Dans un plan euclidien orient ˜ A c muni d’un rep ˜ A¨re orthonorm ˜ A c (O, − → i , − →

(1)

MPSI A - MPSI B 2012-2013 DS commun 1 13 septembre 2017

Exercice 1.

Dans un plan euclidien orient ˜ A c muni d’un rep ˜ A¨re orthonorm ˜ A c (O, − → i , − →

j ), on consid ˜ A¨re l’ellipse E d’ ˜ A c quation

x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1

Les foyers F

₁

et F

₂

ont respectivement pour coordonn ˜ A c es (c, 0), (−c, 0). Les sommets A

1

et A

2

ont respectivement pour coordonn ˜ A c es (a, 0), (−a, 0).

Pour tout d ∈] − a, a[, la droite d’ ˜ A c quation x = d coupe E en deux points M

1

(d’ordonn ˜ A c e positive) et M

2

(d’ordonn ˜ A c e n ˜ A c gative).

A

₁

A

2

M

1

M

2

Fig. 1: Droites A

1

M

1

et A

2

M

2

.

1. a. Former les ˜ A c quations des droites (A

1

, M

1

) et (A

2

, M

2

).

Pour quels d dans ] − a, a[ ces droites se coupent-elles ? Calculer en fonction de d les coordonn ˜ A c es du point d’intersection lorsqu’il existe.

b. Former l’ ˜ A c quation cart ˜ A c sienne de l’ensemble de ces points d’inter- section. Quelle est cette courbe ? La dessiner en pr ˜ A c cisant le sens de parcours quand d d ˜ A c crit ] − a, a[ de −a vers a.

2. Pour d dans ] − a, a[, on note Γ

d

le cercle de diam ˜ A¨tre M

1

M

2

. a. ´ Ecrire l’ ˜ A c quation de Γ

d

.

b. Soit M

0

un point de coordonn ˜ A c es (x

0

, y

0

). Discuter suivant la position de M

0

dans le plan du nombre de cercles Γ

d

passant par M

0

.

3. Pour d dans ] − a, a[, soit C

_d

le cercle tangent ˜ A l’ellipse en M

₁

et M

₂

. En ces points, le cercle et l’ellipse ont le m ˜ A

^a

me tangente (fig : 3).

a. D ˜ A c terminer les coordonn ˜ A c es de son centre ω.

b. Montrer que son rayon v ˜ A c rifie r

²

= − b

²

c

²

( −−→

ωF

1

/ −−→

ωF

2

)

Fig. 2: Quelques cercles Γ

_d

.

M

1

M

₂

Fig. 3: Cercle C

d

.

Fig. 4: Quelques cercles C

d

. Cas 1.

4. Dans cette question, on cherche ˜ A discuter du nombre de cercles C

d

passant par un point M

0

fix ˜ A c de coordonn ˜ A c es x

0

et y

0

. On note

f

M₀

(d) = d

²

− 2x

0

d + a

²

c

²

(x

²₀

+ y

₀²

− b

²

) a. Montrer que M

0

∈ C

d

si et seulement si f

M0

(d) = 0.

b. Montrer que les points M

0

par lesquels passe au moins un cercle C

d

sont dans le disque elliptique c’est ˜ A dire la portion de plan d ˜ A c limit ˜ A c e par l’ellipse E.

Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat

Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

S1203E

(2)

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Fig. 5: Quelques cercles C

d

. Cas 2.

c. Exprimer, en fonction de a et b, des r ˜ A c els u et v tels que f

M₀

(a) = a

²

c

²

(x

0

− u)

²

+ y

²₀

− v

d. Montrer que par M

₀

passent deux cercles C

_d₁

et C

_d₂

distincts si et seulement si M

₀

est ˜ A dans le disque elliptique et ˜ A l’ext ˜ A c rieur de deux disques tangents en A

₁

et A

₂

que l’on d ˜ A c terminera.

e. En distinguant deux configurations (figures 4 et 5) suivant une condition A pr ˜ ˜ A c ciser liant a et b, discuter du nombre de cercles passant par un point M

0

.

5. D ˜ A c terminer l’ensemble des points M

₀

tels que la tangente en M

₀

A l’un ˜ des cercles C

_d

passant par M

₀

soit parall ˜ A¨le ˜ A A

₁

A

₂

.

Exercice 2.

L’objet de ce probl ˜ A¨me est de montrer que lorsque les faces d’un t ˜ A c tra ˜ A¨dre ont la m ˜ A

^a

me aire alors elles sont isom ˜ A c triques (th ˜ A c or ˜ A¨me de Bang).

On se place dans un espace euclidien orient ˜ A c de dimension trois.

1. ´ Ecart angulaire.

Soit − → u et − → v deux vecteurs non nuls. On appelle ˜ A c cart angulaire entre − → u et − → v le nombre

θ = arccos ( − → u / − → v ) k− → u k k− → v k

Montrer que

k− → u ∧ − → v k = k− → u k k− → v k sin θ 2. Intersection d’une sph ˜ A¨re et d’un plan.

Soit O un point fix ˜ A c et − →

β , − → γ deux vecteurs non colin ˜ A c aires de norme 1. On note P l’ensemble des points M tels que

( − → γ + − → β / −−→

OM ) + ( − → γ / − →

β ) + 1 = 0

a. Quelle est la nature de P ? Exprimer la distance de O A ˜ P en fonction de ( − → γ / − →

β ). Former ˜ A l’aide de − →

β et − → γ des exemples de points dans P et sur la sph ˜ A¨re centr ˜ A c e en O et de rayon 1.

b. En d ˜ A c duire qu’il existe des vecteurs − →

δ de norme 1 tels que ( − → γ / − →

β ) + ( − → δ / − →

β ) + ( − → γ / − → δ ) = −1 c. Montrer qu’il existe des vecteurs − → α , − →

δ de norme 1 et v ˜ A c rifiant

−

→ α = − →

β + − → γ + − →

δ et det( − → β , − → γ , − →

δ ) > 0 3. Un syst ˜ A¨me d’ ˜ A c quations vectorielles.

Dans cette question, on se donne trois vecteurs − →

β , − → γ , − →

δ non coplanaires c’est ˜ A dire que det( − →

β , − → γ , − →

δ ) 6= 0. On consid ˜ A¨re un syst ˜ A¨me S de trois A c ˜ quations aux inconnues vectorielles ( − →

b , − → c , − → d ) :

(S)



 



 



−

→ b ∧ − → c = − → δ

−

→ c ∧ − → d = − →

β

−

→ d ∧ − → b = − → γ a. Montrer que si S admet des solutions alors det( − →

β , − → γ , − →

δ ) > 0. On note

∆ ce d ˜ A c terminant.

b. Montrer que si ∆ est strictement positif alors le syst ˜ A¨me admet deux triplets solutions

( 1

√

∆

−

→ δ ∧ − → γ , 1

√

∆

−

→ β ∧ − → δ , 1

√

∆

−

→ γ ∧ − → β , ) (− 1

√ ∆

−

→ δ ∧ − → γ , − 1

√ ∆

−

→ β ∧ − → δ , − 1

√ ∆

−

→ γ ∧ − → β , )

2

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(3)

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4. a. Soit A, B, C, D quatre points non coplanaires. On pose

−

→ δ = − − → AB ∧ −→

AC, − → α = − − → BC ∧ −−→

BD, − → β = −−→

CD ∧ −→

CA, − → γ = − − − → DA ∧ −−→

DB

Que peut-on dire de la direction et des longueurs de ces vecteurs ? Mon- trer qu’ils v ˜ A c rifient une certaine relation ˜ A pr ˜ A c ciser. Cette relation ne contiendra ni A, ni B , ni C ni D.

b. On se donne quatre vecteurs − → α , − → β , − → γ , − →

δ tels que det( − →

β , − → γ , − →

δ ) > 0, − → α − − →

β − − → γ − − → δ = − →

0 Montrer qu’il existe quatre points non coplanaires A, B, C, D tels que

−

→ δ = − − → AB ∧ −→

AC, − → α = − − → BC ∧ −−→

BD, − → β = −−→

CD ∧ −→

CA, − → γ = − − − → DA ∧ −−→

DB

Quelle condition suppl ˜ A c mentaire doit-on imposer aux vecteurs donn ˜ A c s pour que les quatre faces du t ˜ A c tra ˜ A¨dre (A, B, C, D) aient la m ˜ A

^a

me aire ?

5. Soit − →

β et − → γ deux vecteurs unitaires et non colin ˜ A c aires.

a. Montrer qu’il existe au moins un t ˜ A c tra ˜ A¨dre (A, B, C, D) tel que toutes les faces aient la m ˜ A

^a

me aire et que

−

→ β = −−→

CD ∧ −→

CA − → γ = − − − → DA ∧ −−→

DB

Dans la suite, A, B, C, D est un tel t ˜ A c tra ˜ A¨dre et on adopte les notations de la question 4.

b. Exprimer l’ ˜ A c cart angulaire entre − → α et − →

β en fonction de l’ ˜ A c cart angulaire entre − → γ et − →

δ . En d ˜ A c duire que AB = CD.

c. Montrer que AD = BC et en d ˜ A c duire que les faces ABC et ACD sont isom ˜ A c triques.

Exercice 3.

L’objet de ce probl ˜ A¨me

¹

est une illusion d’optique attach ˜ A c e ˜ A deux courbes dans l’espace. Bien qu’elles soient disjointes, ces deux courbes semblent se couper A angle droit lorsqu’un observateur les regarde depuis certains points. ˜

1d’apr ˜A¨s Concours centrale sup ˜A clec maths 2 TSI 2012

On dira que deux courbes P et R dans un espace euclidien orient ˜ A c font illusion lorsqu’elles sont disjointes et que, pour tout P ∈ P , pour tout R ∈ R, pour tout vecteur directeur − → p de la tangente en P A ˜ P et tout vecteur directeur − → r de la tangente en R A ˜ R,

– le vecteur −→

P R n’est colin ˜ A c aire ni ˜ A − → p ni ˜ A − → r – les vecteurs − → p

1

et − → r

1

sont orthogonaux avec

−

→ p

₁

= − → p ∧ −→

P R, − → r

₁

= − → r ∧ −→

P R

Pour se rendre compte de l’illusion d’optique, imaginons un observateur plac ˜ A c sur la droite (P R), hors du segment [P, R], et regardant vers P et R.

Son oeil ˜ A c tant align ˜ A c avec P et R, ces points distincts lui semblent confondus.

Son oeil est aussi ˜ A fortiori dans le plan passant par P et dirig ˜ A c par − → p et −→

P R).

Il verra donc la droite (P R) comme un point mais il confondra toutes les autres droites de ce plan avec la droite passant par P et dirig ˜ A c e par − → p c’est ˜ A dire la tangente en P A ˜ P. L’illusion est analogue avec la tangente en R A ˜ R. Comme

−

→ p

₁

et → − r

₁

sont orthogonaux, ces deux tangentes lui semblent orthogonales et les courbes semblent se couper ˜ A angle droit.

Un rep ˜ A¨re orthonorm ˜ A c direct est fix ˜ A c . Les fonctions coordonn ˜ A c es dans ce rep ˜ A¨re sont not ˜ A c s x, y, z. On consid ˜ A¨re la droite ∆ d ˜ A c finie par le syst ˜ A¨me d’ ˜ A c quations x = −3 et z = 0 et les points F et S repectivement de coordonn ˜ A c es (1, 0, 0) et (−1, 0, 0).

1. a. Former un syst ˜ A¨me d’ ˜ A c quations de la courbe P constitu ˜ A c e des points du plan Oxy A ˜ A c ˜ gale distance de F et de ∆. Quelle est la nature de P et que repr ˜ A c sentent S, F, ∆ pour cette courbe.

b. Montrer que P est le support de la courbe param ˜ A c tr ˜ A c e f :

( R → E

t 7→ f (t) = O + (2t

²

− 1) − → i + 4t − →

j

2. Soit R le support de la courbe param ˜ A c tr ˜ A c e g :

( R → E

u 7→ g(u) = O + (1 − 2u

²

) − → i + 4u − →

k

Montrer que R est une parabole dans le plan Oxz dont on pr ˜ A c cisera le foyer, le sommet et la directrice.

3. Montrer que R se d ˜ A c duit de P par une sym ˜ A c trie orthogonale par rapport A une droite ˜ ˜ A pr ˜ A c ciser.

3

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(4)

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4. Pour t et u r ˜ A c els, on pose P = f (t) et R = g(u).

a. Calculer un vecteur directeur − → p de la tangente en P A ˜ P et un vecteur directeur − → r de la tangente en R A ˜ R.

b. Calculer − → p

₁

= − → p ∧ −→

P R et − → r

₁

= − → r ∧ −→

P R. L’un de ces vecteurs peut-il A ˜

^a

tre nul ?

c. Montrer que P et R font illusion.

5. On dira que M est un point d’illusion lorsqu’il existe P = f (t) ∈ P et R = g(u) ∈ R tels que M soit sur la droite (P R) en dehors du segment [P, R]. Il doit alors exister un µ r ˜ A c el tel que M = P + µ −→

P R.

Dans les questions a. et b., M est un tel point.

a. Exprimer u et t en fonction des coordonn ˜ A c es de M et de µ. Que doit v ˜ A c rifier µ pour que M soit en dehors du segment ?

b. Exprimer avec y(M ) et z(M ) uniquement une fonction ϕ telle que x(M ) = ϕ(µ).

c. En utilisant des propri ˜ A c t ˜ A c s de ϕ, montrer que tous les points de l’espace qui n’appartiennent ni ˜ A P ni ˜ A R ni ˜ A un certain segment ( ˜ A pr ˜ A c ciser) de l’axe Ox sont des points d’illusion.

4

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