Potentiel électrique dû à une distribution de charge (ou somme de charges ponctuelles)

Moments multipolaires

2 2 1

Potentiel électrique dû à une distribution de charge (ou somme de charges ponctuelles)

1 1

2

(loin du centre du noyau, et

( ) ( ) ( )

co

(co ) s

s

l l l l

r

r r dV

r r

r r r r rr

r r r r

r P α

ρ φ ρ

α

<

+

>

<

>

′

′ ′

= − ′

= =

− ′ + ′ − ′

= ′ =

∑

∫

G G G

G G G G

1 1

1

1

1

) 1

4

2 1

4 1

2 1

4 1

2 1

*

*

( ) (cos )

( ) ( ) ˆ

( ) ( ) (c

ˆ ˆ

( ) ( ) ( )

( ) ˆ

os )

_l

l l

lm lm

l l m

lm

l l

l lm l

l l

lm l l

l

r

r r dV

r

r r Y r

r Y r dV

r l

r r

P P dV

r Y r

l r Y

r

l

Y r

r dV

r

ρ α

ρ α

φ ρ

ρ π π π

+

+ +

+

+

′ ′ ′

′ ′ ′ ′

′ ′

= =

′ ⎛ ⎞

′ ′ ′

= ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠

= +

= +

′ ∫

∑ ∑

∫

∑ ∑

∫

∑ ∫

G

G

G G

G

,

*

( ) ˆ

lm lm

r M

l m

∑

moment électrique de rang l m

(valeur moyenne de la charge électrique ^x r

^l

)

(unités gaussiennes)

r’ à l’intérieur du noyau

Moment Quadrupolaire Électrique

M

_{l m,}

= ∫ ρ ( ) r r Y ^{G ′ ′}

^l _lm

( ) r dV ˆ ^{′ ′}

partie radiale partie angulaire

S’il y a une symétrie azimuthale Î pas de dépendance en φ

2 1

4

*

,

( ) ˆ

,

( ) ˆ (cos )

l m l m l

m

Y r Y r l P θ π

′ = +

∑

1

( ) 1

_{l l}

(cos( ))

_l

l

P M

r r

φ

₊

θ

⇒ ^G = ∑

2

2

( )

^l

(cos( ) ) ; cos( )

l l

M = ∫ ρ r r P ^{′ ′} θ dV ^′ dV ^′ = π r dr d ^{′ ′} θ

0

0

( )

0

(cos( )) ( ) charge totale

M = ∫ ρ r r P ^{′ ′} θ dV ^′ = ∫ ρ r dV ^{′ ′} =

1

( ) (cos( )) ( ) cos( ) 0 dipôle

M = ∫ ρ r r P ^{′ ′} θ dV ^′ = ∫ ρ r ^′ θ dV ^′ = Conservation de parité:

2 2

parité bien définie:

moment électrique d'ordre impair est nul!

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

r r

r r r r

ψ ψ

ψ ψ ρ ρ

= ± −

⇒ = − ⇒ = −

⇒

G G

G G G G

(

^{2 2}

)

2

Moment quadrupolaire électrique intrinsèq

0

1

: 2

3

ue M ( )

Q r z r dV

e e ρ ^{′ ′ ′ ′}

≡ = ∫ −

2

2 2

2 2

2 2 2

3

1 3 1 2

2

( ) (cos )

( )( )

(cos ) ( cos )

M r r P dV

z r

M r dV

P

ρ θ

θ θ ρ

⎫

′ ′ ′ ′

= ⎪ ⎬ ⇒ = ′ ′ − ′ ′

= − ⎪

⎭

∫ ∫

unités: cm

²

→ barns

Énergie d’interaction avec champ des électrons

1

1

Densité de charge des électrons:

potentiel électrique à l'intérieur du noyau dû aux électrons:

4

2 1

*

( ) ( ) (cos

( ) : ( )

ˆ ˆ

( ) ( ) )

)

(

e e

l

e l lm lm

m l

e e l l

l

r r dV Ze

r r Y r

r r r P

Y r l

r d

r

φ ρ V

ρ

π θ ρ

ρ

+

+

=

⇒

′ ⎛ ′

=

′

′ ⎝

= ′

′

+

∑

∫

∫ ∑

∫

G G

G

G G

l

⎞ dV ′

⎜ ⎟ ⎠

∑

1

Énergie d'interaction:

densité de charge électrique du noyau

( ) ( ) ; (

( ) (c

)

(

os ) )

l

e l l

l

N N

N

U r dV r

r dV r

r r P dV

r ϕ

ρ

ρ ρ

ρ

+

θ

′ Δ

= ′

′

= ≡

∫ ∑

∫

∫

G G

G G

G

0

1 2

monopole (charge ponctuelle) 0 dipole (parité)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) cos

e N e

e N

r r r

U dV dV Z dV

r r

U r r r dV dV

r

ρ ρ ρ

ρ ρ θ

′ ′

′ ′

Δ = = ⇒

′ ′

′ ′

Δ = = ⇒

′

∫∫ ∫

∫∫

G G G

G G

Énergie d’interaction avec champ des électrons

4 2 1

*

, ,

(cos ) ( , ) ( , )

l l m l m

m

P Y Y

l

θ = π θ ϕ ^{′ ′} ω α + ∑

r G ′ r G

axe de symétrie du noyau

θ ^′

ω ^θ

point dans le noyau

2

( )

2 3 2 2 0

0

3

2 0

3

5

3 1

quadrupole

2 2

* ,

( ) ( ) (cos ) ( )

( ) cos

e

e N

e

r

U r r r P dV dV e Y dV

r r

e r

r dV Q

Q

ρ

ρ ρ θ π θ

ρ θ

′ ′ ′ ′ ′

Δ = =

′ ′

′ ⎛ ′ − ⎞ ′

= ′ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⇒

∫∫ ∫

∫

G G G

G

( )

2 2

0

1 3 cos 1

_N

( , )

Q r r dV

e ω ρ ω

= ∫ −

point dans le nuage électronique

angle entre l'axe du noyau et un électron du nuage

θ ^′ :

Moment quadrupolaire «observé»

(

^{2 2}

)

0

1 ici, coordonnée sur l'axe de s

3

_N

ymétrie du noyau

Q z r dV

e ρ z

= ∫ ′ − ′ =

0

0 1 0

0

cos sin

sin cos

x x

y y

z z

α α

α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ′

⎜ ⎟ ⎜ = ⎟⎜ ⎟ ′

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ − ⎟⎜ ⎟ ′

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(

^{2 2}

)

1 3

obs N

Q z r dV

e ρ

= ∫ −

2 2 2 2 2 2 2

0 lorsque intégré

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

3 3 2

3 3 3

3 3 3

2 2

3 3 3

2 2

[ sin cos sin cos ]

cos cos

cos cos

cos cos

z r x z x z r

x x z r

x y x y

z r

r z r z

z r

r

α α α α

α α

α α

α α

′ ′ ′ ′

− = + − −

′ ′ ′

= − + −

′ ′ ′ ′

⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞ ′

= ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

′ ′ ′ ′

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ′

= ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ′

( )

2 2 2

2 2

2

2

3 3 9

2 2 2 2

3 1

3 1

2

cos cos

cos

z r z

z

α α

α

′ ′ ′

− − +

⎛ − ⎞ ′

= ⎜ ⎟ −

⎝ ⎠

intégrand

(

²

)

⁰

1 3 1

2 cos

Q

obs

= α − Q

Moment Quadrupolaire Électrique

2 2

2 (ex. 1.33) a,b = axes semi-majeur et semi-mineur d'une ellipsoide

5 ( )

Q = Z a − b

Forme du noyau: ^Q

⁰

⁼ _e ¹ _∫ ( ^{3 z}

²

^{− r}

²

) ^ρ

^N

^dV

0 2 2

De façon générale, surface de l'ellipsoide:

1

_{m ,m}

( , )

m

R R = ^⎡ ⎢ ⎣ + ∑ a Y θ ϕ ^{′ ′ ⎤} ⎥ ⎦

Moment Quadrupolaire Électrique

2 2 2 2

2 2 20 22

a

₋

+ a + a = β

2 2

2

5 ( )

Q = Z a − b

Moment Quadrupolaire Électrique

2

0 2

0 1

2 0

1

1 3 1

2

1 3

2 1 1

1 cos

( )

( cos )

( )

m J

m J

J J J

Q Q

J Q

J J

Q J Q

J θ

=

θ

=

= +

= −

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ + − ⎟ ⎠

= − +

En général, Q = 0 si J < 1

2

0 0

Si le spin du noyau a une composante sur l'axe de symétrie:

3 1 2 1

1 2 3 1 2 3

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

K J

J K

K J J J J

Q Q Q

J J J J

− +

=

−

= ⎯⎯⎯ →

+ + + +

Preston

Moment Quadrupolaire Électrique

Noyau pair-impair:

- un nucléon de “valence” ou un “trou”

- le coeur a un moment Q = 0

- moment du noyau = moment produit par le nucléon:

(

^{2 2}

)

2

3 0

*

, ,

j m j j m j

Q z r dV

z Q r

ψ

₌

^{′ ′} ψ

₌

^′

= −

′ = ⇒ = − ′

∫

3 12

2 2 2

0

2 4 2

0

partie radiale: 1 3

3

3 0 noyau "aplati"

5

R

R

u u r dr u R u

R

Q u r dr R

⎛ ⎞

′ ⇒ = ′ ′ ′ = ⇒ ′ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

′ ′ ′

= − = − < →

∫

∫

On suppose une fonction radiale normalisée et une fonction d’onde constante

jusqu’à r = R

17

8

O

9

: 1 neutron de valence → Q ≠ 0 rotation autour du barycentre... :