FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019
1. (Elineuc5.tex) Soit (−→e1,−→e2,−→e3) une base orthonorm´ee di- recte. Calculer un vecteur−→w tel que (−→w ,−→u ,−→v) soit une base orthonorm´ee directe avec
−
→u = 1
√
2(−→e2+−→e3), −→v = 1
√
3(−→e1− −→e2+−→e3)
2. (Elineuc13.tex) Soient θ1 et θ2 des ´ecarts angulaires entre des vecteurs dans un espace euclidien de dimension quel- conque. L’implication
sinθ1= sinθ2⇒ |cosθ1|=|cosθ2| est-elle vraie ?
3. (Eexo292.tex) Formule du double produit vectoriel pour (~a∧~b)∧~c
4. (Elineuc14.tex) On se place dans un espace euclidien muni d’une base orthonorm´ee. Calculer les coordonn´ees du projet´e orthogonal d’un pointM de coordonn´ees (a, b, c) sur le plan d’´equation
x+y−z+ 1 = 0
5. (Elineuc9.tex) Dans un espace vectoriel euclidien orient´e, on se donne deux vecteurs non colin´eaires−→u1 et −→u2 et deux droites :
– D1 : passant parA1 et dirig´ee par−→u1
– D2 : passant parA2 et dirig´ee par−→u2
On note ∆ la perpendiculaire commune `a D1 et D2. Former `a l’aide de d´eterminants un syst`eme d’´equations v´erifi´e par le point d’intersection (not´eM) deD1et ∆.
6. (Elineuc10.tex) Dans un espace vectoriel euclidien orient´e, on se donne deux vecteurs non colin´eaires−→u1 et −→u2 et deux droites :
– D1 : passant parA1 et dirig´ee par−→u1
– D2 : passant parA2 et dirig´ee par−→u2
On note ∆ la perpendiculaire commune `a D1 et D2. Former `a l’aide de d´eterminants un syst`eme d’´equations v´erifi´e par le point d’intersection (not´eM) deD2et ∆.
7. (Elineuc20.tex) Soit A un point et −→u un vecteur dans un espace euclidien orient´e de dimension 3. Donner une for- mule exprimant le projet´e orthogonal d’un point M sur le plan passant parAet orthogonal `a −→u.
8. (Elineuc6.tex) Dans un espace vectoriel euclidien orient´e, donner la distance d’un point M `a une droite passant par un pointAet dirig´ee par un vecteur−→u.
9. (Elineuc18.tex) On se place dans un espace euclidien muni d’une base orthonorm´ee. Calculer les coordonn´ees de l’image d’un point M de coordonn´ees (a, b, c) par la r´eflexion par rapport au plan d’´equation
x+y−z+ 1 = 0
10. (Elineuc21.tex) Dans un plan euclidien orient´e muni d’une base orthonorm´ee directe (−→
i ,−→
j), calculer les coor- donn´ees d’un vecteur−→v tel que
−
→u = 3−→ i + 2−→
j
angle orient´e (−→u ,−→v)≡ π 3
11. (Elineuc4.tex) Soit (−→e1,−→e2,−→e3) une base orthonorm´ee di- recte. Calculer un vecteur−→w tel que (−→w ,−→v ,−→u) soit une base orthonorm´ee directe avec
−
→u = 1
√2(−→e1+−→e3), −→v = 1
√3(−→e1+−→e2+−→e3)
12. (Elineuc16.tex) On se place dans un plan euclidien muni d’une base orthonorm´ee. Calculer les coordonn´ees de l’image d’un point M de coordonn´ees (a, b) par la r´eflexion par rapport `a la droite d’´equation
x−y+ 1 = 0
13. (Elineuc17.tex) On se place dans un espace euclidien muni d’une base orthonorm´ee. Calculer les coordonn´ees de l’image d’un point M de coordonn´ees (a, b, c) par la r´eflexion par rapport au plan d’´equation
x+y+z+ 1 = 0
14. (Elineuc8.tex) Dans un espace vectoriel euclidien orient´e, on se donne deux vecteurs non colin´eaires −→u1 et −→u2 et deux droites :
– D1: passant par A1 et dirig´ee par−→u1 – D2: passant par A2 et dirig´ee par−→u2
1 AELineuc
FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019
Former `a l’aide de d´eterminants un syst`eme d’´equations que doit v´erifier un point M pour ˆetre sur la perpendi- culaire commune `aD1et D2.
15. (Elineuc7.tex) Dans un espace vectoriel euclidien orient´e, donner la distance entre la droiteDpassant par un point Aet dirig´ee par un vecteur−→u et la droiteD0passant par un pointA0et dirig´ee par un vecteur−→
u0. Les droites sont suppos´ees non coplanaires.
16. (Elineuc15.tex) On se place dans un plan euclidien muni d’une base orthonorm´ee. Calculer les coordonn´ees de l’image d’un point M de coordonn´ees (a, b) par la r´eflexion par rapport `a la droite d’´equation
x+y+ 1 = 0
17. (Elineuc11.tex) Soient θ1 et θ2 des ´ecarts angulaires entre des vecteurs dans un espace euclidien de dimension quel- conque. L’implication
cosθ1= cosθ2⇒sinθ1= sinθ2 est-elle vraie ?
18. (Elineuc12.tex) Soient θ1 et θ2 des ´ecarts angulaires entre des vecteurs dans un espace euclidien de dimension quel- conque. L’implication
sinθ1= sinθ2⇒cosθ1= cosθ2
est-elle vraie ?
19. (Elineuc2.tex) Dans un espace euclidien orient´e de dimen- sion 3, on se donne deux pointsA et A0, deux vecteurs
−
→u et −→u0 , la droite D passant par A et dirig´ee par
−
→u, la droite D0 passant par A0 et dirig´ee par −→u0. Ces droites admettent une perpendiculaire commune ∆. For- mer l’´equation du plan contenantDet ∆.
20. (Elineuc1.tex) Dans un espace euclidien de dimension 3 muni d’un rep`ere orthonorm´e direct. Donner les coor- donn´ees d’un vecteur directeur de la droite d´efinie par les ´equations :
x+ 2y+z+ 1 = 0
−x+y−z+ 2 = 0
21. (Elineuc19.tex) Soit A un point et −→u un vecteur dans un espace euclidien orient´e de dimension 3. Donner une for- mule exprimant le projet´e orthogonal d’un point M sur la droiteA+ Vect(−→u).
22. (Eexo187.tex) L’ensemble des droites d’un plan est-il ´egal au plan ?
23. (Elineuc3.tex) Soit (−→e1,−→e2,−→e3) une base orthonorm´ee di- recte. Calculer un vecteur−→w tel que (−→v ,−→w ,−→u) soit une base orthonorm´ee directe avec
−
→u = 1
√2(−→e1− −→e3), −→v = 1
√3(−→e1+−→e2+−→e3)
2 AELineuc
