Seconde 12 DS 1 : Correction 8 septembre 2017
Exercice 1 : ´Equations (10 minutes) (5 points)
R´esoudre dans Rles ´equations suivantes
(1) 2x−4 = 0 (2) (x−5)(x+ 6) = 0 (3) x2+ 2x= 0 (4) (x−5)2 = 9
Solution:
(1) La solution est 2
(2) Les solutions sont 5 et−6 (3) Les solutions sont 0 et 2
(4) (x−5)2 = 9 ssi (x−5)2−32 = 0 ssi (x−8)(x−2) = 0.
Les solutions sont 2 et 8
Exercice 2 : Quadrilat`ere myst´erieux (15 minutes) (7 points) On se donne le plan rapport´e au rep`ere orthonorm´e (O;I;J).
On donne les pointsA(−2;−1), B(4;−4), C(7; 2).
On placera les points au fur et `a mesure dans le rep`ere ci-dessous.
(1) D´eterminer les coordonn´ees du pointE milieu de [AC]
(2) D´eterminer les coordonn´ees du pointD sym´etrique deB par rapport `a E.
(3) a. Calculer AB
b. Montrer que le triangle ABC est rectangle isoc`ele c. En d´eduire la nature du quadrilat`ereABCD.
(4) Calculer l’aire du quadrilat`ereABCD.
A
B
C
E D
I O J
Solution:
(1) −2 + 7
2 = 2,5 et −1 + 2
2 = 0,5. Les coordonn´es du pointE sont (2,5; 0,5) (2) Soient (xD;yD) les coordonn´ees du pointD. 2,5 = 4 +xD
2 et 0,5 = −4 +xD
2 , c’est-`a-direxD = 1 etyD = 5.
Seconde 12 DS 1 Page 2 de 2 (3) a. AB=√
62+ 32=√ 45 b. BC =√
32+ 62 =√
45 et AC =√
92+ 32 =√
90. On remarqueAB =BC donc le triangle est isoc`ele.
AB2+BC2=AC2, donc par la r´eciproque de Pythagore, le triangle est rectangle enB. c. ABCD est un parall´elogramme par construction donc c’est un carr´e.
(4) L’aire deABCD est AB2 = 45
Exercice 3 : Plusieurs formes pour diff´erentes ´equations (15 minutes) (5 points) (1) a. Montrer quex2−6x−7 = (x−3)2−16
b. Montrer quex2−6x−7 = (x−7)(x+ 1)
(2) En utilisant la forme la plus adapt´ee, r´esoudre les ´equations suivantes :
a. x2−6x−7 =−7 b. x2−6x−7 = 0 c. x2−6x−7 = 2
Solution:
(1) a. (x−3)2−16 =x2−6x+ 9−16 =x2−6x−7 b. (x−7)(x+ 1) =x2−7x+x−7 =x2−6x−7 (2) a. x2−6x−7 =−7 ssix2−6x= 0 ssi x(x−6) = 0.
Les solutions sont 0 et 6
b. x2−6x−7 = 0 ssi (x−7)(x+ 1) = 0.
Les solutions sont 7 et −1.
c. x2−6x−7 = 2 ssi (x−3)2−16 = 2 ssi (x−3−√
18)(x−3 +√ 18).
Les solutions sont 3 +√
18 et 3−√ 18
Exercice 4 : Prise d’initiative (10 minutes) (3 points)
Un loueur de VTT veut construire un entrepˆot pour ranger ses v´elos. Il a commenc´e par envisager de lui donner une forme carr´ee mais, finalement, il a choisi d’augmenter un cˆot´e de 4 m`etres et de diminuer l’autre cˆot´e de 2 m`etre afin d’obtenir une forme rectangulaire mieux adapt´ee `a ses besoins. Il constate alors que l’aire de son entrepot a augment´e de 6m2.
Quelles sont finalement les dimensions de son entrepot.
Solution: On appellexla longueur en m`etre du cˆot´e du carr´e initial.
Comme le cˆot´e est diminu´e de 2 m`etres, on doit avoir x >2.
L’aire du carr´e initiale estx2. Comme les dimensions du rectangle sontx−2 etx+ 4, son aire est donc (x−2)(x+ 4). Lors du changement de dimensions, l’aire initiale ayant augment´e de 6m2, elle devenue x2+ 6. On obtient l’´equation x2+ 6 = (x−2)(x+ 4).
x2 + 6 = (x−2)(x+ 4) ssi x2+ 6 = x2 + 4x−2x−8 soit x2+ 6 = x2 + 2x−8 ce qui ´equivaut `a 6 = 2x−8 soit 2x= 14, ainsi x= 7.
La valeur obtenue pourxest strictement sup´erieure `a 2, elle est donc compatible avec les contraintes de l’´enonc´e. Commex= 7, les dimensions en m`etres du rectangle sont 7 + 4 = 11 et 7−2 = 5. L’entrepˆot aura une longueur de 11m et une largeur de 5m.
