Courbes et fibr´es vectoriels en th´eorie de Hodge p-adique

Courbes et fibr´ es vectoriels en th´ eorie de Hodge p-adique

Laurent Fargues

Travail en commun avec J.M. Fontaine

L’anneau B

F corps valu´ e complet de caract´ eristique p, v : F →

∪ {+∞}, alg´ ebriquement clos `

F ' k((π)) pour les applications arithm´

etiques ´

L’anneau B

F corps valu´ e complet de caract´ eristique p, v : F →

∪ {+∞}, alg´ ebriquement clos `

F ' k((π)) pour les applications arithm´

etiques ´ W (O

) ˆ

p

˜ ˘ P

n−∞

[x

]p

| x

∈ O

¯

L’anneau B

F corps valu´ e complet de caract´ eristique p, v : F →

∪ {+∞}, alg´ ebriquement clos `

F ' k((π)) pour les applications arithm´

etiques ´ W (O

) ˆ

p

˜

vr

˘ P

n−∞

[x

]p

| x

∈ O

¯ _

R

∪ {+∞} inf

n∈Z

{v (x

) + nr}

pour r ∈

, v

est une valuation

L’anneau B

F corps valu´ e complet de caract´ eristique p, v : F →

∪ {+∞}, alg´ ebriquement clos `

F ' k((π)) pour les applications arithm´

etiques ´ W (O

) ˆ

p

˜

vr

˘ P

n−∞

[x

]p

| x

∈ O

¯ _

R

∪ {+∞} inf

n∈Z

{v (x

) + nr}

pour r ∈

, v

est une valuation D´ efinition

On note B

le compl´ et´ e de W (O

) ˆ

p

˜ par rapport ` a (v

)

.

ϕ

"" _B

=

− alg` ebre de Frechet

ϕ est bijectif

Alg` ebre gradu´ ee D´ efinition h ≥ 1,

P

= M

d≥0

` B

´

| {z }

P_h,d

Qp^h

= P

-alg` ebre gradu´ ee.

` B

´

= espace de Banach

Lorsque 1 ≤ d ≤ h, si G = groupe formel p-div. isocline de pente d h sur

G

' ˚

(0, 1),

G

F

(F) = G(O

) −−→

(B

´

topologie de Banach d´ efinie par les F -points d’un sous-groupe affino¨ıde

(0, ) ⊂ ˚

(0, 1) pour 0 < < 1.

m^dF

−−→

(B

´

(x

, . . . , x

) 7−→ X

0≤i≤d−1

X

n∈Z

ˆ x

˜

p

Alg` ebre gradu´ ee D´ efinition h ≥ 1,

P

= M

d≥0

` B

´

| {z }

P_h,d

Qp^h

= P

-alg` ebre gradu´ ee.

` B

´

= espace de Banach

Lorsque 1 ≤ d ≤ h, si G = groupe formel p-div. isocline de pente d h sur

G

' ˚

(0, 1),

G

F

(F) = G(O

) −−→

(B

´

topologie de Banach d´ efinie par les F -points d’un sous-groupe affino¨ıde

(0, ) ⊂ ˚

(0, 1) pour 0 < < 1.

m^dF

−−→

(B

´

(x

, . . . , x

) 7−→ X

0≤i≤d−1

X

n∈Z

ˆ x

˜

p

Alg` ebre gradu´ ee D´ efinition h ≥ 1,

P

= M

d≥0

` B

´

| {z }

P_h,d

Qp^h

= P

-alg` ebre gradu´ ee.

` B

´

= espace de Banach

Lorsque 1 ≤ d ≤ h, si G = groupe formel p-div. isocline de pente d h sur

G

' ˚

(0, 1),

G

F

(F ) = G(O

) −−→

(B

´

topologie de Banach d´ efinie par les F -points d’un sous-groupe affino¨ıde

(0, ) ⊂ ˚

(0, 1) pour 0 < < 1.

m^dF

−−→

(B

´

(x

, . . . , x

) 7−→ X

0≤i≤d−1

X

n∈Z

ˆ x

˜

p

Alg` ebre gradu´ ee D´ efinition h ≥ 1,

P

= M

d≥0

` B

´

| {z }

P_h,d

Qp^h

= P

-alg` ebre gradu´ ee.

` B

´

= espace de Banach

Lorsque 1 ≤ d ≤ h, si G = groupe formel p-div. isocline de pente d h sur

G

' ˚

(0, 1),

G

F

(F ) = G(O

) −−→

(B

´

topologie de Banach d´ efinie par les F -points d’un sous-groupe affino¨ıde

(0, ) ⊂ ˚

(0, 1) pour 0 < < 1.

m^dF

−−→

(B

´

(x

, . . . , x

) 7−→ X

0≤i≤d−1

X

n∈Z

ˆ x

˜

p

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

.

Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement 3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C 3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)et Be est anneau principal !

En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

. Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

2.

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement 3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C 3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)et Be est anneau principal !

En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

. Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement 3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C 3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)et Be est anneau principal !

En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

. Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement 3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C 3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)et Be est anneau principal !

En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

. Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement 3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C 3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)et Be est anneau principal !

En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

. Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement 3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C 3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)et Be est anneau principal !

En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

. Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement

3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C 3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)et Be est anneau principal !

En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

. Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement 3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C 3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)et Be est anneau principal !

En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

. Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement 3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C

3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)etBe est anneau principal ! En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

. Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement 3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C 3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)etBe est anneau principal !

En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

. Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement 3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C 3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)etBe est anneau principal !

En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

Courbe D´ efinition

h ≥ 1, X

= Proj(P

). On note X := X

. Th´ eor` eme

1.

X

est un sch´ ema noeth´ erien r´ egulier de dimension 1

X

' X ⊗

via (B

)

| {z }

P_1,d

, → (B

)

| {z }

P_h,hd

3.

t ∈ P

\ {0}, V

(t) = {∞}, un seul point de X :

3.1 C=corps r´esiduel en∞est alg´ebriquement clos, valu´e complet|Qp

3.2 R(O_C) =˘

(x⁽ⁿ⁾)n≥0|x⁽ⁿ⁾∈ O_C, (x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p=x⁽ⁿ⁾¯

=O_F canoniquement 3.3 B_cris^{+ θ} C anneau de Fontaine associ´e, B⁺=T

n≥1ϕⁿ(B_cris⁺ ) canoniquement

3.4 O\X,∞=B_dR^{+ θ} C , t=uniformisante= p´eriode deµp^∞ surO_C 3.5 Si Be=B_cris^ϕ=Id, X\ {∞}=Spec(Be)etBe est anneau principal !

En fait,deg =−v∞:Be→N∪ {−∞}fait de(Be,deg)un anneau

«presque euclidien»non euclidien

4.

Si K |

, C = K , F b = Frac(R(O

)), X munie canoniquement de ∞ ∈ X et

X ||

_{stabilise ∞}

La courbe

5

. Tous les points ferm´ es de X sont de la forme pr´ ec´ edente, de degr´ e 1, et

∀f ∈

(X )

, deg(div(f )) = 0.

P

`

(B

)

´

= `

P

\ {0} ´ /

−−→ |X

|.

Mˆ eme propri´ et´ es pour X

, en rempla¸ cant t ∈ P

par t

∈ P

. t

= p´ eriode d’un groupe de Lubin-Tate associ´ e ` a

Le morphisme

π

: X

→ X

est ´ etale fini galoisien de groupe Gal(

|Q

). Si V

(t) = ∞, π

(∞) = {∞

, . . . , ∞

} o` u t

p´ eriode d’un Lubin-Tate,

{∞

} = V

(ϕ

(t

)) et

t = Norme

(t

) =

h−1

Y

i=0

ϕ

(t

)

La courbe

5

. Tous les points ferm´ es de X sont de la forme pr´ ec´ edente, de degr´ e 1, et

∀f ∈

(X )

, deg(div(f )) = 0.

P

`

(B

)

´

= `

P

\ {0} ´ /

−−→ |X

|.

Mˆ eme propri´ et´ es pour X

, en rempla¸ cant t ∈ P

par t

∈ P

. t

= p´ eriode d’un groupe de Lubin-Tate associ´ e ` a

Le morphisme

π

: X

→ X

est ´ etale fini galoisien de groupe Gal(

|Q

). Si V

(t) = ∞, π

(∞) = {∞

, . . . , ∞

} o` u t

p´ eriode d’un Lubin-Tate,

{∞

} = V

(ϕ

(t

)) et

t = Norme

(t

) =

h−1

Y

i=0

ϕ

(t

)

La courbe

5

. Tous les points ferm´ es de X sont de la forme pr´ ec´ edente, de degr´ e 1, et

∀f ∈

(X )

, deg(div(f )) = 0.

P

`

(B

)

´

= `

P

\ {0} ´ /

−−→ |X

|.

Mˆ eme propri´ et´ es pour X

, en rempla¸ cant t ∈ P

par t

∈ P

. t

= p´ eriode d’un groupe de Lubin-Tate associ´ e ` a

Le morphisme

π

: X

→ X

est ´ etale fini galoisien de groupe Gal(

|

). Si V

(t) = ∞, π

(∞) = {∞

, . . . , ∞

} o` u t

p´ eriode d’un Lubin-Tate,

{∞

} = V

(ϕ

(t

)) et

t = Norme

(t

) =

h−1

Y

i=0

ϕ

(t

)

Uniformisation rigide analytique

x = P

n≥0

[x

]p

∈ W (O

) est dit primitif de degr´ e 1 si x

∈

\ {0} et x

∈ O

. Par exemple, x = [z] − p avec z ∈

\ {0}.

Y = ˘

Id´ eaux de W (O

) ˆ

p

˜ engendr´ es par un ´ el´ ement primitif de degr´ e 1 ¯ Th´ eor` eme

1.

Y ⊂

`

W (O

) ˆ

p

˜´ et ∀m ∈ Y , C

= W (O

) ˆ

p

˜ /m est un corps valu´ e complet alg´ ebriquement clos extension de

2.

∀m ∈ Y , ∃z ∈

\ {0},

= ([z] − p).

Si pour ∈ 1 +

\ {1} on note

u

= 1 + ˆ

˜

+ · · · + ˆ

˜

, u

est primitif de degr´ e 1 et

` ˚

(F ) \ {0} ´ /

−−→

Y

α 7−→ `

u

´ .

4.

Y ⊂ M `

W (O

) ˆ

p

˜´ , l’espace de Berkovich des vecteurs de Witt,

«

Y = points classiques

v

= Norme de Gauss

Uniformisation rigide analytique

x = P

n≥0

[x

]p

∈ W (O

) est dit primitif de degr´ e 1 si x

∈

\ {0} et x

∈ O

. Par exemple, x = [z] − p avec z ∈

\ {0}.

Y = ˘

Id´ eaux de W (O

) ˆ

p

˜ engendr´ es par un ´ el´ ement primitif de degr´ e 1 ¯ Th´ eor` eme

1.

Y ⊂

`

W (O

) ˆ

p

˜´ et ∀m ∈ Y , C

= W (O

) ˆ

p

˜ /m est un corps valu´ e complet alg´ ebriquement clos extension de

2.

∀m ∈ Y , ∃z ∈

\ {0},

= ([z] − p).

Si pour ∈ 1 +

\ {1} on note

u

= 1 + ˆ

˜

+ · · · + ˆ

˜

, u

est primitif de degr´ e 1 et

` ˚

(F ) \ {0} ´ /

−−→

Y

α 7−→ `

u

´ .

4.

Y ⊂ M `

W (O

) ˆ

p

˜´ , l’espace de Berkovich des vecteurs de Witt,

«

Y = points classiques

v

= Norme de Gauss

Uniformisation rigide analytique

x = P

n≥0

[x

]p

∈ W (O

) est dit primitif de degr´ e 1 si x

∈

\ {0} et x

∈ O

. Par exemple, x = [z] − p avec z ∈

\ {0}.

Y = ˘

Id´ eaux de W (O

) ˆ

p

˜ engendr´ es par un ´ el´ ement primitif de degr´ e 1 ¯

Th´ eor` eme

Y ⊂

`

W (O

) ˆ

p

˜´ et ∀m ∈ Y , C

= W (O

) ˆ

p

˜ /m est un corps valu´ e complet alg´ ebriquement clos extension de

2.

∀m ∈ Y , ∃z ∈

\ {0},

= ([z] − p).

Si pour ∈ 1 +

\ {1} on note

u

= 1 + ˆ

˜

+ · · · + ˆ

˜

, u

est primitif de degr´ e 1 et

` ˚

(F ) \ {0} ´ /

−−→

Y

α 7−→ `

u

´ .

4.

Y ⊂ M `

W (O

) ˆ

p

˜´ , l’espace de Berkovich des vecteurs de Witt,

«

Y = points classiques

v

= Norme de Gauss

Uniformisation rigide analytique

x = P

n≥0

[x

]p

∈ W (O

) est dit primitif de degr´ e 1 si x

∈

\ {0} et x

∈ O

. Par exemple, x = [z] − p avec z ∈

\ {0}.

Y = ˘

Id´ eaux de W (O

) ˆ

p

˜ engendr´ es par un ´ el´ ement primitif de degr´ e 1 ¯ Th´ eor` eme

1.

Y ⊂

`

W (O

) ˆ

p

˜´ et ∀m ∈ Y , C

= W (O

) ˆ

p

˜ /m est un corps valu´ e complet alg´ ebriquement clos extension de

2.

∀m ∈ Y , ∃z ∈

\ {0},

= ([z] − p).

Si pour ∈ 1 +

\ {1} on note

u

= 1 + ˆ

˜

+ · · · + ˆ

˜

, u

est primitif de degr´ e 1 et

` ˚

(F ) \ {0} ´ /

−−→

Y

α 7−→ `

u

´ .

4.

Y ⊂ M `

W (O

) ˆ

p

˜´ , l’espace de Berkovich des vecteurs de Witt,

«

Y = points classiques

v

= Norme de Gauss

Uniformisation rigide analytique

x = P

n≥0

[x

]p

∈ W (O

) est dit primitif de degr´ e 1 si x

∈

\ {0} et x

∈ O

. Par exemple, x = [z] − p avec z ∈

\ {0}.

Y = ˘

Id´ eaux de W (O

) ˆ

p

˜ engendr´ es par un ´ el´ ement primitif de degr´ e 1 ¯ Th´ eor` eme

1.

Y ⊂

`

W (O

) ˆ

p

˜´ et ∀m ∈ Y , C

= W (O

) ˆ

p

˜ /m est un corps valu´ e complet alg´ ebriquement clos extension de

2.

∀m ∈ Y , ∃z ∈

\ {0},

= ([z] − p).

3.

Si pour ∈ 1 +

\ {1} on note u

= 1 + ˆ

˜

+ · · · + ˆ

˜

, u

est primitif de degr´ e 1 et

` ˚

(F ) \ {0} ´ /

−−→

Y

α 7−→ `

u

´ .

4.

Y ⊂ M `

W (O

) ˆ

p

˜´ , l’espace de Berkovich des vecteurs de Witt,

«

Y = points classiques

v

= Norme de Gauss

Uniformisation rigide analytique

x = P

n≥0

[x

]p

∈ W (O

) est dit primitif de degr´ e 1 si x

∈

\ {0} et x

∈ O

. Par exemple, x = [z] − p avec z ∈

\ {0}.

Y = ˘

Id´ eaux de W (O

) ˆ

p

˜ engendr´ es par un ´ el´ ement primitif de degr´ e 1 ¯ Th´ eor` eme

1.

Y ⊂

`

W (O

) ˆ

p

˜´ et ∀m ∈ Y , C

= W (O

) ˆ

p

˜ /m est un corps valu´ e complet alg´ ebriquement clos extension de

2.

∀m ∈ Y , ∃z ∈

\ {0},

= ([z] − p).

3.

Si pour ∈ 1 +

\ {1} on note u

= 1 + ˆ

˜

+ · · · + ˆ

˜

, u

est primitif de degr´ e 1 et

` ˚

(F ) \ {0} ´ /

−−→

Y

α 7−→ `

u

´ .

4.

Y ⊂ M `

W (O

) ˆ

p

˜´ , l’espace de Berkovich des vecteurs de Witt,

«

Y = points classiques

v

= Norme de Gauss

Uniformisation rigide analytique

x = P

n≥0

[x

]p

∈ W (O

) est dit primitif de degr´ e 1 si x

∈

\ {0} et x

∈ O

. Par exemple, x = [z] − p avec z ∈

\ {0}.

Y = ˘

Id´ eaux de W (O

) ˆ

p

˜ engendr´ es par un ´ el´ ement primitif de degr´ e 1 ¯ Th´ eor` eme

1.

Y ⊂

`

W (O

) ˆ

p

˜´ et ∀m ∈ Y , C

= W (O

) ˆ

p

˜ /m est un corps valu´ e complet alg´ ebriquement clos extension de

2.

∀m ∈ Y , ∃z ∈

\ {0},

= ([z] − p).

3.

Si pour ∈ 1 +

\ {1} on note u

= 1 + ˆ

˜

+ · · · + ˆ

˜

, u

est primitif de degr´ e 1 et

` ˚

(F ) \ {0} ´ /

−−→

Y

α 7−→ `

u

´ .

4.

Y ⊂ M `

W (O

) ˆ

p

˜´ , l’espace de Berkovich des vecteurs de Witt,

«

Y = points classiques

v

= Norme de Gauss

Uniformisation rigide analytique

5.

Y /ϕ

−−→

|X

| ([z] − p) mod ϕ

7−→ V

(t

) o` u

t

=

Y

n∈Z

“ 1 −

ˆ z

˜ p

”

»

= Y

n≥0

“ 1 −

ˆ z

˜ p

” .« Y

n<0

“ 1 −

ˆ z

˜ p

”

| {z }

produit non convergeant d´efini de fa¸con d´etourn´ee

»

Fibr´ es vectoriels

Fibr´es en droite

h ≥ 1, d ∈

O

(d ) = P

[d ] fibr´ e en droites sur X

P

= M

d≥0

H

(X

, O

(d ))

Th´ eor` eme

1.

d 7→ [O

(d)] induit un isomorphisme

// Pic(X )

ww

2.

H

(X , O

) = 0

genre 0

H

(X , O

(−1)) 6= 0 diff´ erent de

→ li´ e au fait que (B

, deg) pas euclidien

→ si 0 → O

→ E → O

(1) → 0 non triviale, E semi-stable de pente

1 2

∈ /

Fibr´ es vectoriels

Fibr´es en droite

h ≥ 1, d ∈

O

(d ) = P

[d ] fibr´ e en droites sur X

P

= M

d≥0

H

(X

, O

(d ))

Th´ eor` eme

1.

d 7→ [O

(d)] induit un isomorphisme

// Pic(X )

ww

2.

H

(X , O

) = 0

genre 0

H

(X , O

(−1)) 6= 0 diff´ erent de

→ li´ e au fait que (B

, deg) pas euclidien

→ si 0 → O

→ E → O

(1) → 0 non triviale, E semi-stable de pente

1 2

∈ /

Fibr´ es vectoriels

Fibr´es en droite

h ≥ 1, d ∈

O

(d ) = P

[d ] fibr´ e en droites sur X

P

= M

d≥0

H

(X

, O

(d ))

Th´ eor` eme

1.

d 7→ [O

(d)] induit un isomorphisme

// Pic(X )

ww

2.

H

(X , O

) = 0

genre 0

H

(X , O

(−1)) 6= 0 diff´ erent de

→ li´ e au fait que (B

, deg) pas euclidien

→ si 0 → O

→ E → O

(1) → 0 non triviale, E semi-stable de pente

1 2

∈ /

Fibr´ es vectoriels

Fibr´es en droite

h ≥ 1, d ∈

O

(d ) = P

[d ] fibr´ e en droites sur X

P

= M

d≥0

H

(X

, O

(d ))

Th´ eor` eme

1.

d 7→ [O

(d)] induit un isomorphisme

// Pic(X )

ww

2.

H

(X , O

) = 0

genre 0

3.

H

(X , O

(−1)) 6= 0 diff´ erent de

→ li´ e au fait que (B

, deg) pas euclidien

→ si 0 → O

→ E → O

(1) → 0 non triviale, E semi-stable de pente

1 2

∈ /

Fibr´ es vectoriels

Fibr´es en droite

h ≥ 1, d ∈

O

(d ) = P

[d ] fibr´ e en droites sur X

P

= M

d≥0

H

(X

, O

(d ))

Th´ eor` eme

1.

d 7→ [O

(d)] induit un isomorphisme

// Pic(X )

ww

2.

H

(X , O

) = 0

genre 0

H

(X , O

(−1)) 6= 0 diff´ erent de

→ li´ e au fait que (B

, deg) pas euclidien

→ si 0 → O

→ E → O

(1) → 0 non triviale, E semi-stable de pente

1 2

∈ /

Fibr´ es vectoriels D´ efinition

Pour d ∈

, h ≥ 1, π

: X

→ X ,

O

(d, h) = π

O

(d ) fibr´ e de rang h et de degr´ e d .

Pour λ ∈

, si λ =

avec (d, h) = 1, O

(λ) = O

(d, h).

On a µ(O

(λ)) = λ. Th´ eor` eme

1.

Les fibr´ es semi-stables de pente λ sur X sont les sommes directes de fibr´ es O

(λ)

2.

La filtration de Harder-Narasimhan d’un fibr´ e vectoriel sur X est scind´ ee

L’application

{λ

≥ · · · ≥ λ

|n ∈

, λ

∈

} → {classes d’iso. de fibr´ es sur X } (λ

, . . . , λ

) 7→ ˆ

n

M

i=1

O

(λ

) ˜

est une bijection.

Fibr´ es vectoriels D´ efinition

Pour d ∈

, h ≥ 1, π

: X

→ X ,

O

(d, h) = π

O

(d )

fibr´ e de rang h et de degr´ e d . Pour λ ∈

, si λ =

avec (d, h) = 1, O

(λ) = O

(d, h).

On a µ(O

(λ)) = λ.

Th´ eor` eme

1.

Les fibr´ es semi-stables de pente λ sur X sont les sommes directes de fibr´ es O

(λ)

2.

La filtration de Harder-Narasimhan d’un fibr´ e vectoriel sur X est scind´ ee

L’application

{λ

≥ · · · ≥ λ

|n ∈

, λ

∈

} → {classes d’iso. de fibr´ es sur X } (λ

, . . . , λ

) 7→ ˆ

n

M

i=1

O

(λ

) ˜

est une bijection.

Fibr´ es vectoriels D´ efinition

Pour d ∈

, h ≥ 1, π

: X

→ X ,

O

(d, h) = π

O

(d )

fibr´ e de rang h et de degr´ e d . Pour λ ∈

, si λ =

avec (d, h) = 1, O

(λ) = O

(d, h).

On a µ(O

(λ)) = λ.

Th´ eor` eme

1.

Les fibr´ es semi-stables de pente λ sur X sont les sommes directes de fibr´ es O

(λ)

2.

La filtration de Harder-Narasimhan d’un fibr´ e vectoriel sur X est scind´ ee

L’application

{λ

≥ · · · ≥ λ

|n ∈

, λ

∈

} → {classes d’iso. de fibr´ es sur X } (λ

, . . . , λ

) 7→ ˆ

n

M

i=1

O

(λ

) ˜

est une bijection.

Faiblement admissible ⇒ admissible

K|

, valuation discr` ete corps r´ esiduel parfait. K

= W (k

)

. ϕ − Mod

= Isocristaux = {(D, ϕ)}

Deux fonctions additives

t

,

: ϕ − Mod

−→

o` u t

= point terminal de Newton et

= dim

D.

ϕ − ModFil

= ϕ-modules filtr´ es de Fontaine = {(D, ϕ,

D

)} Trois fonctions additives

t

, t

,

: ϕ − ModFil

−→

o` u t

= point terminal de Hodge = P

i∈Z

dim

D

. On pose

deg = t

− t

et µ = deg

.

→ filtrations de Harder-Narasimhan pour µ dans la cat´ egorie exacte ϕ − ModFil

.

D´ efinition (Fontaine)

Faiblements admissibles = objets semi-stables de pente 0 dans ϕ − ModFil

.