Th´ eorie des distributions

(1)

S.L

CENTRALE Plan

S´ eance 5

Th´ eorie des distributions

P. Laurent Math´ematiques 2

15 octobre 2004

(2)

S.L

CENTRALE Plan

Plan

1 Introduction

Quelques problèmes Un problème de mécanique

La m´ethode des charges ponctuelles

2 Les distributions sur R D´efinition

Distributions et fonctions

3 Conclusion

Retour sur un probl`eme de m´ecanique

Conclusion

(3)

S.L

CENTRALE Introduction

Les distributions surR Conclusion

Quelques problèmes Un problème de mécanique La méthode des charges ponctuelles

Optimisation sous contraintes

1 Introduction

Quelques problèmes Un problème de mécanique

La m´ethode des charges ponctuelles

2 Les distributions sur R D´efinition

Distributions et fonctions

3 Conclusion

Retour sur un probl`eme de m´ecanique

Conclusion

(4)

S.L

Charges, masses ponctuelles, surfaciques, lin´ e¨ıques...

Densit´e et charges ponctuelles

les forces, les charges, les masses... sont définies par Des densités définies par des fonctions sur R ³ . Des densités surfaciques, liné¨ıques....

Des forces, charges, masses “ponctuelles”.

Le probl`eme

Comment repr´esenter math´ematiquement ces notions ?

(5)

S.L

Charges, masses ponctuelles, surfaciques, lin´ e¨ıques...

Densit´e et charges ponctuelles

les forces, les charges, les masses... sont définies par Des densités définies par des fonctions sur R ³ . Des densités surfaciques, liné¨ıques....

Des forces, charges, masses “ponctuelles”.

Le probl`eme

Comment repr´esenter math´ematiquement ces notions ?

(6)

S.L

Exemple en ´ electrostatique

D´etermination du potentiel Densit´e de charges ρ dans R ³ .

−∆U = ρ

² ₀

Solution

Potentiel dˆ u `a une charge ponctuelle q au point y U y (x) = 1

4π² ₀ q kx − y k ₂ Potentiel dˆ u `a une charge r´epartie ρ

U (x) = 1 4π² ₀

Z

R

³

ρ(y )

kx − yk ₂ dV

(7)

S.L

Exemple en ´ electrostatique

D´etermination du potentiel Densit´e de charges ρ dans R ³ .

−∆U = ρ

² ₀

Solution

Potentiel dˆ u `a une charge ponctuelle q au point y U y (x) = 1

4π² ₀ q kx − y k ₂ Potentiel dˆ u `a une charge r´epartie ρ

U (x) = 1 4π² ₀

Z

R

³

ρ(y )

kx − yk ₂ dV

(8)

S.L

Corde tendue charg´ ee

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−3

−2

−1 0 1 2 3

(9)

S.L

Corde tendue charg´ ee

Tension k

Charge r´epartie f (x) Fl`eche u(x)

Equation d’´equilibre

−k d ² u

dx ² = f , u(0) = u(L) = 0 ou formulation faible

∀v ∈ V 0

Z L

0 k du dx

dv dx dx =

Z L

0 fv dx

ou encore si W ₀ = v ∈ C ² ([0, 1]) v(0) = v(L) = v ⁰ (0) = v ⁰ (L) = 0

∀v ∈ W ₀ Z L

u(−k d ² v dx ² ) dx =

Z L

fv dx

(10)

S.L

Corde tendue charg´ ee ponctuellement

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

F=1 Une charge ponctuelle

(11)

S.L

Corde tendue charg´ ee ponctuellement

Tension k

Charge ponctuelle 1 au point x = t Fl`eche u t (x)

Comment s’écrit l’équation d’équilibre ? Formulation faible

∀v ∈ W 0

Z L

0 u t (−k d ² v

dx ² ) dx = v(t)

(12)

S.L

Corde tendue charg´ ee ponctuellement

Comment calculer la fl`eche u t (x) ?

Une solution par des principes m´ecaniques.

(13)

S.L

Corde tendue charg´ ee ponctuellement

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N charges ponctuelles

(14)

S.L

Corde tendue charg´ ee ponctuellement

Tension k

N charges ponctuelles F _i au point t _i Fl`eche u h (x)

Comment s’écrit l’équation d’équilibre ? Formulation faible

∀v ∈ W 0

Z L

0 u h (−k d ² v

dx ² ) dx = X

i

F i v(t i )

(15)

S.L

Corde tendue charg´ ee ponctuellement

Solution : principe de superposition u h (x) = X

i

F i u t

i

(x)

(16)

S.L

Corde tendue, charge r´ epartie

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−3

−2

−1 0 1 2 3

(17)

S.L

Corde tendue, charge r´ epartie

Tension k

Charge r´epartie f (x) Fl`eche u ₍ x)

On passe `a la limite

Une charge r´epartie f (x) est la limite de charges ponctuelles

F _i = hf (t _i ).

(18)

S.L

Corde tendue, charge r´ epartie

Solution

u(x) = lim

h→0

X

i

hf (t _i )u t

_i

(x) = Z L

0 u t (x)f (t) dt On pose K (x, t) = u t (x)

u(x) = Z L

0 K (x, t)f (t) dt

(19)

S.L

Corde tendue, charge r´ epartie

Probl`eme

Comment étendre cette méthode à des équations “abstraites” ?.

Remarque sur les formulations faibles

La densit´e f de force n’intervient que par la forme lin´eaire R L

0 f (x )v(x) dt.

Si v est nulle en dehors d’un intervalle ⊂ [0, L]

Z L

0 u ⁽ⁿ⁾ v dx = (−1) ⁿ Z L

0 uv ⁽ⁿ⁾ dx

(20)

S.L

D´efinition

Distributions et fonctions

Optimisation sous contraintes

1 Introduction

Quelques problèmes Un problème de mécanique

La m´ethode des charges ponctuelles

2 Les distributions sur R D´efinition

Distributions et fonctions

3 Conclusion

Retour sur un probl`eme de m´ecanique

Conclusion

(21)

S.L

D´efinition

D´ efinitions pr´ eliminaires

D´efinition (Fonctions “tests”) Soit Ω un intervalle ouvert de R .

D(Ω) = {φ ∈ C ^∞ (Ω) / ∃a, b ∈ Ω supp(φ) ⊂ [a, b]}

D( T ) = {φ ∈ C ^∞ ( R ) / φ(x) est p´eriodique de p´eriode 2π}

D´efinition (Convergence des fonctions “tests”)

lim n φ n = φ ⇔ ∃a, b ∈ Ω / supp(φ n ) ⊂ [a, b] et ∀k φ ^(k n ⁾ → φ ^(k ⁾ φ ^(k n ⁾ est la d´eriv´ee d’ordre k de φ n

La convergence est prise au sens de la convergence uniforme.

(22)

S.L

D´efinition

D´ efinitions pr´ eliminaires

D´efinition (Fonctions “tests”) Soit Ω un intervalle ouvert de R .

D(Ω) = {φ ∈ C ^∞ (Ω) / ∃a, b ∈ Ω supp(φ) ⊂ [a, b]}

D( T ) = {φ ∈ C ^∞ ( R ) / φ(x) est p´eriodique de p´eriode 2π}

D´efinition (Convergence des fonctions “tests”)

lim n φ n = φ ⇔ ∃a, b ∈ Ω / supp(φ n ) ⊂ [a, b] et ∀k φ ^(k n ⁾ → φ ^(k ⁾ φ ^(k n ⁾ est la d´eriv´ee d’ordre k de φ n

La convergence est prise au sens de la convergence uniforme.

(23)

S.L

D´efinition

D´ efinition formelle et exemples

D´efinition (L. Schwartz)

L’espace des distributions D ⁰ (Ω) (resp. l’espace des distributions

p´eriodiques D ⁰ ( T )) est l’ensemble des formes lin´eaires continues

sur D(Ω) (resp. D(T )) .

(24)

S.L

D´efinition

D´ efinition formelle et exemples

D´efinition (L. Schwartz)

L’espace des distributions D ⁰ (Ω) (resp. l’espace des distributions p´eriodiques D ⁰ ( T )) est l’ensemble des formes lin´eaires continues sur D(Ω) (resp. D(T )) .

1) Une fonction continue f (x) ∈ C ( R ) d´efinit de mani`ere unique une distribution

< T _f , φ >=

Z +∞

−∞

f (x)φ(x) dx

(25)

S.L

D´efinition

D´ efinition formelle et exemples

D´efinition (L. Schwartz)

L’espace des distributions D ⁰ (Ω) (resp. l’espace des distributions p´eriodiques D ⁰ ( T )) est l’ensemble des formes lin´eaires continues sur D(Ω) (resp. D(T )) .

2) Une fonction localement int´egrable (au sens de Lebesgue) d´efinit

de mˆeme une distribution mais deux fonctions qui sont ´egales

presque partout d´efinissent la mˆeme distribution.

(26)

S.L

D´efinition

D´ efinition formelle et exemples

D´efinition (L. Schwartz)

L’espace des distributions D ⁰ (Ω) (resp. l’espace des distributions p´eriodiques D ⁰ ( T )) est l’ensemble des formes lin´eaires continues sur D(Ω) (resp. D(T )) .

3) On appelle distribution de Dirac au point a la distribution

< δ a , φ >= φ(a)

Si φ repr´esente un d´eplacement,< δ a , φ >= φ(a) est le travail d’une

force ponctuelle d’intensit´e 1 plac´ee au point a.

(27)

S.L

D´efinition

D´ efinition formelle et exemples

D´efinition (L. Schwartz)

L’espace des distributions D ⁰ (Ω) (resp. l’espace des distributions p´eriodiques D ⁰ ( T )) est l’ensemble des formes lin´eaires continues sur D(Ω) (resp. D(T )) .

Interpr´etation physique

A une force appliquée à un système est associé :

− Une fonction, i.e. sa densit´e f (x), pas toujours bien d´efinie.

− Une “mesure” : E → R

E f (x)dx.

− Une forme lin´eaire, φ → R L

0 f (x)φ(x)dx

i.e. le travail de cette force pour un d´eplacement φ(x).

(28)

S.L

D´efinition

Extension aux distributions des propri´ et´ es des fonctions

Deux ´etapes

1

Traduction `a l’aide de la forme lin´eaire R

R f φ dx.

Exemple : f ≥ 0 ⇔ ∀φ ∈ D( R ) R

R f φ dx ≥ 0

2

Extension aux distributions.

Exemple : T ≥ 0 ⇔ ∀φ ∈ D( R ) hT , φi dx ≥ 0

(29)

S.L

D´efinition

Extension aux distributions des propri´ et´ es des fonctions

Deux ´etapes

1

Traduction `a l’aide de la forme lin´eaire R

R f φ dx.

Exemple : f ≥ 0 ⇔ ∀φ ∈ D( R ) R

R f φ dx ≥ 0

2

Extension aux distributions.

Exemple : T ≥ 0 ⇔ ∀φ ∈ D( R ) hT , φi dx ≥ 0

(30)

S.L

D´efinition

Un outil : moyenne concentr´ ee

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Soit ψ n une suite de fonctions C ^∞ , positives, nulles en dehors de l’intervalle [− _n ¹ , ¹ _n ] et d’int´egrale 1.

Si f (x) ∈ C ( R ) on a

f (0) = lim

n

Z _+∞

−∞

f (x)ψ n (x) dx

(31)

S.L

D´efinition

Valeur d’une fonction en un point

Comment retrouver la valeur ? Si f (x) ∈ C ( R ) on a

f (a) = lim

n

Z +∞

−∞

f (x)ψ n (x − a) dx Traduction :

T _f (a) = lim

n hT _f , ψ n (x − a)i Attention

1) Cette valeur n’existe pas toujours.

2) Les valeurs ne d´efinissent pas toujours la distribution.

(32)

S.L

D´efinition

Valeur d’une fonction en un point

D´efinition (Valeur en un point) Extension :

On d´efinit la valeur en “a” d’une distribution par la formule T (a) = lim

n < T , ψ n (x − a) >

Attention

1) Cette valeur n’existe pas toujours.

2) Les valeurs ne d´efinissent pas toujours la distribution.

(33)

S.L

D´efinition

Valeur d’une fonction en un point

D´efinition (Valeur en un point) Extension :

On d´efinit la valeur en “a” d’une distribution par la formule T (a) = lim

n < T , ψ n (x − a) >

Attention

1) Cette valeur n’existe pas toujours.

2) Les valeurs ne d´efinissent pas toujours la distribution.

(34)

S.L

D´efinition

D´ eriv´ ee des distributions

Comment retrouver la d´eriv´ee ? Si f ∈ C ¹ ( R ) et φ ∈ D( R )

Z

R f ⁰ φ dx = − Z

R f φ ⁰ dx Traduction :

∀φ ∈ D( R ) < T f

⁰

, φ >= − < T f , φ ⁰ >

Définition (Dérivée d’une distribution) Extension :

On définit la dérivée d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D( R ) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x ) >

(35)

S.L

D´efinition

D´ eriv´ ee des distributions

Comment retrouver la d´eriv´ee ? Si f ∈ C ¹ ( R ) et φ ∈ D( R )

Z

R f ⁰ φ dx = − Z

R f φ ⁰ dx Traduction :

∀φ ∈ D( R ) < T f

⁰

, φ >= − < T f , φ ⁰ >

Définition (Dérivée d’une distribution) Extension :

On définit la dérivée d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D( R ) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x ) >

(36)

S.L

D´efinition

Exemples de d´ eriv´ ee au sens des distributions

Définition (Dérivée d’une distribution)

On définit la dérivée d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D( R ) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x ) >

(37)

S.L

D´efinition

Exemples de d´ eriv´ ee au sens des distributions

Définition (Dérivée d’une distribution)

On définit la dérivée d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D( R ) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x ) >

Cas T = T f

Si f (x) est continue et C ¹ par morceaux (T _f ) ⁰ = T _f

⁰

o` u f ⁰ est une fonction égale à la dérivée quand elle est définie et

quelconque ailleur.

(38)

S.L

D´efinition

Exemples de d´ eriv´ ee au sens des distributions

Définition (Dérivée d’une distribution)

On définit la dérivée d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D( R ) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x ) >

Cas T = T H , H fonction d’Heaviside i.e. H(x) = 0 si x < 0, H(x) = 1 si x ≥ 1

(T H ) ⁰ = δ ₀

(39)

S.L

D´efinition

Exemples de d´ eriv´ ee au sens des distributions

Définition (Dérivée d’une distribution)

On définit la dérivée d’une distribution T par la formule

∀φ ∈ D( R ) < T ⁰ , φ >= − < T , φ ⁰ (x ) >

Cas T = T f

Plus g´en´eralement, si f (x) est une fonction C ¹ sauf aux points x i

o` u la fonction admet une limite `a gauche et `a droite (T _f ) ⁰ = T _f

⁰

+ X

i

(f (x _i ⁺ ) − f (x _i ⁻ ))δ _x

_i

(40)

S.L

D´efinition

Retour sur le probl` eme de m´ ecanique

Formulation faible

∀v ∈ W ₀ Z L

0 u t (−k d ² v

dx ² ) dx = v(t) Donc en particulier

∀φ ∈ D([ 0 , 1 ]) Z L

0 −ku t ( d ² φ

dx ² ) dx = φ(t) Traduction :

−k(T u ) ⁰⁰ = δ t

D´efinition

Fonction de Green On appelle une fonction de Green.la solution

d’un probl`eme diff´erentiel avec pour second membre une

distribution de Dirac

(41)

S.L

D´efinition

Retour sur le probl` eme de m´ ecanique

Formulation faible

∀v ∈ W ₀ Z L

0 u t (−k d ² v

dx ² ) dx = v(t) Donc en particulier

∀φ ∈ D([ 0 , 1 ]) Z L

0 −ku t ( d ² φ

dx ² ) dx = φ(t) Traduction :

−k(T u ) ⁰⁰ = δ t

D´efinition

Fonction de Green On appelle une fonction de Green.la solution

d’un probl`eme diff´erentiel avec pour second membre une

distribution de Dirac

(42)

S.L

D´efinition

Un exercice

R´esoudre T ⁰ = 0 ?

i.e. trouver les distributions T telle que T ⁰ = 0 Traduction :

∀φ ∈ D( R ) Z

R hT , φ ⁰ i = 0 Soit ψ ∈ D( R ). ∃ ? φ ∈ D( R ) telle que ψ = φ ⁰ ? Solution

∃φ ∈ D( R ) / ψ = φ ⁰ ⇔ Z

R ψ(x) dx = 0

∃φ ∈ D ( R ) / ψ = φ ⁰ ⇔ hT ₁ , ψi = 0 donc

∀ψ ∈ D( R ) / hT ₁ , ψi = 0 ⇒ hT , ψi = 0

(43)

S.L

D´efinition

Un exercice

R´esoudre T ⁰ = 0 ?

i.e. trouver les distributions T telle que T ⁰ = 0 Traduction :

∀φ ∈ D( R ) Z

R hT , φ ⁰ i = 0 Soit ψ ∈ D( R ). ∃ ? φ ∈ D( R ) telle que ψ = φ ⁰ ? Solution

∃φ ∈ D( R ) / ψ = φ ⁰ ⇔ Z

R ψ(x) dx = 0

∃φ ∈ D ( R ) / ψ = φ ⁰ ⇔ hT ₁ , ψi = 0 donc

∀ψ ∈ D( R ) / hT ₁ , ψi = 0 ⇒ hT , ψi = 0

(44)

S.L

D´efinition

Application aux fonctions de Green

Comment trouver une fonction de Green ? i.e. comment trouver une fonction u(x) telle que

−(T u ) ⁰⁰ = δ t

Traduction :

∀φ ∈ D( R ) Z

R u(x)φ ⁰⁰ (x) dx = φ(t) Solution

u est une fonction continue d´erivable sauf en t (donc (T u ) ⁰ = T _u

⁰

)

∃ u ⁰ (t ⁻ ) et u ⁰ (t ⁺ )

−(T u ) ⁰⁰ = −T u

⁰⁰

− (u ⁰ (t ⁺ ) − u ⁰ (t ⁻ ))δ t

(45)

S.L

D´efinition

Application aux fonctions de Green

Comment trouver une fonction de Green ? i.e. comment trouver une fonction u(x) telle que

−(T u ) ⁰⁰ = δ t

Traduction :

∀φ ∈ D( R ) Z

R u(x)φ ⁰⁰ (x) dx = φ(t) Solution

u est une fonction continue d´erivable sauf en t (donc (T u ) ⁰ = T _u

⁰

)

∃ u ⁰ (t ⁻ ) et u ⁰ (t ⁺ )

−(T u ) ⁰⁰ = −T u

⁰⁰

− (u ⁰ (t ⁺ ) − u ⁰ (t ⁻ ))δ t

(46)

S.L

Retour sur un probl`eme de m´ecanique Conclusion

Optimisation sous contraintes

1 Introduction

Quelques problèmes Un problème de mécanique

La m´ethode des charges ponctuelles

2 Les distributions sur R D´efinition

Distributions et fonctions

3 Conclusion

Retour sur un probl`eme de m´ecanique

Conclusion

(47)

S.L

Les distributions existent-elles ?

Les distributions de Dirac existent, je les ai rencontr´ees.

(48)

S.L

Corde tendue charg´ ee

Tension k Fl`eche u(x)

Charge r´epartie f (x)

−k d ² u

dx ² = f + cond. lim.

ou pb. d’optimisation min v

1 2

Z L

0 k dv dx

2 − fv dx

(49)

S.L

Corde tendue charg´ ee

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−3

−2

−1 0 1 2 3

(50)

S.L

Corde tendue charg´ ee avec appui

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig.: Position

(51)

S.L

Corde tendue charg´ ee avec appui

Tension k

Fl`eche u(x), appui u(x ) ≤ c(x) Charge r´epartie f (x)

min v≤c

1 2

Z L

0 k dv dx

2 − fv dx Multiplicateurs de Lagrange = R´eaction d’appui :

λ(x) = −k d ² u

dx ² − f

(52)

S.L

Corde tendue charg´ ee avec appui

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−10

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8 10

Fig.: R´eactions ou multiplicateurs

(53)

S.L

Poutre encastr´ ee charg´ ee

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

Fig.: Position

(54)

S.L

Poutre encastr´ ee charg´ ee

Module de Young E, Moment d’inertie I Fl`eche u(x)

Charge r´epartie f (x) EI d ⁴ u

dx ⁴ = f + cond. lim.

ou pb. d’optimisation min v

1 2

Z L

0 k d ² v dx ²

2 − fv dx

(55)

S.L

Poutre encastr´ ee charg´ ee avec appui

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Fig.: Position

(56)

S.L

Poutre encastr´ ee charg´ ee avec appui

Module de Young E, Moment d’inertie I Fl`eche u(x)

Charge r´epartie f (x), appui u(x) ≤ c(x) min v≤c

1 2

Z L

0 EI d ² v dx ²

2 − fv dx

(57)

S.L

Poutre encastr´ ee charg´ ee avec appui

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−200

−150

−100

−50 0 50 100 150 200

Fig.: R´eactions ou multiplicateurs

(58)

S.L

Poutre encastr´ ee charg´ ee avec appui

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2000

−1500

−1000

−500 0 500 1000 1500 2000

Fig.: R´eactions ou multiplicateurs

(59)

S.L

Poutre encastr´ ee charg´ ee avec appui

Conclusion

La densit´e de force de r´eaction est la somme d’une fonction et de

deux distributions de Dirac.

(60)

S.L

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´energ´etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension `a R ⁿ

(61)

S.L

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´energ´etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension `a R ⁿ

(62)

S.L

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´energ´etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension `a R ⁿ

(63)

S.L

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´energ´etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension `a R ⁿ

(64)

S.L

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´energ´etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension `a R ⁿ

(65)

S.L

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´energ´etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

L’extension `a R ⁿ

(66)

S.L

Conclusion

Qu’est-ce qu’une distribution ?

1

Un objet “physique” : le point de vue ´energ´etique.

2

Presque toujours une fonction ou une distribution de Dirac.

3

Un outil de calcul pour les solutions des formulations faibles.

A voir

1

La transform´ee de Fourier au sens des distributions.

2

La convergence des distributions.

3

Th´ eorie des distributions

S´ eance 5

Th´ eorie des distributions

P. Laurent Math´ematiques 2

15 octobre 2004

Plan

1 Introduction

Quelques problèmes Un problème de mécanique

La m´ethode des charges ponctuelles

2 Les distributions sur R D´efinition

Distributions et fonctions

3 Conclusion

Retour sur un probl`eme de m´ecanique

Conclusion

Optimisation sous contraintes

1 Introduction

Quelques problèmes Un problème de mécanique

La m´ethode des charges ponctuelles

2 Les distributions sur R D´efinition

Distributions et fonctions

3 Conclusion

Retour sur un probl`eme de m´ecanique

Conclusion

Charges, masses ponctuelles, surfaciques, lin´ e¨ıques...

Densit´e et charges ponctuelles

les forces, les charges, les masses... sont définies par Des densités définies par des fonctions sur R 3 . Des densités surfaciques, liné¨ıques....

Des forces, charges, masses “ponctuelles”.

Le probl`eme

Comment repr´esenter math´ematiquement ces notions ?

Charges, masses ponctuelles, surfaciques, lin´ e¨ıques...

Densit´e et charges ponctuelles

les forces, les charges, les masses... sont définies par Des densités définies par des fonctions sur R 3 . Des densités surfaciques, liné¨ıques....

Des forces, charges, masses “ponctuelles”.

Le probl`eme

Comment repr´esenter math´ematiquement ces notions ?

Exemple en ´ electrostatique

D´etermination du potentiel Densit´e de charges ρ dans R 3 .

−∆U = ρ

² 0

Solution

Potentiel dˆ u `a une charge ponctuelle q au point y U y (x) = 1

4π² 0 q kx − y k 2 Potentiel dˆ u `a une charge r´epartie ρ

U (x) = 1 4π² 0

Z

R

ρ(y )

kx − yk 2 dV

Exemple en ´ electrostatique

D´etermination du potentiel Densit´e de charges ρ dans R 3 .

−∆U = ρ

² 0

Solution

Potentiel dˆ u `a une charge ponctuelle q au point y U y (x) = 1

4π² 0 q kx − y k 2 Potentiel dˆ u `a une charge r´epartie ρ

U (x) = 1 4π² 0

Z

R

ρ(y )

kx − yk 2 dV

Corde tendue charg´ ee

Corde tendue charg´ ee

Tension k

Charge r´epartie f (x) Fl`eche u(x)

Equation d’´equilibre

−k d 2 u

dx 2 = f , u(0) = u(L) = 0 ou formulation faible

∀v ∈ V 0

Z L

0

k du dx

dv dx dx =

Z L

0

fv dx

ou encore si W 0 = v ∈ C 2 ([0, 1]) v(0) = v(L) = v 0 (0) = v 0 (L) = 0

∀v ∈ W 0 Z L

u(−k d 2 v dx 2 ) dx =

Z L

fv dx

Corde tendue charg´ ee ponctuellement

les forces, les charges, les masses... sont définies par Des densités définies par des fonctions sur R ³ . Des densités surfaciques, liné¨ıques....

les forces, les charges, les masses... sont définies par Des densités définies par des fonctions sur R ³ . Des densités surfaciques, liné¨ıques....

D´etermination du potentiel Densit´e de charges ρ dans R ³ .

² ₀

4π² ₀ q kx − y k ₂ Potentiel dˆ u `a une charge r´epartie ρ

U (x) = 1 4π² ₀

kx − yk ₂ dV

D´etermination du potentiel Densit´e de charges ρ dans R ³ .

² ₀

4π² ₀ q kx − y k ₂ Potentiel dˆ u `a une charge r´epartie ρ

U (x) = 1 4π² ₀

kx − yk ₂ dV

−k d ² u

dx ² = f , u(0) = u(L) = 0 ou formulation faible

ou encore si W ₀ = v ∈ C ² ([0, 1]) v(0) = v(L) = v ⁰ (0) = v ⁰ (L) = 0

∀v ∈ W ₀ Z L

u(−k d ² v dx ² ) dx =

u t (−k d ² v

dx ² ) dx = v(t)

N charges ponctuelles F _i au point t _i Fl`eche u h (x)

u h (−k d ² v

dx ² ) dx = X

Charge r´epartie f (x) Fl`eche u ₍ x)

F _i = hf (t _i ).

hf (t _i )u t

u ⁽ⁿ⁾ v dx = (−1) ⁿ Z L

uv ⁽ⁿ⁾ dx