TH ´ EORIE DE L’INTERPOLATION

Chapitre 2

TH ´ EORIE DE L’INTERPOLATION

2.1 Introduction

SoitF une fonction dont on connait les valeursyi =F(xi) en un nombre fini de points (xi), i= 0,1, ..., n.

L’interpolation consiste `a d´eterminer une fonction P(x), dans un ensemble donn´e de fonctions, telle que le graphe de la fonction y=P(x) passe par les points donn´ees (xi, yi), i= 0,1, ...., n.

Dans ce chapitre, nous nous limiterons au cas o`uP est une fonction polynˆomiale. Les applications de la th´eorie de l’interpolation sont multiples. Dans ce cours, nous insisterons sur les aspects qui fourniront les outils math´ematiques essentiels pour le d´eveloppement des m´ethodes des chapitres suivants (int´egration num´erique, r´esolution num´erique des ´equations diff´erentielles....).

Nous donnerons aussi diff´erentes formes du polynˆome d’interpolation adapt´ees `a l’interpolation dans les tables de donn´ees et nous analyserons l’erreur d’interpolation correspondante.

2.2 Interpolation polynˆ omiale : forme de Lagrange

Soientx0, x1, ...xn,(n+ 1) nombres distincts deux `a deux.

Soienty₀=f(x₀), y₁ =f(x₁), ...., y_n=f(x_n), les valeurs d’une fonction f en ces points.

Probl`eme :

Existe-t-il un polynˆomeP tel queP(xi) =yi, i= 0,1, ....n.

Si oui, quel est son degr´e ? Est-il unique ? Quelle est l’expression deP(x) en fonction des donn´ees (x_i) et (y_i) ?

Un polynˆomeP(x) =a₀+a₁x+....+a_mx^m est enti`erement d´etermin´e par la connaissance des (m+ 1) coefficients (a_i), i= 0,1, ..., m.

Les ´equations P(x_i) = y_i, i = 0,1, ..., n imposent (n+ 1) conditions sur P(x). Il est donc

raisonnable de consid´erer le cas m = n et de chercher P dans IPn o`u IPn est l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `an.

Th´eor`eme 2.2.1

Il existe un polynˆome unique P ∈IPn tel que Pn(xi) =yi ∀i∈ {0,1, ...., n} . De plus

P_n(x) = Xn

k=0

y_kL_k(x) o`u

L_k(x) = Yn

i= 0 i6=k

x−x_i x_k−x_i

D´emonstration

1/Unicit´e : Supposons qu’il existe deux polynˆomesP_n∈IP_n etQ_n∈IP_ntels que P_n(x_i) =y_i ,et Q_n(x_i) =y_i , i= 0,1, ..., n.

PosonsR_n=P_n−Q_n. On a :R_n∈IP_n, R_n(x_i) = 0, pouri= 0,1, ..., n. Le polynˆomeR_ndont le degr´e est au plusn, a donc (n+ 1) z´eros distincts deux `a deux. Il est donc identiquement nul.

R_n≡0 d’o`u P_n≡Q_n. 2/Existence :

*1`ere d´emonstration :

posons P_n(x) = a₀+a₁x+...+a_nxⁿ, o`u les coefficients a<sub>i</sub>(i = 0, ...n) sont `a d´eterminer.

En ´ecrivant lesn+ 1 ´equationsP(x_i) =y_i, i= 0,1...n, on obtient un syst`eme lin´eaire de n+ 1

´equations `a n+ 1 inconnues :













a₀+a₁x₀+...+a_nxⁿ₀ =y₀ a₀+a₁x₁+...+a_nxⁿ₁ =y₁ a₀+a₁x_n+...+a_nxⁿ_n=y_n qui s’´ecrit sous forme matricielle M A=Y en posant :

A=







 a₀ a₁ . an









, Y =







 y₀ y₁ . yn









etM =









1 x₀ . xⁿ₀ 1 x₁ . xⁿ₁

. . . .

1 xn . xⁿ_n









D’apr`es l’unicit´e (si Y = 0 alors A= 0), la matrice M est donc injective. Comme elle est d’un espace de dimension fini dans un espace de mˆeme dimension,M est donc inversible et le syst`eme M A=Y admet une solution d’o`u l’existence du polynˆomeP_n.

Seulement cette d´emonstration ne nous permet pas la construction du polynˆomeP_n.

*2`eme d´emonstration : consid`erons le polynˆome :

L_k(x) = Yn

i= 0 i6=k

x−x_i x_k−xi

pour k= 0,1..., n

et posons

Pn(x) = Xn

k=0

y_kL_k(x).

On aL_k∈IP_n,pourk= 0,1, ..., n (degL_k=n). De plus

L_k(xj) = 0 si j6=k et L_k(x_k) = 1. D’o`u P_n∈IP_n,etP_n(x_i) =y_i, i= 0,1..., n.

Exemples

1/ Interpolation lin´eaire (n=1)

Soient x₀ etx₁ deux r´eels donn´es distincts x₀6=x₁ etf une fonction d´efinie dans un voisinage contenant ces deux r´eels.

P₁(x) =f(x₀) x−x₁

x₀−x₁ +f(x₁) x−x₀

x₁−x₀ = (x−x₀)f(x₁)−(x−x₁)f(x₀) (x₁−x₀)

ou encore

P₁(x) = f(x₁)−f(x₀)

x₀−x₁ x+x₁f(x₀)−x₀f(x₁) x₁−x₀ 2/ Interpolation quadratique (n= 2)

Soient x₀,x₁ etx₂ trois r´eels donn´es distincts x₀ 6=x₁, x₁ 6=x₂ et f une fonction d´efinie dans un voisinage contenant ces trois r´eels.

P₂(x) =f(x₀) (x−x₁)(x−x₂)

(x0−x1)(x0−x2) +f(x₁) (x−x₀)(x−x₂)

(x1−x0)(x1−x2) +f(x₂) (x−x₀)(x−x₁) (x2−x1)(x2−x0) ou encore

P₂(x) =f(x₀)+f(x₁)−f(x₀)

(x₁−x₀) (x−x₀)+ 1 x₂−x₀

f(x₂)−f(x₁)

(x₂−x₁) −f(x₁)−f(x₀) (x₁−x₀)

(x−x₀)(x−x₁) D´efinition 2.2.1

L’expressionP_n= Xn

k=0

y_kL_k(x) s’appelle la forme de Lagrange du polynˆome d’interpolation de la fonction f relatif aux points x0, x1, ...., xn.

Les polynˆomes L_k sont les polynˆomes de base de Lagrange associ´es aux points x₀, x₁, ...., x_n.

2.3 Forme de Newton : diff´ erences divis´ ees

Avec les mˆemes hypoth`eses et notations que le paragraphe 2.2, notons P_k le polynˆome d’inter- polation de Lagrange de la fonction f relatif aux pointsx0, x1, ..., x_k.

Consid´erons le polynˆome :

Q_k(x) =P_k(x)−P_k−1(x) pourk∈ {1, ...., n}.

AlorsQ_k est un polynˆome de degr´eketQ_k(x_i) =P_k(x_i)−P_k−1(x_i) = 0 pouri∈ {0, ...., k−1}, doncQ_k peut s’´ecrire sous la forme

Q_k(x) =α_k(x−x₀)(x−x₁)...(x−x_k−1) =α_k

kY−1

i=0

(x−x_i) o`u α est une constante.

Comme les polynˆomes Q_k etP_k sont de mˆeme de degr´e k et P_k−1 est de degr´e k−1, alors le coefficient a_k de x^k dans P_k est le mˆeme que le coefficient α_k de x^k dansQ_k d’o`ua_k=α_k. Posons Q

k=

kY−1

i=0

(x−x_i) AlorsP_k(x) =a_kQ

k+P_k−1(x) D´efinition 2.3.1

Le coefficientα_k(a_k=α_k) s’appelle diff´erence divis´ee de f d’ordre kaux points x₀, x₁, ..., x_k et l’on note

a_k=f[x0, x1, ..., x_k] et

f[x_i] =f(x_i) pour i= 0,1...., n Lemme 2.3.1

La diff´erence divis´ee def d’ordre k aux points x₀, x₁, ..., x_k est donn´ee par la formule

f[x₀, x₁, ..., x_k] = Xk

i=0

f(x_i) Yk

j= 0 j6=i

(x_i−x_j)

D´emonstration

En utilisant les polynˆomes de Lagrange L_i, le polynˆome d’interpolation de Lagrange P_k de la fonction f relatif aux pointsx0, x1, ..., x_k s’´ecrit :

P_k(x) = Xk

i=0

f(x_i)L_i(x)

Ou encore

P_k(x) = Xk

i=0

f(x_i) Yk

j= 0 j6=i

(x−x_j) (x_i−x_j) =

Xk

i=0

f(x_i) Yk

j = 0 j6=i

(x_i−x_j) Yk

j = 0 j6=i

(x−x_j)

On tire donc le coefficient a_k de x_k dansP_k

a_k= Xk

i=0

f(x_i) Yk

j= 0 j 6=i

(x_i−x_j)

Remarque 2.1 En posantQ

k+1(x) = Yk

j=0

(x−xj) on a pouri= 0,1, ..., k Q₀

k+1(x_i) = Yk

j= 0 j6=i

(x_i−x_j) o`uQ₀

k+1 d´esigne la d´eriv´ee deQ

k+1

Le coefficient a_k s’´ecrit donc :

a_k=f[x₀, x₁, ..., x_k] = Xk

i=0

f(x_i) Q₀

k+1(xi) En particulier, pourk=n, on obtient :

a_n =f[x₀, x₁, ..., x_n] = Xn

i=0

f(x_i) Q₀

n+1(xi)

On peut d´emontrer tr`es facilement que la diff´erence divis´ee est ind´ependante de l’ordre desx_i. Remarque 2.2

Comme cons´equence imm´ediate de la remarque 2.1, on a :

a_k=f[x₀, x₁, ..., x_k] =f[x_σ(0), x_σ(1), ..., x_σ(k)] pour toute permutation σ de 0,1, ...., k .

Proposition 2.3.1 1/

f[x_i] =f(x_i) ∀i∈ {0,1, ..., n}

2/

f[x0, x1, ..., x_k] = f[x₁, ..., x_k]−f[x₀, x₁, ..., x_k−1]

x_k−x₀ ∀k∈ {1, ..., n} Exemple

1/

f[x₀, x₁] = f[x₁]−f[x₀]

x₁−x₀ = f(x₁)−f(x₀) x₁−x₀

f[x₁, x₂] = f[x₂]−f[x₁]

x₂−x₁ = f(x₂)−f(x₁) x₂−x₁ 2/

f[x₀, x_1,x₂] = f[x₁, x₂]−f[x₀, x₁] x2−x0

D´emonstration de la proposition 2.1 1/Evident

2/D’apr`es la remarque 2.1 on a f[x₀, x₁, ..., x_k] =

Xk

i=1

f(x_i) Yk

j = 0 j6=i

(x_i−x_j)

= Xk

i=1

f(x_i) Q₀

k+1(x_i)

d’o`u

f[x₁, ..., x_k] = Xk

i=1

f(x_i) Yk

j= 1 j6=i

(x_i−x_j)

en multipliant le terme de la somme en haut et en bas par (x_i−x₀) on obtient : f[x₁, ...., x_k] =

Xk

i=0

(x_i−x₀)f(x_i) Yk

j= 0 j6=i

(x_i−x_j)

= Xk

i=0

(x_i−x₀)f(x_i) Q₀

k+1(x_i)

De la mˆeme mani`ere mais en multipliant par (x_i−x_k) on a f[x₀, ..., x_k−1] =

Xk

i=0

(x_i−x_k)f(x_i) Yk

j= 0 j6=i

(x_i−x_j)

= Xk

i=0

(x_i−x_k)f(x_i) Q₀

k+1(x_i)

d’o`u

f[x1, ..., x_k]−f[x0,..., x_k−1] = Xk

i=0

(x_k−x_i+x_i−x₀)f(x_i) Q₀

k+1(x_i)

= (x_k−x₀) Xk

i=0

f(xi) Q₀

k+1(x_i) = (x_k−x₀)f[x_0,..., x_k] d’o`u

f[x₀, x₁, ..., x_k] = f[x₁, ..., x_k]−f[x₀, x₁, ..., x_k−1] x_k−x₀

Remarque 2.3

Comme g´en´eralisation imm´ediate de la formule pr´ec´edente, on a : f[x_i, x_i+1, ...., x_i+k] = ^{f[xi+1,....,xi+k}_x^{]−f[xi,xi+1,....,xi+k−1]}

i+k−xi ∀i∈ {0,1, .., n−1}

∀k∈ {0,1, .., n−i}

Cette formule nous permet donc de calculer les diff´erences divis´ees d’ordre k `a partir des diff´erences divis´ees d’ordrek−1.

On peut donc dresser le tableau suivant :

points ordre0 ordre1 ordre2 ordre3 ordre4

− − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − x_i f[x_i] f[x_i, x_i+1] f[x_i, x_i+1, x_i+2] f[x_i, x_i+1, x_i+2, x_i+3] ....

− − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − x₀ f[x₀]

f[x0, x1]

x₁ f[x₁] f[x₀, x₁, x₂]

f[x₁, x₂] f[x₀, x₁, x₂, x₃] x₂ f[x₂] f[x₁, x₂, x₃]

f[x₂, x₃] f[x₁, x₂, x₃, x₄]

x₃ f[x₃] f[x₂, x₃, x₄] ....

f[x₃, x₄] f[x₂, x₃, x₄, x₅]

x₄ f[x₄] f[x₃, x₄, x₅] .. ...

On peut ´egalement ´ecrire un algorithme qui permet de calculer ces diff´erences divis´ees : posons :D_i,k=f[x_i, x_i+1, ..., x_i+k] etD_i,0=f(x_i) pour i∈ {0,1, ..., n} etk∈ {0,1, ..., n−i} D’apr`es la remarque 2.3 on a D_i,k= D_i+1,k−1−D_i,k−1

x_i+k−x_i d’o`u l’algorithme suivant : Algorithme 2.1

Soientx₀, x₁, ..., x_n n+ 1 r´eels connus et

y0, y1, ..., yn les valeurs respectives de la fonction f en ces points.

Pour i= 0 jusqu’`an faire D_i,0=y_i

fin i

Pour k= 0 jusqu’`a nfaire Pouri= 0 jusqu’`a n−k faire

D_i,k= D_i+1,k−1−D_i,k−1 x_i+k−x_i fini

fin k

Proposition 2.3.2 (forme de Newton du polynˆome d’interpolation )

Soit f une fonction d´efinie sur [a, b] et x0, x1,..., xn n+ 1 points de [a, b] o`u on connait les valeurs de la fonctions f.

Alors le polynˆome d’interpolation de Lagrange s’´ecrit :

P_n(x) =f(x₀) + Xn

k=1

f[x₀, x₁, ..., x_k]Y

k(x)

o`u Q

k(x) =

kY−1

j=0

(x−x_j)

Cette ´ecriture s’appelle la forme de Newton du polynˆome d’interpolation.

D´emonstration

Ecrivons le polynˆomeP_n(x) sous la forme :

P_n(x) =P₀(x) +P₁(x)−P₀(x) +...+P_n(x)−P_n−1(x)

=P₀(x) + Xn

k=1

P_k(x)−P_k−1(x)

o`u P<sub>k</sub>(x) est le polynˆome d’interpolation de la Lagrange aux points x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, ..., x<sub>k</sub>. On a d´ej`a vu queP_k(x)−P_k−1(x) =a_kQ_k(x) =a_k

k−1Y

j=0

(x−x_j) =f[x₀, x₁, ..., x_k]Q

k(x) Et commeP₀(x) =f(x₀), on obtient :

P_n(x) =f(x₀) + Xn

k=1

f[x₀, x₁, ..., x_k]Y

k(x) Remarque 2.4

La forme de Newton du polynˆome d’interpolationPn donne un moyen commode pour le calcul de la valeur P_n(x) en tout point donn´e x. En effet supposons connues les diff´erences divis´ees f[x₀, ...., x_k] =D_0,k =a_k,pour k= 0, ...., n.

On peut ´ecrire :

P_n(x) =a₀+a₁(x−x₀) +a₂(x−x₀)(x−x₁)...+a_n(x−x₀)....(x−x_n−1)

=a₀+ (x−x₀)[a_n(x−x₁)....(x−x_n−1) +a_n−1(x−x₁)....(x−x_n−2) +...+a₁]

=a₀+ (x−x₀)[a₁+ (x−x₁) [.[a_n−3+ (x−x_n−3) [a_n−2+ (x−x_n−2) [a_n−1+a_n(x−x_n−1)]].]]

On peut ´ecrire donc l’algorithme suivant pour le calcul deP_n(x), x donn´e.

Algorithme 2.2

On se donnex, x₀, ...., x_n, a₀, ...., a_n faire t0 =an

Pourk= 1 jusqu’`an

faire t_k=a_n−k+ (x−x_n−k)t_k−1 fin

t_n= la valeur de P_n(x)

2.4 Interpolation en des points ´ equidistants. Diff´ erences finies.

Soientx₀, ...., x_n n+ 1 points ´equidistants tels que x_i=x₀+iho`uh est un r´eel,h6= 0.

Et soit f une fonction telle qu’on connait ses valeurs aux pointsx₀, ...., x_n. Posonsf_i=f(x_i) pouri= 0, ..., n.

On d´efinit l’op´erateur des diff´erences finies progressives par :

∇f(x) =f(x+h)−f(x) et notons :

∇f_i =f_i+1−f_i

Plus g´en´eralement, d´efinissons l’op´erateur des diff´erences finies progressives d’ordrek≥1 par :

∇^kf_i=∇^k−1f_i+1− ∇^k−1f_i et

∇⁰f_i=f_i

Les diff´erentes diff´erences finies ∇^kf_i peuvent ˆetre calcul´ees par l’algorithme 2.3 suivant : Algorithme 2.3 :

Supposons qu’on connait lesx_i et les f_i (i= 0, ..n) Pour i= 0 jusqu’`an faire

∇⁰f_i=f_i fin i

Pour k= 1 jusqu’`a nfaire Pour i= 0 jusqu’`an−kfaire

∇^kfi=∇^k−1fi+1− ∇^k−1fi

fin i fin k

Lemme 2.4.1

Pour tout i∈ {0, ..., n} on a

∇^kf_i=f[x_i, ...., x_i+k]h^kk! ∀k∈ {0, ...., n−i}

D´emonstration

On va faire la d´emonstration par r´ecurrence sur l’ordre k.

*Pour k= 0,on a :∇⁰f_i=f_i=f(x_i) =f[x_i] =f[x_i]h⁰0!

*Supposons que la relation soit vraie jusqu’`a l’ordre k. On a donc

∇^kf_i =f[x_i, ...., x_i+k]h^k k! et∇^kf_i+1=f[x_i+1, ...., x_i+1+k]h^k k!

D’o`u :

∇^k+1f_i =∇^kf_i+1− ∇^kf_i

=f[x_i, ...., x_i+k]h^kk!−f[x_i+1, ...., x_i+1+k]h^kk!

=h^kk! (f[x_i, ...., x_i+k]−f[x_i+1, ...., x_i+1+k] ) (D’apr`es le lemme1)

=h^kk! (x_i+1+k−x_i)f[x_i, ...., x_i+1+k]

=h^kk! (k+ 1)h f[xi, ...., x_i+1+k] car x_i+1+k−xi= (k+ 1)h )

=h^k+1(k+ 1)!f[x_i, ...., x_i+1+k] Remarque 2.5

On af[x₀, x₁, ..., x_k] = ∇^kf0

h^kk!

Le polynˆome d’interpolation P_n(x) =f(x₀) + Xn

k=1

f[x₀, x_1,..., x_k]Q

k(x) peut s’´ecrire alors : P_n(x) =f(x₀) +

Xn

k=1

∇^kf0

h^kk!

Y

k(x) Proposition 2.4.1

Le polynˆome d’interpolationPn(x) peut s’´ecrire : P_n(x) =

Xn

k=0

∇^kf₀ ^t_k

o`u ^t_k

= t(t−1)(t−2)...(t−k+ 1)

k! (coefficient du binˆome g´en´eralis´e ) avec ^t₀

= 1 et t= x−x₀ h D´emonstration

On sait que :Pn(x) =f(x0) + Xn

k=1

∇^kf₀ h^kk!

Y

k(x) Or *f(x0) = ^t₀

∇⁰f0

* Q

k(x) =

kY−1

j=0

(x−x_j)

* x=ht+x₀ ,x_j =hj+x₀ d’o`u x−x_j =h(t−j) et alors

k−1Y

j=0

(x−x_j) =

k−1Y

j=0

h(t−j) et doncQ

k(x) =h^kt(t−1)(t−2)...(t−k+ 1) d’o`uPn(x) =f(x0) +

Xn

k=1

∇^kf0

k! t(t−1)(t−2)...(t−k+ 1) et par suite :

P_n(x) = Xn

k=0

∇^kf₀ ^t_k

Remarque 2.4

Etant donn´e un nombre x, on peut calculer la valeur P_n(x) du polynˆome d’interpolation au point x par un algorithme analogue `a l’algorithme 2.2 :

Algorithme 2.4

Supposons connus :x, x₀, n, h,∇¹f₀, ...,∇ⁿf₀ faire

t= x−x0

q₀=∇hⁿf₀

Pour k= 1, ..., n faire q_k=∇^n−kf0+ t−n+k

n−k+ 1q_k−1 fin k

q_n la valeur de P_n(x).

Remarque 2.5

On peut d´efinir les diff´erences finies r´egressives par 4^kf(x) = f(x)−f(x−h) et 4^kf(x) = 4^k−1f(x)− 4^k−1f(x−h)

On peut montrer que

P_n(x) = Xn

k=0

4^kf_n

−t+k−1 k

o`u t= x_n−x h

2.5 Interpolation d’Hermite

Soientx₀, ...., x_n n+ 1 nombres distincts et α₀, ...., α_n n+ 1 entiers naturels donn´es.

On suppose connues les valeursf^(l)(x_i) =y_i,lpouri∈ {0,1, ..., n}etl∈ {0, ..., α_i}(f^(l)d´esigne la d´eriv´ee l^i`eme de la fonction f).

Probl`eme :

Existe-t-il un polynˆomeP tel que :

P^(l)(xi) =y_i,l,pour i∈ {0,1, ..., n} etl∈ {0, ..., αi}? Si oui quel est son degr´e ? Est-il unique ?

Si on ´ecrit P(x) =a₀+a₁x+...a_mx^m, on aura (m+ 1) inconnues (a_0,a_1,..., a_m).

Pour chaqueifix´e, on aαi+ 1 ´equations lin´eaires : P^(l)(x_i) =y_i,l pour l∈ {0, ..., α_i}

Au total , on a donc : Xn

i=0

(α_i+ 1) =n+ 1 + Xn

i=0

α_i ´equations.

Il est donc raisonnable de consid´erer le cas o`u P ∈IP_m avec m=n+ Xn

i=0

α_i

Th´eor`eme 2.5.1

Etant donn´es (n+ 1) points distincts x₀, ...., x_n et n+ 1 entiers naturels α₀, ...., α_n et soit m = n +

Xn

i=0

α_i

Soit f une fonction admettant des d´eriv´ees d’ordre α_i aux points x_i qu’on notera y_i,l=f^(l)(x_i).

Alors il existe un polynˆome P_m ∈IP_m unique tel que :

P_m^(l)(x_i) =y_i,l pour i∈ {0,1, ...n}et l∈ {0, ...α_i}

Ce polynˆome s’appelle polynˆome d’interpolation d’Hermite de la fonction f relativement aux points x₀, ...., x_n et aux entiers α₀, ...., α_n.

D´emonstration

Posons P_m(x) = a₀+a₁x+...a_mx^m, alors trouver le polynˆomeP_m ´equivaut `a d´eterminer les (m+ 1) coefficients a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, ....a<sub>m</sub> . Comme on a (m+ 1) ´equations lin´eaires P<sub>m</sub><sup>(l)</sup>(x<sub>i</sub>) = y<sub>i,l</sub>. On obtient un syst`eme lin´eaire de (m+ 1) ´equations `a (m+ 1) inconnus .

Pour d´emontrer l’existence de la solution, il suffit de d´emontrer l’unicit´e.

Unicit´e :

supposons qu’il existe deux polynˆomes d’interpolation d’HermiteP_m(x) etQ_m(x) de degr´e≤m tels que :P_m^(l)(x_i) =y_i,l pouri∈ {0,1, ..., n} etl∈ {0, ..., α_i}

Q^(l)m(xi) =y_i,l pour i∈ {0,1, ..., n} etl∈ {0, ..., αi} Posons alors R_m =P_m−Q_m , alors le degr´e de R_m ≤m et R_m^(l)(x_i) = 0 pouri∈ {0,1, ..., n} etl∈ {0, ..., α_i}

D’o`u x_i est un z´ero d’ordreα_i+ 1 (au moins ) du polynˆomeR_m pour i∈ {0,1, ..., n} et donc il existe un polynˆomeS(x) tel que R_m(x) =S(x)

Yn

i=0

(x−x_i)^1+αi d’o`u siS(x)6= 0 deg(R_m) = deg(S) + (n+ 1 ) +

Xn

i=0

α_i = m+ 1 + deg(S) et comme deg(R_m) ≤m alors S est n´ecessairement nul d’o`uR_m ≡0 et donc P_m =Q_m.

Remarque 2.6

La d´etermination du polynˆome P_m d’Hermite exige uniquement la connaissance des valeurs de la fonctionf et de ses d´eriv´ees d’ordreα_i aux pointsx₀, x₁, ...., x_n.

Le probl`eme g´en´eral d’interpolation revient `a la r´esolution du probl`eme suivant : ( T rouver P_m ∈IP_m v´erif iant

Pm^(l)(x_i) =b_i,l pour i∈ {0,1, ..., n}, l∈ {0, ..., α_i}

o`u lesb<sub>i,l</sub> sont des constantes donn´ees. On sait que ce probl`eme admet une solution unique dans IP_m.

D´etermination explicite du polynˆome d’Hermite

Pour d´eterminer le polynˆome d’interpolation d’Hermite de la fonctionf relativement aux points x₀, ...., x_net aux entiersα₀, ...., α_n, il suffit de construire une base particuli`ereIP_m, et d’expliciter P_m dans cette base.

Construction de la base :

soit, pouri∈ {0,1, ..., n} etl∈ {0, ..., α_i},P_i,l le polynˆome solution du probl`eme suivant :







T rouver P_m ∈IP_m v´erif iant P_m^(r)(x_j) =b_j,r avec

( bj,r = 1si(j, r) = (i, l) b_j,r = 0si(j, r)6= (i, l)

Alors les polynˆomes P_i,l forment une base de IPm. En effet, on a (m+ 1) polynˆomes P_i,l et ces polynˆomes forment une famille libre. Il suffit de consid`erer l’´equation suivante :

X

i,l

β_i,lP_i,l(x) = 0

et de l’´ecrire, ainsi que les d´eriv´ees d’ordre k≤α_i,pour chaque x_i et d’en d´eduire que β_i,l = 0.

Alors, tout polynˆome P(x) de IPm s’´ecrit d’une mani`ere unique sous la forme : P(x) =

Xn

i=0

(

αi

X

l=0

β_i,lP_i,l(x))

Et, en particulier, P_m(x) le polynˆome d’interpolation d’Hermite de la fonction f : P_m(x) =

Xn

i=0

(

αi

X

l=0

f^(l)(x_i)P_i,l(x)) D´eterminons alors les polynˆomes P_i,l(x) : posons

q_i(x) = Yn

j= 0 j6=i

x−x_j x_i−x_j

αj+1

Et on construit P_i,l de la mani`ere suivante :

Pi,αi(x) = (x−x_i)^αi α_i! qi(x) P_i,l(x) = (x−xi)^l

l! q_i(x)−

αi

X

j=l+1

l j

q^(j_i ^−l)(x_i)P_i,j(x) l=α_i−1, α_i−2, ...1,0 Il est tr`es facile de v´erifier que lesP<sub>i,l</sub> sont solutions du probl`eme pos´e au d´epart.

Remarque 2.7

Siα_i= 0 pouri∈ {0,1...., n}, on se ram`ene au cas de l’interpolation de Lagrange.

2.6 Erreur d’interpolation

Sous les hypoth`eses du paragraphe pr´ec´edent, soit P_m le polynˆome d’interpolation d’Hermite relativement aux pointsx0, ...., xnet aux entiersα0, ...., αntel quePm^(l)(xi) = f^(l)(xi) =y_i,l,∀i∈ {0,1, ...., n} et l ∈ {0, ...., α_i} et soit un t nombre donn´e. On veut approcher la valeur de la fonctionf au pointtpar la valeur du polynˆomeP_men ce point et estimer l’erreur d’interpolation E(t) =f(t)−P_m(t) commise.

Supposons que la fonction f ∈C^m+1(I_t) o`u I_t est le plus petit intervalle contenant x₀, ...., x_n, t etm=n+

Xn

i=0

α_i. On a le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 2.6.1 Il existe ξ∈I_t tel que

E(t) =f(t)−P_m(t) = f^(m+1)(ξ)

(m+ 1)! φ_m+1(t) avec

φ_m+1(t) = Yn

i=0

(t−x_i)^1+αi

D´emonstration

1er cas : t∈ {x₀, ...., x_n}alors E(t) =φ_m+1(t) = 0 et ξ est quelconque.

2`eme cas :t6∈ {x₀, ...., x_n}

Consid´erons alors la fonctionF(x) =E(x)− E(t)

φ_m+1(t)φm+1(x) on a : F est une fonction de classe C^m+1.

F(t) = 0 donc test z´ero de la fonction F.

F^(l)(x_i) = 0 pouri∈ {0,1, ..., n} etl∈ {0, ..., α_i} doncx_iest un z´ero d’ordre 1 +α_i deF D’apr`es le lemme de Rolle, entre deux z´eros distincts deF, il y a un z´ero deF⁰.

D’o`u :F⁰ admet n+ 1 z´eros dansI_t autres quex₀, ...., x_n ett.

De plus pour tout i∈ {0,1, ..., n},x_i est un z´ero d’ordreα_i de F⁰ (si α_i6= 0). En conclusion : F⁰ admetn+ 1 +

Xn

i=0

α_i =m+ 1 z´eros (´egaux ou distincts) dans I_t.

En r´eit´erant le raisonnement, F⁰⁰ admet m z´eros (´egaux ou distincts) dans I_t et de proche en proche F^(m+1) admet un z´ero dansIt. Soit ξ ce z´ero. On a donc

F^(m+1)(ξ) = 0, soitE^(m+1)(ξ)− E(t)

φ_m+1(t)φ^(m+1)_m+1 (ξ) = 0

Or E^(m+1)(ξ) =f^(m+1)(ξ)−Pm^(m+1)(ξ) =f^(m+1)(ξ) ( Car deg(P_m)≤m d’o`u Pm<sup>(m+1)</sup>(x) = 0) et deg(φ<sub>m+1</sub>) =m+ 1 d’o`u φ^(m+1)_m+1 = (m+ 1)!

EnfinE^(m+1)(ξ)− E(t)

φ_m+1(t)φ^(m+1)_m+1 (ξ) = 0 s’´ecrit :f^(m+1)(ξ) − E(t)

φ_m+1(t)(m+ 1)! = 0 d’o`u E(t) = f^(m+1)(ξ)φ_m+1(t)

(m+ 1)!

Corollaire 2.6.1

SoitP_nle polynˆome d’interpolation de Lagrange d’une fonctionf relativement aux pointsx₀, ...., x_n. Soit t un r´eel donn´e. Supposons que f ∈ C⁽ⁿ⁺¹⁾(I_t) o`u I_t est le plus petit segment contenant x₀, ...., x_n et t.

Alors il existe ξ ∈I_t tel que

f(t)−P_n(t) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) (n+ 1)!

Y

n+1

(t)

avec Q

n+1(t) = Yn

i=0

(t−x_i)

D´emonstration

C’est un cas particulier du th´eor`eme pr´ec´edent avec α_i = 0 pouri= 0,1...n

Fin du chapitre 2.