe en simplexes (sans bord !).

(87)

Proposition (D´ecoupage monotopique sous contrainte)

Soit A⊆D^MR^q un polytope etT un complexe simplicial qui raffine le complexe des faces propres de A. Soit ε:∂A→K^× une fonction semi-alg´ebrique.

Il existe un complexe simplicialS dans D^MR^q tel que :

1 T ⊆ S etS

S=A ;

2 ∀T ∈ T, il existe un unique ST ∈ S de facette T ;

3 ∀a∈S_T,δ(a, π_T(a))62^−ε(π^T^(a));

4 les autres S ∈ S sont ouvert-ferm´es.

78 %

(88)

3 R´esultat principal et applications Triangulation et monomialisation Applications

(89)

Un complexe simplicial d’indice M est une famille finie T = (T_i)_16i6n de complexes simpliciaux T_i de D^MR^qⁱ.

Th´eor`eme (Triangulation des ensembles)

Pour toute partie semi-algébrique A⊆K^m, il existe un complexe simplicial T d’indice M et un homéomorphisme semi-algébriqueϕ:U

T →A. De plus M peut ˆetre choisi arbitrairement grand.

Ici U

T d´esigne la r´eunion disjointe desS T_i.

NB : On peut trianguler simultan´ement toute famille finie (Ai)i∈I de parties semi-alg´ebriques. On appelle (T, ϕ) une triangulationde (A_i)_i∈I

(d’indiceM).

83 %

(90)

Un complexe simplicial d’indice M est une famille finie T = (T_i)_16i6n de complexes simpliciaux T_i de D^MR^qⁱ.

Th´eor`eme (Triangulation des ensembles)

Pour toute partie semi-algébrique A⊆K^m, il existe un complexe simplicial T d’indice M et un homéomorphisme semi-algébriqueϕ:U

T →A.

De plus M peut ˆetre choisi arbitrairement grand.

Ici U

T d´esigne la r´eunion disjointe desS T_i.

NB : On peut trianguler simultan´ement toute famille finie (Ai)i∈I de parties semi-alg´ebriques. On appelle (T, ϕ) une triangulationde (A_i)_i∈I

(d’indiceM).

(91)

Th´eor`eme (Triangulation/monomialisation des fonctions)

Soit (θ_i :A_i ⊆K^m→K)i∈I une famille finie de fonctions semi-alg´ebriques et n,N des entiers positifs. Il existe une triangulation (T, ϕ) de(Ai)i∈I, semi-alg´ebrique et d’indice M, telle que chaqueθ_i ◦ϕ_|T est N-monomiale mod U_e,n (pour tout i ∈I et T ∈ T tels que ϕ(T)⊆A_i).

De plus e,M peuvent ˆetre pris arbitrairement grands.

U_e :={x ∈K/ x^e = 1}. U_e,n:=U_e·(1 +πⁿR) = [

x∈Ue

B(x, πⁿ)

NB : U_e,n est un sous-groupe deK^× et un voisinage deU_e.

85 %

(92)

U_e :={x ∈K/ x^e = 1}.

U_e,n:=U_e·(1 +πⁿR) = [

x∈Ue

B(x, πⁿ)

NB : U_e,n est un sous-groupe deK^× et un voisinage deU_e.

(93)

Ue :={x ∈K/ x^e = 1}.

U_e,n:=U_e·(1 +πⁿR) = [

x∈Ue

B(x, πⁿ)

NB : Ue,n est un sous-groupe deK^× et un voisinage deUe. f est N-monomiale mod U_e,n sur le domaineS ⊆K^q s’il existe u :S →Ue,n semi-alg´ebrique, ξ ∈K et β1, . . . , βq∈Z tels que

∀x∈S, f(x) =u(x)·ξ·

q

Y

i=1

x_i^Nβⁱ

De manière équivalente, il existeχ:S →U_e semi-algébrique etg :S →K N-monomiale telles que

f χg −1

6kπⁿk.

87 %

(94)

Ue :={x ∈K/ x^e = 1}.

U_e,n:=U_e·(1 +πⁿR) = [

x∈Ue

B(x, πⁿ)

NB : Ue,n est un sous-groupe deK^× et un voisinage deUe. f est N-monomiale mod U_e,n sur le domaineS ⊆K^q s’il existe u :S →Ue,n semi-alg´ebrique, ξ ∈K et β1, . . . , βq∈Z tels que

∀x∈S, f(x) =u(x)·ξ·

q

Y

i=1

x_i^Nβⁱ

| {z }

g(x)

De manière équivalente, il existeχ:S →U_e semi-algébrique etg :S →K N-monomiale telles que

f χg −1

6kπⁿk.

(95)

NotonsT_m cet ´enonc´e.

89 %

(96)

3 R´esultat principal et applications Triangulation et monomialisation Applications

(97)

Théorème (Rétractions)

Soit B ⊆A⊆K^m des ensembles semi-algébriques. Il existe une rétraction semi-algébrique de A sur B ⇐⇒ B est fermé dans A.

Preuve (esquisse)

Tm ram`ene au cas o`uA=S et B =T avecS un simplexe etT une face de S. Il suffit alors de prendre ρ=π_T.

93 %

(98)

Théorème (Découpage)

Soit A⊆K^m une partie semi-algébrique relativement ouverte sans point isolé. Soient X1, . . . ,Xr des fermés semi-algébriques tels que

X₁∪ · · · ∪X_r =∂A.

Il existe une partition de A en morceaux semi-alg´ebriques A₁, . . . ,A_r tels que ∂A_k =X_k pour16k 6r .

Preuve (esquisse)

Tm ram`ene au cas o`uA est un simplexe deD^MR^q. Pour simplifier supposons que r = 2 etX₁ =X₂ =B est la facette deA.

Soit i ∈SuppA\SuppB. On pose : A1 =

a∈A/ v(ai)∈2N A2 =A\A1.

(99)

Théorème (Relèvement)

Soit η:A⊆K^m →K une fonction semi-alg´ebrique telle que kηkest continue. Il existe une fonction semi-alg´ebrique continueh:A⊆K^m →K telle que khk=kηk.

Preuve (esquisse)

Tm ram`ene au cas suivant :

A=S avecS un simplexe de D^MR^q;

η:S →K est N-monomiale modU_e,n sur chaque face deS.

Alors v◦η d´efinit une applicationZ-affine sur chaque face de v(S).

98 %