G´eom´etrie p-adique des courbes modulaires

(1)

G´ eom´ etrie p-adique des courbes modulaires

Laurent Fargues

5 novembre 2009

(2)

G´ eom´ etrie des courbes modulaires sur C

N ≥ 3 un entier

Sh

N

= espace de modules des couples (E, η) o` u E est une courbe elliptique et η : ( Z /N Z )

²

−−→

^∼

E [N]

= Courbe alg´ ebrique lisse sur Q H

^±

= C \ R

Γ(N) =

γ ∈ SL

2

( Z ) | γ ≡ Id mod N

Γ(N) ⊂ GL

₂

( R ) << H

^±

par homographies

Uniformisation de la surface de Riemann Sh

_N

( C ) : a

(Z/NZ)^×

Γ(N)\ H

^±

' Sh

N

( C )

(3)

G´ eom´ etrie des courbes modulaires sur C

N ≥ 3 un entier

Sh

N

= espace de modules des couples (E, η) o` u E est une courbe elliptique et η : ( Z /N Z )

²

−−→

^∼

E [N]

= Courbe alg´ ebrique lisse sur Q

H

^±

= C \ R Γ(N) =

γ ∈ SL

2

( Z ) | γ ≡ Id mod N

Γ(N) ⊂ GL

₂

( R ) << H

^±

par homographies

Uniformisation de la surface de Riemann Sh

_N

( C ) : a

(Z/NZ)^×

Γ(N)\ H

^±

' Sh

N

( C )

(4)

G´ eom´ etrie des courbes modulaires sur C

N ≥ 3 un entier

Sh

N

= espace de modules des couples (E, η) o` u E est une courbe elliptique et η : ( Z /N Z )

²

−−→

^∼

E [N]

= Courbe alg´ ebrique lisse sur Q H

^±

= C \ R

Γ(N) =

γ ∈ SL

2

( Z ) | γ ≡ Id mod N

Γ(N) ⊂ GL

₂

( R ) << H

^±

par homographies

Uniformisation de la surface de Riemann Sh

_N

( C ) : a

(Z/NZ)^×

Γ(N)\ H

^±

' Sh

N

( C )

(5)

G´ eom´ etrie des courbes modulaires sur C

N ≥ 3 un entier

Sh

N

= espace de modules des couples (E, η) o` u E est une courbe elliptique et η : ( Z /N Z )

²

−−→

^∼

E [N]

= Courbe alg´ ebrique lisse sur Q H

^±

= C \ R

Γ(N) =

γ ∈ SL

2

( Z ) | γ ≡ Id mod N

Γ(N) ⊂ GL

₂

( R ) << H

^±

par homographies

Uniformisation de la surface de Riemann Sh

_N

( C ) : a

(Z/NZ)^×

Γ(N)\ H

^±

' Sh

N

( C )

(6)

L’uniformisation

a

(Z/NZ)^×

Γ(N)\ H

^±

' Sh

_N

( C )

est donn´ ee sur la composante ind´ ex´ ee par ¯ 1 ∈ ( Z / NZ )

^×

par H

^±

−→ Sh

N

( C )

τ 7−→ C / Z ⊕ Z τ, η o` u

( η(1, 0) =

_N¹

mod Z ⊕ Z τ

η(0, 1) =

_N^τ

mod Z ⊕ Z τ

(7)

G´ eom´ etrie sur Z

Th´ eor` eme

1. La vari´ et´ e alg´ ebrique Sh

N

poss` ede un (( bon )) mod` ele entier modulaire S

N

sur Z .

2. Lorsque (N, p) = 1, S

_N

⊗ Z

(p)

est lisse (sans singularit´ es) sur Z

(p)

.

(8)

G´ eom´ etrie sur Z

Th´ eor` eme

1. La vari´ et´ e alg´ ebrique Sh

N

poss` ede un (( bon )) mod` ele entier modulaire S

N

sur Z .

2. Lorsque (N, p) = 1, S

_N

⊗ Z

(p)

est lisse (sans singularit´ es) sur Z

(p)

.

(9)

G´ eom´ etrie modulo p

Stratification de Newton

(N, p) = 1

S

_N

⊗ F

p

= courbe alg´ ebrique lisse sur F

p

= espace de modules de courbes elliptiques en caract´ eristique p Si E = courbe elliptique sur F

p

, 2 cas :

I

E [p]( F

p

) ' Z /p Z , E est ordinaire, E [p

^∞

] ' Q

p

/ Z

p

× µ

_p^∞

, E b ' G c

m I

E [p]( F

p

) = {0}, E est supersinguli` ere, E [p

^∞

] = E b = unique groupe

formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

^p

(S

N

⊗ F

p

)

^ord

= ouvert de S

N

⊗ F

p

(S

_N

⊗ F

p

)

^ss

= S

_N

⊗ F

p

\ (S

_N

⊗ F

p

)

^ord

= nombre fini de points

−→ stratification de Newton de S

N

⊗ F

^p

(10)

G´ eom´ etrie modulo p

(N, p) = 1

S

_N

⊗ F

p

= courbe alg´ ebrique lisse sur F

p

= espace de modules de courbes elliptiques en caract´ eristique p

Si E = courbe elliptique sur F

p

, 2 cas :

I

E [p]( F

p

) ' Z /p Z , E est ordinaire, E [p

^∞

] ' Q

p

/ Z

p

× µ

_p^∞

, E b ' G c

m I

E [p]( F

p

) = {0}, E est supersinguli` ere, E [p

^∞

] = E b = unique groupe

formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

^p

(S

N

⊗ F

p

)

^ord

= ouvert de S

N

⊗ F

p

(S

_N

⊗ F

p

)

^ss

= S

_N

⊗ F

p

\ (S

_N

⊗ F

p

)

^ord

= nombre fini de points

−→ stratification de Newton de S

N

⊗ F

^p

(11)

G´ eom´ etrie modulo p

(N, p) = 1

S

_N

⊗ F

p

= courbe alg´ ebrique lisse sur F

p

= espace de modules de courbes elliptiques en caract´ eristique p Si E = courbe elliptique sur F

p

, 2 cas :

I

E [p]( F

p

) ' Z /p Z , E est ordinaire, E [p

^∞

] ' Q

p

/ Z

p

× µ

_p^∞

, E b ' G c

m I

E [p]( F

p

) = {0}, E est supersinguli` ere, E [p

^∞

] = E b = unique groupe

formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

^p

(S

N

⊗ F

p

)

^ord

= ouvert de S

N

⊗ F

p

(S

_N

⊗ F

p

)

^ss

= S

_N

⊗ F

p

\ (S

_N

⊗ F

p

)

^ord

= nombre fini de points

−→ stratification de Newton de S

N

⊗ F

^p

(12)

G´ eom´ etrie modulo p

(N, p) = 1

S

_N

⊗ F

p

= courbe alg´ ebrique lisse sur F

p

= espace de modules de courbes elliptiques en caract´ eristique p Si E = courbe elliptique sur F

p

, 2 cas :

I

E [p]( F

p

) ' Z /p Z , E est ordinaire,

E [p

^∞

] ' Q

p

/ Z

p

× µ

_p^∞

, E b ' G c

m I

E [p]( F

p

) = {0}, E est supersinguli` ere, E [p

^∞

] = E b = unique groupe

formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

^p

(S

N

⊗ F

p

)

^ord

= ouvert de S

N

⊗ F

p

(S

_N

⊗ F

p

)

^ss

= S

_N

⊗ F

p

\ (S

_N

⊗ F

p

)

^ord

= nombre fini de points

−→ stratification de Newton de S

N

⊗ F

^p

(13)

G´ eom´ etrie modulo p

(N, p) = 1

S

_N

⊗ F

p

= courbe alg´ ebrique lisse sur F

p

= espace de modules de courbes elliptiques en caract´ eristique p Si E = courbe elliptique sur F

p

, 2 cas :

I

E [p]( F

p

) ' Z /p Z , E est ordinaire, E [p

^∞

] ' Q

p

/ Z

p

× µ

_p^∞

,

E b ' G c

m I

E [p]( F

p

) = {0}, E est supersinguli` ere, E [p

^∞

] = E b = unique groupe

formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

^p

(S

N

⊗ F

p

)

^ord

= ouvert de S

N

⊗ F

p

(S

_N

⊗ F

p

)

^ss

= S

_N

⊗ F

p

\ (S

_N

⊗ F

p

)

^ord

= nombre fini de points

−→ stratification de Newton de S

N

⊗ F

^p

(14)

G´ eom´ etrie modulo p

(N, p) = 1

S

_N

⊗ F

p

= courbe alg´ ebrique lisse sur F

p

= espace de modules de courbes elliptiques en caract´ eristique p Si E = courbe elliptique sur F

p

, 2 cas :

I

E [p]( F

p

) ' Z /p Z , E est ordinaire, E [p

^∞

] ' Q

p

/ Z

p

× µ

_p^∞

, E b ' G c

m

I

E [p]( F

p

) = {0}, E est supersinguli` ere, E [p

^∞

] = E b = unique groupe formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

^p

(S

N

⊗ F

p

)

^ord

= ouvert de S

N

⊗ F

p

(S

_N

⊗ F

p

)

^ss

= S

_N

⊗ F

p

\ (S

_N

⊗ F

p

)

^ord

= nombre fini de points

−→ stratification de Newton de S

N

⊗ F

^p

(15)

G´ eom´ etrie modulo p

(N, p) = 1

S

_N

⊗ F

p

= courbe alg´ ebrique lisse sur F

p

= espace de modules de courbes elliptiques en caract´ eristique p Si E = courbe elliptique sur F

p

, 2 cas :

I

E [p]( F

p

) ' Z /p Z , E est ordinaire, E [p

^∞

] ' Q

p

/ Z

p

× µ

_p^∞

, E b ' G c

m I

E [p]( F

p

) = {0}, E est supersinguli` ere,

E [p

^∞

] = E b = unique groupe formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

^p

(S

N

⊗ F

p

)

^ord

= ouvert de S

N

⊗ F

p

(S

_N

⊗ F

p

)

^ss

= S

_N

⊗ F

p

\ (S

_N

⊗ F

p

)

^ord

= nombre fini de points

−→ stratification de Newton de S

N

⊗ F

^p

(16)

G´ eom´ etrie modulo p

(N, p) = 1

S

_N

⊗ F

p

= courbe alg´ ebrique lisse sur F

p

= espace de modules de courbes elliptiques en caract´ eristique p Si E = courbe elliptique sur F

p

, 2 cas :

I

E [p]( F

p

) ' Z /p Z , E est ordinaire, E [p

^∞

] ' Q

p

/ Z

p

× µ

_p^∞

, E b ' G c

m I

E [p]( F

p

) = {0}, E est supersinguli` ere, E [p

^∞

] = E b = unique groupe

formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

^p

(S

N

⊗ F

p

)

^ord

= ouvert de S

N

⊗ F

p

(S

_N

⊗ F

p

)

^ss

= S

_N

⊗ F

p

\ (S

_N

⊗ F

p

)

^ord

= nombre fini de points

−→ stratification de Newton de S

N

⊗ F

^p

(17)

G´ eom´ etrie modulo p

(N, p) = 1

S

_N

⊗ F

p

= courbe alg´ ebrique lisse sur F

p

= espace de modules de courbes elliptiques en caract´ eristique p Si E = courbe elliptique sur F

p

, 2 cas :

I

E [p]( F

p

) ' Z /p Z , E est ordinaire, E [p

^∞

] ' Q

p

/ Z

p

× µ

_p^∞

, E b ' G c

m I

E [p]( F

p

) = {0}, E est supersinguli` ere, E [p

^∞

] = E b = unique groupe

formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

^p

(S

N

⊗ F

p

)

^ord

= ouvert de S

N

⊗ F

p

(S

_N

⊗ F

p

)

^ss

= S

_N

⊗ F

p

\ (S

_N

⊗ F

p

)

^ord

= nombre fini de points

−→ stratification de Newton de S

N

⊗ F

^p

(18)

G´ eom´ etrie modulo p

(N, p) = 1

S

_N

⊗ F

p

= courbe alg´ ebrique lisse sur F

p

= espace de modules de courbes elliptiques en caract´ eristique p Si E = courbe elliptique sur F

p

, 2 cas :

I

E [p]( F

p

) ' Z /p Z , E est ordinaire, E [p

^∞

] ' Q

p

/ Z

p

× µ

_p^∞

, E b ' G c

m I

E [p]( F

p

) = {0}, E est supersinguli` ere, E [p

^∞

] = E b = unique groupe

formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

^p

(S

N

⊗ F

p

)

^ord

= ouvert de S

N

⊗ F

p

(S

_N

⊗ F

p

)

^ss

= S

_N

⊗ F

p

\ (S

_N

⊗ F

p

)

^ord

= nombre fini de points

−→ stratification de Newton de S

N

⊗ F

^p

(19)

G´ eom´ etrie modulo p

(N, p) = 1

S

_N

⊗ F

p

= courbe alg´ ebrique lisse sur F

p

= espace de modules de courbes elliptiques en caract´ eristique p Si E = courbe elliptique sur F

p

, 2 cas :

I

E [p]( F

p

) ' Z /p Z , E est ordinaire, E [p

^∞

] ' Q

p

/ Z

p

× µ

_p^∞

, E b ' G c

m I

E [p]( F

p

) = {0}, E est supersinguli` ere, E [p

^∞

] = E b = unique groupe

formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

^p

(S

N

⊗ F

p

)

^ord

= ouvert de S

N

⊗ F

p

(S

_N

⊗ F

p

)

^ss

= S

_N

⊗ F

p

\ (S

_N

⊗ F

p

)

^ord

= nombre fini de points

−→ stratification de Newton de S

_N

⊗ F

p

(20)

G´ eom´ etrie p-adique

Tubes au dessus des points supersinguliers

j : Sh

N

−→ A

¹

Posons X := j

⁻¹

B (0, 1)

⊂ Sh

_N

⊗ Q d

^nrp

^an

o` u B (0, 1) = {x ∈ ( A

¹

)

^an

| |x|

p

≤ 1}

X = lieu de bonne r´ eduction de la courbe elliptique universelle Sp´ ecialisation :

sp : X −→ S

N

⊗ F

p

( (( r´ etraction )) de la fibre g´ en´ erique sur la fibre sp´ eciale) x ∈ S

_N

( F

p

), tube au dessus de x= sp

⁻¹

(x)

| {z }

fibre de Milnor

' ˚ B (0, 1)

car S

N

⊗ Z

p

est lisse

(21)

G´ eom´ etrie p-adique

j : Sh

N

−→ A

¹

Posons X := j

⁻¹

B (0, 1)

⊂ Sh

_N

⊗ d Q

^nrp

^an

o` u B (0, 1) = {x ∈ ( A

¹

)

^an

| |x|

p

≤ 1}

X= lieu de bonne r´ eduction de la courbe elliptique universelle

Sp´ ecialisation :

sp : X −→ S

N

⊗ F

p

( (( r´ etraction )) de la fibre g´ en´ erique sur la fibre sp´ eciale) x ∈ S

_N

( F

p

), tube au dessus de x= sp

⁻¹

(x)

| {z }

fibre de Milnor

' ˚ B (0, 1)

car S

N

⊗ Z

p

est lisse

(22)

G´ eom´ etrie p-adique

j : Sh

N

−→ A

¹

Posons X := j

⁻¹

B (0, 1)

⊂ Sh

_N

⊗ d Q

^nrp

^an

o` u B (0, 1) = {x ∈ ( A

¹

)

^an

| |x|

p

≤ 1}

X= lieu de bonne r´ eduction de la courbe elliptique universelle Sp´ ecialisation :

sp : X −→ S

N

⊗ F

p

( (( r´ etraction )) de la fibre g´ en´ erique sur la fibre sp´ eciale) x ∈ S

_N

( F

p

), tube au dessus de x= sp

⁻¹

(x)

| {z }

fibre de Milnor

' ˚ B (0, 1)

car S

N

⊗ Z

p

est lisse

(23)

G´ eom´ etrie p-adique

Int´erpr´etation modulaire des fibres de Milnorp-adiques

Th´ eor` eme (Serre-Tate)

D´ eformer une famille de vari´ et´ es ab´ eliennes d´ efinie sur une base annul´ ee par une puissance de p ⇐⇒ d´ eformer son groupe formel

X = espace des d´ eformations d’un groupe formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

p

X ' Spf W ( F

p

) J x K

(non canoniquement)

Corollaire

Si x ∈ S

_N^ss

( F

p

), sp

⁻¹

(x) ' X

^an

(24)

G´ eom´ etrie p-adique

Th´ eor` eme (Serre-Tate)

D´ eformer une famille de vari´ et´ es ab´ eliennes d´ efinie sur une base annul´ ee par une puissance de p ⇐⇒ d´ eformer son groupe formel

X = espace des d´ eformations d’un groupe formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

p

X ' Spf W ( F

p

) J x K

(non canoniquement)

Corollaire

Si x ∈ S

_N^ss

( F

p

), sp

⁻¹

(x) ' X

^an

(25)

G´ eom´ etrie p-adique

Th´ eor` eme (Serre-Tate)

D´ eformer une famille de vari´ et´ es ab´ eliennes d´ efinie sur une base annul´ ee par une puissance de p ⇐⇒ d´ eformer son groupe formel

X = espace des d´ eformations d’un groupe formel p-divisible de dimension 1 et hauteur 2 sur F

p

X ' Spf W ( F

p

) J x K

(non canoniquement)

Corollaire

Si x ∈ S

_N^ss

( F

p

), sp

⁻¹

(x) ' X

^an

(26)

Pour une coordonn´ ee x et un param` etre formel T bien choisis, si f (T ) = 1 + X

k≥1

X

I⊂{0,...,k−2}

I∩I+1=∅

1 p

^k−|I|

x

P

0≤i≤k−1 i∈I∪I+1/

pⁱ

T

^p^k

= T + x

p T

^p

+ x

^p+1

p

²

+ 1

p

T

^p²

+ x

^1+p+p²

p

³

+ x

^p²

p

²

+ x p

²

T

^p³

+ x

^1+p+p²^+p³

p

⁴

+ x

^p²^+p³

p

³

+ x

^1+p³

p

³

+ x

^1+p

p

³

+ 1

p

²

T

^p⁴

+ . . .

f ∈ ( Q

p

[x ]) J T K alors

F (X , Y ) = f

⁻¹

(f (X ) + f (Y )) ∈ Z

p

J X , Y K !!!

F = loi de groupe formel universelle, f = log

_F

(27)

Pour une coordonn´ ee x et un param` etre formel T bien choisis, si f (T ) = 1 + X

k≥1

X

I⊂{0,...,k−2}

I∩I+1=∅

1 p

^k−|I|

x

P

0≤i≤k−1 i∈I∪I+1/

pⁱ

T

^p^k

= T + x

p T

^p

+ x

^p+1

p

²

+ 1

p

T

^p²

+ x

^1+p+p²

p

³

+ x

^p²

p

²

+ x p

²

T

^p³

+ x

^1+p+p²^+p³

p

⁴

+ x

^p²^+p³

p

³

+ x

^1+p³

p

³

+ x

^1+p

p

³

+ 1

p

²

T

^p⁴

+ . . .

f ∈ ( Q

p

[x ]) J T K alors

F (X , Y ) = f

⁻¹

(f (X ) + f (Y ))

∈ Z

p

J X , Y K !!!

F = loi de groupe formel universelle, f = log

_F

(28)

Pour une coordonn´ ee x et un param` etre formel T bien choisis, si f (T ) = 1 + X

k≥1

X

I⊂{0,...,k−2}

I∩I+1=∅

1 p

^k−|I|

x

P

0≤i≤k−1 i∈I∪I+1/

pⁱ

T

^p^k

= T + x

p T

^p

+ x

^p+1

p

²

+ 1

p

T

^p²

+ x

^1+p+p²

p

³

+ x

^p²

p

²

+ x p

²

T

^p³

+ x

^1+p+p²^+p³

p

⁴

+ x

^p²^+p³

p

³

+ x

^1+p³

p

³

+ x

^1+p

p

³

+ 1

p

²

T

^p⁴

+ . . .

f ∈ ( Q

p

[x ]) J T K alors

F (X , Y ) = f

⁻¹

(f (X ) + f (Y )) ∈ Z

p

J X , Y K !!!

F = loi de groupe formel universelle, f = log

_F

(29)

La tour de Lubin-Tate

X

^an

' ˚ B

¹

syst` eme local p-adique de rang n

X

^an

π

1

˚ B

¹

<< T

p

(D´ ef. universelle) ' Z

²p

GL

2

( Q

p

) << (X

K

)

_K⊂GL₂₍_Z_p₎

= tour de Lubin-Tate

O^×_D

\\

O

D

= ordre maximal dans une alg` ebre de quaternion sur Q

p

X

_GL₂₍_Z_p₎

= X

^an

= base de la tour

(30)

La tour de Lubin-Tate

X

^an

' ˚ B

¹

syst` eme local p-adique de rang n

X

^an

π

1

˚ B

¹

<< T

p

(D´ ef. universelle) ' Z

²p

GL

2

( Q

p

) << (X

K

)

= tour de Lubin-Tate

O^×_D

\\

O

D

= ordre maximal dans une alg` ebre de quaternion sur Q

p

X

_GL₂₍_Z_p₎

= X

^an

= base de la tour

(31)

La tour de Lubin-Tate

X

^an

' ˚ B

¹

syst` eme local p-adique de rang n

X

^an

π

1

˚ B

¹

<< T

p

(D´ ef. universelle) ' Z

²p

GL

2

( Q

p

) << (X

K

)

= tour de Lubin-Tate

O^×_D

\\

O

D

= ordre maximal dans une alg` ebre de quaternion sur Q

p

X

_GL₂₍_Z_p₎

= X

^an

= base de la tour

(32)

La tour de Lubin-Tate

X

^an

' ˚ B

¹

syst` eme local p-adique de rang n

X

^an

π

1

˚ B

¹

<< T

p

(D´ ef. universelle) ' Z

²p

GL

2

( Q

p

) << (X

K

)

= tour de Lubin-Tate

O^×_D

\\

O

D

= ordre maximal dans une alg` ebre de quaternion sur Q

p

X

_GL₂₍_Z_p₎

= X

^an

= base de la tour

(33)

Fibre de Milnor en niveau quelconque

(N, p) = 1

x ∈ S

_N^ss

( F

p

), sp

⁻¹

(x) = X

^an

k ≥ 1, S

_pkN

⊗ F

p

| {z }

singulier

−→ S

_N

⊗ F

p

| {z }

lisse

totalement ramifi´ e au dessus de x

y

k

∈ S

_pkN

( F

p

), y

k

7−→ x

sp

⁻¹

(y

k

) ' X

_Id+pkM₂(Zp)

(34)

Fibre de Milnor en niveau quelconque

(N, p) = 1

x ∈ S

_N^ss

( F

p

), sp

⁻¹

(x) = X

^an

k ≥ 1, S

_pkN

⊗ F

p

| {z }

singulier

−→ S

_N

⊗ F

p

| {z }

lisse

totalement ramifi´ e au dessus de x

y

k

∈ S

_pkN

( F

p

), y

k

7−→ x

sp

⁻¹

(y

k

) ' X

_Id+pkM₂(Zp)

(35)

Fibre de Milnor en niveau quelconque

(N, p) = 1

x ∈ S

_N^ss

( F

p

), sp

⁻¹

(x) = X

^an

k ≥ 1, S

_pkN

⊗ F

p

| {z }

singulier

−→ S

_N

⊗ F

p

| {z }

lisse

totalement ramifi´ e au dessus de x

y

k

∈ S

_pkN

( F

p

), y

k

7−→ x

sp

⁻¹

(y

k

) ' X

_Id+pkM₂(Zp)

(36)

Sur les espaces de Lubin-Tate

I

Existent pour GL

_n

(F) pour tout n et [F : Q

p

] < +∞ ↔ certaines vari´ et´ es de Shimura

I

Correspondance de Langlands locale , → cohomologie `-adique de la tour de L.T.

I

Lien avec les groupes d’homotopie stables des sph` eres. K-th´ eorie de Morava

I

G´ eom´ etrie reli´ ee ` a celle de l’immeuble de Bruhat-Tits de PGL

_n/_Q_p

(37)

Sur les espaces de Lubin-Tate

I

Existent pour GL

_n

(F) pour tout n et [F : Q

p

] < +∞ ↔ certaines vari´ et´ es de Shimura

I

Correspondance de Langlands locale , → cohomologie `-adique de la tour de L.T.

I

Lien avec les groupes d’homotopie stables des sph` eres. K-th´ eorie de Morava

I

G´ eom´ etrie reli´ ee ` a celle de l’immeuble de Bruhat-Tits de PGL

_n/_Q_p

(38)

Sur les espaces de Lubin-Tate

I

Existent pour GL

_n

(F) pour tout n et [F : Q

p

] < +∞ ↔ certaines vari´ et´ es de Shimura

I

Correspondance de Langlands locale , → cohomologie `-adique de la tour de L.T.

I

Lien avec les groupes d’homotopie stables des sph` eres. K-th´ eorie de Morava

I

G´ eom´ etrie reli´ ee ` a celle de l’immeuble de Bruhat-Tits de PGL

_n/_Q_p

(39)

Sur les espaces de Lubin-Tate

I

Existent pour GL

_n

(F) pour tout n et [F : Q

p

] < +∞ ↔ certaines vari´ et´ es de Shimura

I

Correspondance de Langlands locale , → cohomologie `-adique de la tour de L.T.

I

Lien avec les groupes d’homotopie stables des sph` eres. K-th´ eorie de Morava

I

G´ eom´ etrie reli´ ee ` a celle de l’immeuble de Bruhat-Tits de PGL

_n/_Q_p