— Les documents, calculettes et t´ el´ ephones portables ne sont pas autoris´ es.

(1)

Universit´ e Claude Bernard Lyon 1

L3 - Math´ ematiques pour l’enseignement – G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire 2015-2016 Contrˆ ole n ^o 4 : mardi 31 mai 2016

Dur´ ee : 3 heures

— Les documents, calculettes et t´ el´ ephones portables ne sont pas autoris´ es.

— Aucun point ne sera attribu´ e aux r´ eponses non justifi´ ees.

— On traitera les exercices dans l’ordre que l’on voudra et on pourra utiliser librement les r´ esultats d’un exercice dans un autre.

Exercice 1 : Droites stables par une rotation

Soit, dans un espace affine euclidien orient´ e de dimension 3, une rotation ρ distincte de l’identit´ e.

Soient ∆ son axe (orient´ e) et θ son angle. Soient O un point de ∆.

On pourra travailler un rep` ere ad´ equat.

1. Soit D une droite contenant O stable par ρ.

(a) Soit v un vecteur directeur de − →

D . Montrer que v est un vecteur propre de − → ρ . (b) Montrer que l’on est dans l’un des cas suivants :

— soit D = ∆ ;

— soit D est perpendiculaire ` a ∆ et ρ est un demi-tour (i.e., θ ≡ π [2π]).

2. Soit D ⁰ une droite quelconque stable par ρ. Montrer que D ⁰ contient un point de ∆.

Exercice 2 : Angle et plans bissecteurs de deux plans s´ ecants Soit E un espace affine euclidien de dimension 3.

1. Dans cette question, on fixe un rep` ere orthonorm´ e dans lequel les coordonn´ ees d’un point

g´ en´ erique

seront not´ ees (x, y, z). De plus, soit P un plan affine de E. Soient M un point de E, M ⁰ son projet´ e orthogonal sur P et N un point de P .

(a) Montrer bri` evement que M N > M M ⁰ , avec ´ egalit´ e si et seulement si N = M ⁰ . On note M M ⁰ = d(M, P ) : ce r´ eel est appel´ e la distance de M ` a P .

On suppose que P admet pour ´ equation cart´ esienne ax + by + cz + d = 0, o` u (a, b, c, d) est un quadruplet de r´ eels tel que (a, b, c) 6= (0, 0, 0), et que M a pour coordonn´ ees (x, y, z).

(b) Donner les coordonn´ ees d’un vecteur n normal ` a P . Calculer h −−−→

M M ⁰ , ni en fonction des donn´ ees. (Ici, M ⁰ est encore le projet´ e orthogonal de M sur P . Il est utile d’introduire ses coordonn´ ees mais inutile de les calculer.)

(c) En d´ eduire que d(M, P ) = |ax + by + cz + d|

√

a ² + b ² + c ² .

2. D´ esormais, on fixe deux plans s´ ecants P et P ⁰ (mais plus de rep` ere).

(a) Supposons qu’il existe un rep` ere orthonorm´ e (O, e ₁ , e ₂ , e ₃ ) dans lequel P a pour

´

equation y = 0 et P ⁰ une ´ equation de la forme x sin α − y cos α = 0. Que peut-on dire de l’origine O ? la droite contenant O et dirig´ e par e 3 (

l’axe (Oz)

) ?

(b) Quelles sont les valeurs possibles de α ?

La plus petite valeur positive de α est appel´ ee l’angle entre les plans P et P ⁰ . (c) Montrer l’existence d’un tel rep` ere.

(d) Faire un dessin o` u apparaissent les plans et le rep` ere.

1

(2)

Exercice 3 : Distance entre deux droites

On se place dans R ³ muni du rep` ere canonique et du produit scalaire canonique. On consid` ere deux points A ₁ = (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) et A ₂ = (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) ainsi que deux vecteurs v ₁ = (a ₁ , b ₁ , c ₁ ) et v 2 = (a 2 , b 2 , c 2 ). On suppose que ces vecteurs sont tous deux de norme 1. On note D ₁ (resp. D ₂ ) la droite passant par A 1 (resp. A 2 ) et dirig´ ee par v 1 (resp. v 2 ).

1. Soit π 1 la projection orthogonale sur D ₁ . On fixe un point M de R ³ et on note M ⁰ = π 1 (M ).

(a) Donner une expression vectorielle de −−−→

A ₁ M ⁰ . (b) En d´ eduire les coordonn´ ees de M ⁰ .

(c) Donner une expression de la distance de M ` a D ₁ (sans coordonn´ ees).

2. On suppose d´ esormais que D ₁ et D ₂ ne sont pas parall` eles ; autrement dit, la famille (v ₁ , v ₂ ) est libre.

(a) Justifier de deux fa¸ cons qu’il existe un vecteur e 3 de norme 1 et orthogonal ` a v 1 et v 2 : en utilisant le produit vectoriel et sans l’utiliser.

(b) Soit P ₁ le plan contenant A 1 et dont la direction est Vect(v 1 , e 3 ). Justifier que P ₁ coupe D ₂ en un point B ₁ . On d´ efinit de mˆ eme P ₂ = A ₂ + Vect(v ₂ , e ₃ ) et B ₂ ∈ P ₂ ∩ D ₁ . (c) D´ emontrer que (B ₁ B ₂ ) est perpendiculaire ` a D ₁ et D ₂ .

3. La distance de D ₁ ` a D ₂ est d´ efinie par

d(D ₁ , D ₂ ) = inf

(M

1

,M

2

)∈D

1

×D

2

d(M 1 , M 2 ).

(a) Soient M ₁ ∈ D ₁ et M ₂ ∈ D ₂ . D´ emontrer que

M ₁ M ₂ ² = B ₁ B ₂ ² + kvk ² , o` u v est un vecteur ` a d´ eterminer.

(b) En d´ eduire d(D ₁ , D ₂ ).

4. On se propose d’´ etudier l’application

ϕ : D ₂ −→ D ₂ M 7−→ π 2 ◦ π 1 (M ).

(a) Justifier bri` evement que ϕ est affine. Quelle est l’application lin´ eaire associ´ ee ` a ϕ ? On suppose d´ esormais que les droites D ₁ et D ₂ n’ont pas la mˆ eme direction.

(b) Que peut-on d´ eduire de cette hypoth` ese sur

hv ₁ , v 2 i ?

(c) Montrer l’existence d’un unique point N ∈ D ₂ tel que N = ϕ(N ).

(d) Montrer que −−−−−→

N π ₂ (N) est orthogonal ` a v ₂ . En d´ eduire qu’il est orthogonal ` a v ₁ . Que vaut

−−−−−→

N π ₂ (N )

?

Exercice 4 : Point de Lemoine d’un triangle

Soit P un plan affine euclidien. On consid` ere un triangle non aplati ABC. On note A ⁰ , B ⁰ et C ⁰ les milieux respectifs des cˆ ot´ es [BC], [CA], [AB]. On note a = BC, b = CA, c = AB.

La sym´ ediane issue du sommet A est l’image de la m´ ediane (AA ⁰ ) par la r´ eflexion par rapport

`

a la bissectrice (int´ erieure) issue de A. On d´ efinit de mˆ eme les sym´ edianes issues de B et C.

2

(3)

On rappelle du CC3 que l’intersection des trois bissectrices int´ erieures, c’est-` a-dire le centre du cercle inscrit, peut s’´ ecrire comme barycentre de la fa¸ con suivante :

I =

A B C

a b c

.

On introduit le point de Lemoine L comme un barycentre :

L =

A B C

a ² b ² c ²

.

1. (a) Soit A 1 l’intersection de la bissectrice (AI) et de (BC). Donner ses coordonn´ ees barycentriques.

(b) Donner de mˆ eme les coordonn´ ees barycentriques de l’intersection A ₀ de (AL) et (BC).

(c) Montrer que

(b + c) ² −−→

AA ₁ = (b ² + c ² ) −−→

AA ₀ + 2bc −−→

AA ⁰ . 2. Soit α une mesure de \ BAC .

(a) Donner une expression de AA ⁰ ² en fonction de b, c et α.

Pour cette question, on utilisera ` a nouveau l’expression de A ⁰ comme barycentre de B et C. (De mˆ eme pour la suivante.)

(b) Donner une expression de AA 0 2 en fonction de b, c et α.

(c) En d´ eduire que (b ² + c ² ) · AA 0 = 2bc · AA ⁰ .

(d) En d´ eduire que (AA ₁ ) est la bissectrice int´ erieure de l’angle A \ ⁰ AA ₀ , puis que A ₀ appartient ` a sym´ ediane issue de A.

3. Montrer que les trois sym´ edianes sont concourantes et que leur intersection est le point de Lemoine L.

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Dur´ ee : 3 heures

— Les documents, calculettes et t´ el´ ephones portables ne sont pas autoris´ es.

— Aucun point ne sera attribu´ e aux r´ eponses non justifi´ ees.

— On traitera les exercices dans l’ordre que l’on voudra et on pourra utiliser librement les r´ esultats d’un exercice dans un autre.

Exercice 1 : Droites stables par une rotation

Soit, dans un espace affine euclidien orient´ e de dimension 3, une rotation ρ distincte de l’identit´ e.

Soient ∆ son axe (orient´ e) et θ son angle. Soient O un point de ∆.

On pourra travailler un rep` ere ad´ equat.

1. Soit D une droite contenant O stable par ρ.

(a) Soit v un vecteur directeur de − →

D . Montrer que v est un vecteur propre de − → ρ . (b) Montrer que l’on est dans l’un des cas suivants :

— soit D = ∆ ;

— soit D est perpendiculaire ` a ∆ et ρ est un demi-tour (i.e., θ ≡ π [2π]).

2. Soit D 0 une droite quelconque stable par ρ. Montrer que D 0 contient un point de ∆.

Exercice 2 : Angle et plans bissecteurs de deux plans s´ ecants Soit E un espace affine euclidien de dimension 3.

1. Dans cette question, on fixe un rep` ere orthonorm´ e dans lequel les coordonn´ ees d’un point

g´ en´ erique

seront not´ ees (x, y, z). De plus, soit P un plan affine de E. Soient M un point de E, M 0 son projet´ e orthogonal sur P et N un point de P .

(a) Montrer bri` evement que M N > M M 0 , avec ´ egalit´ e si et seulement si N = M 0 . On note M M 0 = d(M, P ) : ce r´ eel est appel´ e la distance de M ` a P .

On suppose que P admet pour ´ equation cart´ esienne ax + by + cz + d = 0, o` u (a, b, c, d) est un quadruplet de r´ eels tel que (a, b, c) 6= (0, 0, 0), et que M a pour coordonn´ ees (x, y, z).

(b) Donner les coordonn´ ees d’un vecteur n normal ` a P . Calculer h −−−→

M M 0 , ni en fonction des donn´ ees. (Ici, M 0 est encore le projet´ e orthogonal de M sur P . Il est utile d’introduire ses coordonn´ ees mais inutile de les calculer.)

(c) En d´ eduire que d(M, P ) = |ax + by + cz + d|

√

a 2 + b 2 + c 2 .

2. D´ esormais, on fixe deux plans s´ ecants P et P 0 (mais plus de rep` ere).

(a) Supposons qu’il existe un rep` ere orthonorm´ e (O, e 1 , e 2 , e 3 ) dans lequel P a pour

´

equation y = 0 et P 0 une ´ equation de la forme x sin α − y cos α = 0. Que peut-on dire de l’origine O ? la droite contenant O et dirig´ e par e 3 (

l’axe (Oz)

) ?

(b) Quelles sont les valeurs possibles de α ?

La plus petite valeur positive de α est appel´ ee l’angle entre les plans P et P 0 . (c) Montrer l’existence d’un tel rep` ere.

(d) Faire un dessin o` u apparaissent les plans et le rep` ere.

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Exercice 3 : Distance entre deux droites

1. Soit π 1 la projection orthogonale sur D 1 . On fixe un point M de R 3 et on note M 0 = π 1 (M ).

(a) Donner une expression vectorielle de −−−→

A 1 M 0 . (b) En d´ eduire les coordonn´ ees de M 0 .

(c) Donner une expression de la distance de M ` a D 1 (sans coordonn´ ees).

2. On suppose d´ esormais que D 1 et D 2 ne sont pas parall` eles ; autrement dit, la famille (v 1 , v 2 ) est libre.

(a) Justifier de deux fa¸ cons qu’il existe un vecteur e 3 de norme 1 et orthogonal ` a v 1 et v 2 : en utilisant le produit vectoriel et sans l’utiliser.

(b) Soit P 1 le plan contenant A 1 et dont la direction est Vect(v 1 , e 3 ). Justifier que P 1 coupe D 2 en un point B 1 . On d´ efinit de mˆ eme P 2 = A 2 + Vect(v 2 , e 3 ) et B 2 ∈ P 2 ∩ D 1 . (c) D´ emontrer que (B 1 B 2 ) est perpendiculaire ` a D 1 et D 2 .

3. La distance de D 1 ` a D 2 est d´ efinie par

d(D 1 , D 2 ) = inf

(M

,M

)∈D

×D

d(M 1 , M 2 ).

(a) Soient M 1 ∈ D 1 et M 2 ∈ D 2 . D´ emontrer que

M 1 M 2 2 = B 1 B 2 2 + kvk 2 , o` u v est un vecteur ` a d´ eterminer.

(b) En d´ eduire d(D 1 , D 2 ).

4. On se propose d’´ etudier l’application

ϕ : D 2 −→ D 2 M 7−→ π 2 ◦ π 1 (M ).

(a) Justifier bri` evement que ϕ est affine. Quelle est l’application lin´ eaire associ´ ee ` a ϕ ? On suppose d´ esormais que les droites D 1 et D 2 n’ont pas la mˆ eme direction.

(b) Que peut-on d´ eduire de cette hypoth` ese sur

hv 1 , v 2 i ?

(c) Montrer l’existence d’un unique point N ∈ D 2 tel que N = ϕ(N ).

(d) Montrer que −−−−−→

N π 2 (N) est orthogonal ` a v 2 . En d´ eduire qu’il est orthogonal ` a v 1 . Que vaut

−−−−−→

N π 2 (N )

?

Exercice 4 : Point de Lemoine d’un triangle

Soit P un plan affine euclidien. On consid` ere un triangle non aplati ABC. On note A 0 , B 0 et C 0 les milieux respectifs des cˆ ot´ es [BC], [CA], [AB]. On note a = BC, b = CA, c = AB.

La sym´ ediane issue du sommet A est l’image de la m´ ediane (AA 0 ) par la r´ eflexion par rapport

`

a la bissectrice (int´ erieure) issue de A. On d´ efinit de mˆ eme les sym´ edianes issues de B et C.

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On rappelle du CC3 que l’intersection des trois bissectrices int´ erieures, c’est-` a-dire le centre du cercle inscrit, peut s’´ ecrire comme barycentre de la fa¸ con suivante :

I =

A B C

a b c

.

On introduit le point de Lemoine L comme un barycentre :

L =

L3 - Math´ ematiques pour l’enseignement – G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire 2015-2016 Contrˆ ole n ^o 4 : mardi 31 mai 2016

2. Soit D ⁰ une droite quelconque stable par ρ. Montrer que D ⁰ contient un point de ∆.

seront not´ ees (x, y, z). De plus, soit P un plan affine de E. Soient M un point de E, M ⁰ son projet´ e orthogonal sur P et N un point de P .

(a) Montrer bri` evement que M N > M M ⁰ , avec ´ egalit´ e si et seulement si N = M ⁰ . On note M M ⁰ = d(M, P ) : ce r´ eel est appel´ e la distance de M ` a P .

M M ⁰ , ni en fonction des donn´ ees. (Ici, M ⁰ est encore le projet´ e orthogonal de M sur P . Il est utile d’introduire ses coordonn´ ees mais inutile de les calculer.)

a ² + b ² + c ² .

2. D´ esormais, on fixe deux plans s´ ecants P et P ⁰ (mais plus de rep` ere).

(a) Supposons qu’il existe un rep` ere orthonorm´ e (O, e ₁ , e ₂ , e ₃ ) dans lequel P a pour

equation y = 0 et P ⁰ une ´ equation de la forme x sin α − y cos α = 0. Que peut-on dire de l’origine O ? la droite contenant O et dirig´ e par e 3 (

La plus petite valeur positive de α est appel´ ee l’angle entre les plans P et P ⁰ . (c) Montrer l’existence d’un tel rep` ere.

1. Soit π 1 la projection orthogonale sur D ₁ . On fixe un point M de R ³ et on note M ⁰ = π 1 (M ).

A ₁ M ⁰ . (b) En d´ eduire les coordonn´ ees de M ⁰ .

(c) Donner une expression de la distance de M ` a D ₁ (sans coordonn´ ees).

2. On suppose d´ esormais que D ₁ et D ₂ ne sont pas parall` eles ; autrement dit, la famille (v ₁ , v ₂ ) est libre.

3. La distance de D ₁ ` a D ₂ est d´ efinie par

d(D ₁ , D ₂ ) = inf

(a) Soient M ₁ ∈ D ₁ et M ₂ ∈ D ₂ . D´ emontrer que

M ₁ M ₂ ² = B ₁ B ₂ ² + kvk ² , o` u v est un vecteur ` a d´ eterminer.

(b) En d´ eduire d(D ₁ , D ₂ ).

ϕ : D ₂ −→ D ₂ M 7−→ π 2 ◦ π 1 (M ).

(a) Justifier bri` evement que ϕ est affine. Quelle est l’application lin´ eaire associ´ ee ` a ϕ ? On suppose d´ esormais que les droites D ₁ et D ₂ n’ont pas la mˆ eme direction.

hv ₁ , v 2 i ?

(c) Montrer l’existence d’un unique point N ∈ D ₂ tel que N = ϕ(N ).

N π ₂ (N) est orthogonal ` a v ₂ . En d´ eduire qu’il est orthogonal ` a v ₁ . Que vaut

N π ₂ (N )

Soit P un plan affine euclidien. On consid` ere un triangle non aplati ABC. On note A ⁰ , B ⁰ et C ⁰ les milieux respectifs des cˆ ot´ es [BC], [CA], [AB]. On note a = BC, b = CA, c = AB.

La sym´ ediane issue du sommet A est l’image de la m´ ediane (AA ⁰ ) par la r´ eflexion par rapport

a ² b ² c ²

(b) Donner de mˆ eme les coordonn´ ees barycentriques de l’intersection A ₀ de (AL) et (BC).

(b + c) ² −−→

AA ₁ = (b ² + c ² ) −−→

AA ₀ + 2bc −−→

AA ⁰ . 2. Soit α une mesure de \ BAC .

(a) Donner une expression de AA ⁰ ² en fonction de b, c et α.

Pour cette question, on utilisera ` a nouveau l’expression de A ⁰ comme barycentre de B et C. (De mˆ eme pour la suivante.)

(c) En d´ eduire que (b ² + c ² ) · AA 0 = 2bc · AA ⁰ .

(d) En d´ eduire que (AA ₁ ) est la bissectrice int´ erieure de l’angle A \ ⁰ AA ₀ , puis que A ₀ appartient ` a sym´ ediane issue de A.