M1 – G´ eom´ etrie : Courbes et surfaces

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Universit´e Claude Bernard Lyon 1

M1 – G´ eom´ etrie : Courbes et surfaces

Contrˆole partiel du 16 novembre 2016 - Dur´ee 2h

Les documents sont autorisés mais les calculettes et les téléphones por- tables sont interdits. Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction pour l’attribution d’une note.

Le QCM. – On r´epond par vrai ou faux, sans justifier.

1.– Si γ : R−→R² est une courbe birégulière C^∞ et ϕ:R² −→R² est un difféomorphismeC^∞alors un vecteur directeur de la droite tangente deϕ◦γ en t estdϕ_γ(t)(T(t)) où T =γ⁰.

2.– Si γ : R −→ R² une courbe birégulière C^∞ et ϕ : R² −→ R² est un difféomorphismeC^∞ alors un vecteur directeur de la droite normale deϕ◦γ en t estdϕ_γ(t)(N(t)) oùN est la normale principale de γ.

3.– Si γ : R −→ R² une courbe C^∞ ayant un point d’inflexion en t = 0 et si ϕ : R² −→ R² un diff´eomorphisme C^∞ alors la courbe ϕ◦γ a un point d’inflexion en t= 0.

4.– Si γ : [0,2π] −→ C^∗ est une courbe régulière C^∞ et ϕ :C^∗ −→ C^∗ est donnée par z 7→z² alors la courbeϕ◦γ est régulière.

5.– Si γ : [0,2π] −→ C^∗ une courbe régulière fermée simple C^∞ et ϕ : C^∗ −→ C^∗ est donnée par z 7→ z² alors a courbe ϕ◦γ possède un point double.

6.– Siγ :R−→C est birégulière C^∞ telle que γ(0) = 0 et siϕ:C^∗ −→C^∗ est comme à la question précédente alors la courbe ϕ◦γ admet un point de rebroussement de première espèce en t= 0.

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7.– Soient w∈C^∗, α=xdy−ydx et γ : [0,2π] −→ C

t 7−→ x(t) +iy(t)

une courbe fermée. On note γ_w la courbe paramétrée t 7−→ w.(x(t) +iy(t)) avec t∈ [0,2π]. On a

Z

γw

α=|w|² Z

γ

α.

8.– Si F : R² −→ R de classe C^∞ est telle que F(0,0) = 0, ^∂F_∂y(0,0) = 0,

∂F

∂x(0,0) = 0 alors il n’existe pas de courbe r´eguli`ereγ : ]−, [−→R², >0, telle que

γ(0) = (0,0) et ∀t∈]−, [, F(γ(t)) = 0.

9.– Pour toutt ∈Ron d´efinitPt(x) :=x³−(2 +t)x+ 1 et on pose D={(t, x)∈R×R|P_t(x) = 0}

Il existe >0 et une courbeγ : ]−, [−→Dr´eguli`ere telle queγ(0) = (0,1).

10.– Soit F(x, y) = x+y−x⁴ −y⁴ et soit γ : ]−, [ −→R², > 0, une courbe paramétrée régulière telle que

γ(0) = (0,0) et ∀t∈]−, [, F(γ(t)) = 0.

Alors la courbure de γ ent= 0 est nulle.

Problème. – Soient a < 0 < b et γ : [a, b] −→ R³ une courbe C^∞ birégulière paramétrée par la longueur d’arc. On notek (resp.τ) sa courbure (resp. sa torsion). On suppose que γ(0) =O.

1) On se place dans le rep`ere de Frenet R = (O;T₀, N₀, B₀). Montrer que l’on a

γ(s) =

s− k²₀ 6s³

T₀+

k₀

2s²+ k⁰₀ 6 s³

N₀+ k₀τ₀

6 s³B₀+o(s³) o`u T₀ =T(0), N₀ =N(0), B₀ =B(0), k₀ =k(0), k⁰₀ =k⁰(0) et τ₀ =τ(0).

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2) Soit S une sph`ere de centre Ω = (x₁, y₁, z₁) (dans le rep`ere R) et de rayon R =p

x²₁+y²₁+z₁².

i) Montrer que si est s suffisamment petit alors γ(s)6= Ω.

ii) On suppose s tel γ(s) 6= Ω. On note Q(s) l’intersection de de la demi droite Ω +R+

−−−→Ωγ(s) avec S. Montrer que kΩγ(s)k²−kΩQ(s)k² =−2x₁s+(1−k₀y₁)s²+1

3(x₁k²₀−y₁k₀⁰−z₁k₀τ₀)s³+o(s³).

3) On appellesph`ere osculatricedeγ ens= 0 une sph`ereStelle queγ(0)∈S et kΩγ(s)k²− kΩQ(s)k² =o(s³).

i) Montrer que si k₀ 6= 0 etτ₀ 6= 0 la sph`ere osculatrice existe et est unique.

ii) On suppose toujours k₀ 6= 0 et τ₀ 6= 0. Dans quel(s) cas la sphère osculatrice de γ en s= 0 et le cercle osculateur de γ au même point ont-ils même centre ? Et même rayon ?

4) On suppose queγ est bir´eguli`ere et qu’elle satisfait en outreτ(s)6= 0 pour tout s ∈[a, b]. Soit

Ω : [a, b] −→ R³

s 7−→ γ(s) + _k(s)¹ N(s)− _k2^k(s)τ(s)⁰^(s) B(s)

la courbe des centres des sphères osculatrices. Montrer qu’en tout point s où Ω est régulière, la droite tangente à Ω en s passe par le centre du cercle osculateur.

On cherche désormais les courbes γ : [a, b] −→R³ dont en chaque point la sphère osculatrice et le cercle osculateur ont même centre.

5) i) Montrer pour que toute courbe γ : [a, b] −→ R³ C^∞ régulière non nécessairement paramétrée par la longueur d’arc, il existe deux applications α : [a, b] −→ R^∗+ et f : [a, b] −→ S²(1) ⊂ R³ (i. e. pour tout t ∈ [a, b], kf(t)k= 1) telles que

∀t∈[a, b], γ(t) =γ(a) + Z t

a

α(u)f(u)du.

ii) Calculer la courbure de γ en fonction de f⁰ et de α.

iii) Montrer que γ est birégulière si et seulement si f est régulière.

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iv) Là où elle est définie, calculer la torsion de γ en fonction de α, de f⁰ et du déterminant det(f(t), f⁰(t), f⁰⁰(t)).

6) i) Montrer que toute courbe γ : [a, b] −→ R³ C^∞ birégulière (mais non nécessairement paramétrée par la longueur d’arc) et à courbure constante c >0 s’écrit sous la forme

∀t∈[a, b], γ(t) =γ(a) + 1 c

Z t

a

kf⁰(u)kf(u)du (∗) où f : [a, b]−→S²(1) ⊂R³ est régulière.

ii) A-t-on la r´eciproque ?

7) On se donne f : [0,2π] −→S²(1) et on définit γ par la formule (∗) de la question précédente.

i) Reconnaˆıtre γ lorsque f est un param´etrage par la longueur d’arc de l’´equateur de S²(1)

ii) Reconnaˆıtre γ lorsque f est un param´etrage `a vitesse constante d’une la- titude de S²(1).

iii) Dans les deux cas précédents, déterminer et reconnaˆıtre le support de la courbe Ω des centres des sphères osculatrices.

8) On suppose maintenant que f : [0,2π] −→ S²(1) est une courbe C^∞ régulière et fermée et on définit comme précédemment γ par la formule (∗).

i) Sous quelle condition sur f la courbe γ est-elle ferm´ee ?

ii) Donner un exemple explicite d’une courbe paramétrée régulière fermée f qui ne soit pas un cercle est telle que γ soit fermée à courbure constante non nulle.

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